Круглов В.В., Борисов В.В. - Искусственные нейронные сети (ИНС) Теория и практика (778918), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Нечеткое множество А„ опредепяет- ся функцией принадлежности дк = йк(х). Частным случаем возве- дения в степень являются: ° СОН(А) = А' — операция концентрирования (уплотне- ния), ° 01(.(А) = А ' — операция растяжения, которые используются при работе с лингвистическими неопреде- пенностями (рис. 3.4) 99 0,5 Рис. 3 д Операции концентрирования (уплотнения) и растяжения Умножение нэ число. Если а — положительное число, такое, что агпах яд(х) < 1, то нечеткое множество аА имеет функцию хкд принадлежности; лаА(х) = аиА(х). Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть Ан Аь, А„— нечеткие множества универсального множества Е, а тн,, вг,, тц, — неотрицательные числа, сумма которых равна 1.
Выпуклой комбинацией Ан Аь, А, называется нечеткое множество А с функцией принадлежности '/х е Е яд(хн хь ..., х„) = то~яд1(х) + В~~~дт(х) + ... + тидид~(х). Декартово (прямое) произведение нечетких множеств. Пусть А,, Аь ..., А„— нечеткие подмножества универсальных множеств Ен Е,, ..., Е„соответственно Декартово или прямое произведение А = А, к А, к ... н А, является нечетким подмножеством множества Е = Е, н Е, н,., к Е„с функцией принадлежности.
Ид/Хн Х2,, Хл) ГПЧП((кд1(Х1), Рда(ха), . Лдг(хп) ). Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества. Пусть А — нечеткое множество, Š— универсальное множество и для всех х е Е определены нечеткие множества К(х). Совокупность всех К(х) называется ядром оператора увеличения нечеткости Н.
Результатом действия оператора Н на нечеткое множество А является нечеткое множество вида. Н(А, К) = (/, (х)К(х), хкЕ где (кд(х)К(х) — произведение числа на нечеткое множество. Пример Пусть Е = (1, 2, 3, 4), А = 0,8/1 + 0,6/2 + 0(3 + О/4; К(1) = 1/1 + 0,4/2; К(2) = 1/2 + 0,4/1 + 0,4/3; К(3) = 1/3 + 0,5/4; К(4) = 1(4 100 Тогда Н(А, К) = рх(1) К(1) ~ /зх(2)К(2) ~з дк(3)К(3) ~ дк(4)К(4) = = 0,8(1/1 + 0,4/2) и 0,6(1/2 + 0,4/1 + 0,4/3) = = 0,8/1 + 0,6/2 + 0,24/3.
Четкое множество а-уровня (или уровня а). Множеством а уровня нечеткого множества А универсального множества Е называется четкое подмножество Аа универсального множества Е, определяемое в виде: Аа = (х//м(х) > а), где а < 1. Промер. Пусть А = 0,2/х, + О/х, + 0,5/хз + 1/х4 Тогда Ао,з = (хз, х4), Ао з = (х4]. Свойство множества а-уровня если а, > аз, то А,з < А з. 3.1.3. Нечеткие и лингвистические переменные Понятия нечеткой и лингвистической переменных используются при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств. Нечеткая переменная характеризуется тройкой параметров <а, Х, А>, где а- наименование переменной, Х- универсальное множество (область определения а), А — нечеткое множество на Х, описывающее ограничения (т, е /зх(х)) на значения нечеткой переменной а Лингвиспзаческая переменная (ЛП) характеризуется набором параметрое <//, Т, Х, 8, М>, где //- наименование лингвистической переменной, Т вЂ” множество ее значений (терм-множество), представляющих наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество Х.
Множество Т называется базовым терм-множеством лингвистической переменной; 8 — синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества Т, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество Т ~ 8(Т), где 8(Т) — множество сгенерированных термов, называется расширенным терм- множеством лингвистической переменной; М вЂ” семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой 8, в нечеткую переменную, т.
е. сформировать соответствующее нечеткое множество. Замечание. Для избежания большого количества символов: ° символ,0 используют как для названия самой переменной, так и для обозначения всех ее значений; 101 ° один и тот же символ используется для обозначения нечеткого множества и его названия, например, терм «молодой», являющийся значением лингвистической переменной й = «возраст», одновременно есть и нечеткое множество М («молодой»).
Присвоение нескольких значений символам предполагает возможность решения неопределенностей с помощью контекста Пример. Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий «мапая толщина», «средняя толщина» и «бопьшая толщина», при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная — 80 мм. Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной <у), Т, Х, 8, М>, где й- толщина изделия; Т вЂ” («малая толщина», «средняя толщина», «большая толщина»»; Х- [10, 80]; б — процедура образования новых термов с помощью связок «и», «ипи» и модификаторов типа «очень», «не», «слегка».
Например «мапая ипи средняя толщина», «очень малая толщина»; М вЂ” процедура задания на Х = [10, 80] нечетких подмножеств А, = «мапая толщина», А« = «средняя пюпщина», А, = «большая толщина», а также нечетких множеств для термов из 8(Т) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов «и», «ипи»ч «не», «очень», «спегка» и др.
над нечеткими множествами вида: АлВ, А~В, А, СОН А=А, О!(.А=А~'ит. и Эамечание. Наряду с рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической переменной «толщина» (Т = («чапая толщина», «средняя толщина», «большая толщина»)) возможны значения, зависящие от области определения Х В данном случае значения лингвистической переменной «толщина иэделия» могут быть определены как «около 20 мм», «около 50 мм», «окопо Тй мм», т, е, в виде нечетких чисел Терм-множество и расширенное терм-множество в условиях примера можно характеризовать функциями принадлежности, приведенными на рис.
3 5 и рис. 3 8. Нечеткие числа Нечеткие числа — нечеткие переменные, определенные нг числовой оси, т, е нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных чисел Н с функцией принадлежности,их(х) е [О, 1], где х е Я. 102 0,5 О 10 80 Рис 3 5 Функции принадлежности нечетких множеств Я, — »малая толщина», Я» — «средняя л»олщона», Я» — »большая толщина» 0,5 Х 80 О 10 Рис 3 5 Функция принадлежности нечеткого множества Я, ш Я, — »малая цло средняя л»олщина» 8 = (х)ум(х) О). Нечеткое число А унимодально, если условие дя(х) = 1 справедливо только для одной точки действительной оси.
Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если справедливо: да(0) = вор (,ц,(х)) к Нечеткое число А положительно, если тгх е ЯЯ, х > О, и отрицательно, если сх в Вя, х < О. 103 Нечеткое число А нормально, если гпах,ип(х) = 1, и выпуклов, если для любых х < у < з выполняется дя(х) > ття(у) Л ,их(к). Множество а-уровня нечеткого числа А определяется как Аа = (х/дя(х) > а) Подмножество Яя ~ )т называется носителем нечеткого числа А если. Операции над нечеткими числами Расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и др.) для нечетких чисел определяются через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения следующим образом.
Пусть А и  — нечеткие числа, и * — нечеткая операция, соответствующая операции ~ над обычными числами Тогда (используя здесь и в дальнейшем обозначения Чвместо тах и Л вме- У У К сто гп(п ) можно записать; У с = А * В а»ис(г) = ту (дк(х) л дв(у))). г=х у Отсюда: С =АТВ с: лс(г) = ту (рх(х) л дв(У))), г=х.у С= А=В с»дс(г) = Ч (дв(х) л дв(У))) г=х-у С= А=В с: ис(4= ту (дв(х) л дв(У))) 2=ХУ С = А =: В с» ис(г) = Ч (дк(х) Л Лв(У))), г=х-у С = тах (А, В) с» дс(г) = Ч (дк(х) Л Лв(У))), г= вжх, ц с= гп) П(, В) с»дс(г) = ч (дв(х) л рв(У))).
г= Мх, у> Нечеткие числа (с-Щ-типа Нечеткие числа ((.-Я)-типа — зто разновидность нечетких чисел специального вида, задаваемых по определенным правилам с целью снижения обьема вычислений при операциях над ними. Функции принадлежности нечетких чисел ((.— Я)-типа задаются с помощью не возрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций действительного переменного (.(х) и Я(х), удовлетворяющих свойствам: а) (.( — х) = ((х), Н(-х) = Я(х), б) (.(0)'= Я(0).
Очевидно, что к классу (ь-(к)-функций относятся функции. графики которых имеют вид, представленный на рис. 3.7. Примерами аналитического задания ((.-Я)-функций могут быть функции. 104 Рис. 3 7. Возможный вид (1-Я)-функций Цх) е 1 Я(х)ж —, р > О. 1+]х! Пусть Цу) и Я(у) — функции (1.-Я)-типа (конкретные). Унимо- дальнае нечеткое число А с модой а (т. е. ди(а) = 1) с помощью Цу) и Я(у) задается следующим образом: (а-х) 1.~ — ~, если х < а, — если х >а, где а — мода; а > 0,,8 > 0 — левый и правый коэфФициенты нечет- кости.
Таким образом, при заданных (.(у) и Я(у) нечеткое число (унимодальное) задается тройкой А = (а, а, Д. Толерантное нечеткое число задается, соответственно, чет- веркой параметров А = (аь а,, кг, Д, где а1 и аз — границы толе- Рантности, т. е. в промежутке (аь аз] значение функции принад- лежности равно 1. Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел ((.-Я)-типа приведены на рис. 3,8. 105 х о ~к Я Рис. 3.8.
Примеры грэфикое функций принадлежности нечетких чисел (Ь-я)-функций Отметим, что в конкретных ситуациях функции (.(у), Я(у), а также параметры а, ух нечетких чисел (а, а, Д и (ан аь а, Д должны подбираться таким образом, чтобы результат операции (сложения, вычитания, деления и т. д.) был точно или приблизительно равен нечеткому числу с теми же (.(у) и гт(у), а параметры а'и,д' результата не выходили за рамки ограничений на зти параметры для исходных нечетких чисел, особенно, если результат будет участвовать в дальнейших операциях. Замечаное.
Моделирование сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными Для удобства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных желательно выбирать функции принадлежности стандартного вида. Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в большинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимодальных нечетких множеств является аппроксимация с помо- 106 щью функций ((.-Я)-типа. Примеры ((.-Я)-представпений некоторых лингвистических переменных: приведены в табп.3.1 Таблица 3 1 3.1.4.
Нечеткие отношения Пусть Е = Е, к Ег к ., к ń— прямое произведение универсальных множеств и М вЂ” некоторое множество принадлежностей (например, М = [О, 1]). Нечеткое п-арное отношение опредепяется как нечеткое подмножество й на Е, принимающее свои значения в Ы В случае а = 2 и М = [О, 1], нечетким отношением й между множествами Х = Е, и У = Е, будет называться функция й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
