Круглов В.В., Борисов В.В. - Искусственные нейронные сети (ИНС) Теория и практика (778918), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Основные характеристики нечетких множеств Пусть М = [О, 1] и А — нечеткое множество с элементами из универсального множества Е и множеством принадлежностей М. ° Величина зцрр„(х) называется высотой нечеткого мнохеи жества А. Нечеткое множество А нормально, если его высота равна 1, т. е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 вирр„(х) = 1). При зцр р„(х) < 1 нечеткое множество называется и КЕО субнормальным.
° Нечеткое множество пусто, если 1/х е Е р„(х) = О. Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле; (х) = рл(х) зцр р„(х) к«и ° Нечеткое множество унимодально, рх(х) = 1 только на одномхиз Е. 92 н 1 0,5 Рис 3 1. Примеры функций принадлежности Примеры нечетких множеств Пример 1. Пусть Е= (О, 1, 2, ..., 10), /И= [О, 1]. Нечеткое множество «несколько» можно определить следующим образом: «несколько» = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; его характеристики' высота = 1, носитель = (3, 4, 5, 8, 7, 8), точки перехода — (3,8).
Пример 2. Пусть Е = (О, 1, 2, 3, ...,и, ..). Нечеткое множество «мвлый» можно определить: 1 «малый» =/гнапыр(п) = з /и. "%' Пример 3. Пусть Е = (1, 2, 3, ..., 100) и соответствует понятию «возрвст», тогда нечеткое множество «молодой», может быть определено следующим образом: 1, хе[1 25] 1 [. кк]* а й(х)= Нечеткое множество «молодой» на универсальном множестве Е' = (Иванов, Петров, Сидоров, ...) задается с помощью функции принадлежности /к„,„,е,а(х) на Е = (1, 2, 3, ..., 100) (возраст), 93 ° Носителем нечеткого множества А является обычное подмножество со свойством /тд(х) > О, т. е.
носитель А = (х//г,(х) > 0), 1/х в Е. ° Элементы х в Е, для которых р,(х) = 0,5 называются точками перехода множества А. 0,5 сжь Рис Э 2 Пример задания нечеткого множества называемой по отношению к Е' функцией совместимости, при этом /гнилой»й(Сидорое) =,ии»»»й»й(х), Где х Возраст Сидорова Пример 4 Пусть Е = (Запорожец, Жигули, Мерседес, множество марок автомобилей, а Е' = (О, о) — универсальное множество «стоимость», тогда на Е' можно определить нечеткие множества типа «для бедных», «для среднего класса», «престижные», с функциями принадлежности вида рис 3 1 Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из Е в данный момент времени, тем самым можно определить на Е' нечеткие множества с этими же названиями Так, например, нечеткое множество «для бедных», заданное на универсальном множестве Е = (Запорожец, Жигули, Мерседес, ) выглядит так, как показано на рис 3 2 Аналогично можно определить Нечеткое множество «скоростные», «средние», «тихоходные» и т д Пример 5 Пусть Е- множество целых чисел Е = ( — 8, -5, -3, О, 1, 2, 4, 6, 9) Тогда нечеткое подмножество чисел, по абсолютной величине близких к нулю можно определить, например, так А = (О/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 + 1/О + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + О/9) Методы построения функций принадлежности нечетких множесте Существуют прямые и косвенные методы построения функций принадлежности При использовании прямых методов эксперт просто задает для каждого х г Е значение /тд(х) Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т д, или когда выделяются полярные значения Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, () или 1 Для конкретного объекта эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает иА(х)в [О, 1), формируя векторную функцию принадлежности (Ав(х,), дх(хг),, дх(х„)) Разновидностью прямых методов построения функций принадлежности являются прямые групповые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретный объект, и каждый должен дать один из двух ответов принадлежит ипи нет этот объект к заданному множеству Тогда число утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение функции принадлежности объекта к данному нечеткому множеству Косввнныв мвлюды определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет измеримых элементарных свойств, через которые определяется нечеткое множество Как правило, зто методы попарных сравнений Если бы значения функций принадлежности были известны, например, дх(х,) = ук„ ~ = 1, 2,, л, то попарные сравнения можно представить матрицей отношений А = (а„), где а„= игув, (операция деления) На практике эксперт сам формирует матрицу А, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов, симметричных относительно главной диагонали, а„= 1/ви т е если один элемент оценивается в а раз значимее чем другой, то этот последний должен быть в 1/а раз значимее, чем первый В общем случае задача сводится к поиску вектора иг, удовлетворяющего уравнению вида Аиг = х,„иг, где (,„— наибольшее собственное значение матрицы А Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным Использование типовых форм кривых дпя задания функций принадлежности (в форме (~ — В)-типа — см ниже) с уточнением их параметров в соответствии с данными эксперимента Использование относительных частот по данным эксперимента в качестве значений принадлежности 3.1.2.
Операции над нечеткими множествами Логические операции Включение Пусть А и  — нечеткие множества на универсальном множестве е тогда А содержится в В, если ~гх в е и,(х) < мв(х) Обозначение А с В Иногда используют термин «доминирование», т. е. в случае когда А ~ В, говорят, что В доминирует А. Равенство А и В равны, еспи чх в Е яА(х) = иг(х) Обозначение: А = В. Дополнение Пусть М = (О, 1], А и  — нечеткие множества, заданные на Е.
Я и В дополняют друг друга, если '~х в Е к4х) = 1 — кг(х). Обозначение. В= А ипи А =В . Очевидно, что ( А) = А (допопнение определено дпя М = (О, 1), но очевидно, что его можно определить дпя любого упорядоченного М). Пересечение А г~  — наибольшее нечеткое подмножеотво, содержащееся одновременно в А и В: ях в(х) = пйп(ях(х), лв(х)), Объединение А ~  — наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности: лх в(х) = гпах(лх(х), яв(х)). Разность А — В = А г1 В с функцией принадлежности: яа-в(х) = Ла, в (х) = т)п(ри(х), 1 — яг(х)).
Дизъюнктивная сумма А 9 В = (А — В) ~( — А) = (А - В ) ~(А г~ В) с функцией принадлежности: лд э(х) = гпах((т(п(д,(х), 1 — яв(х))); [гп)п(1 — ях(х), Лв(х))) ) Наглядное представление логических операций над нечеткими множествами Дпя нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения кх(х), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы Е. Если Е по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс.
Такое представление делает наглядными простые логические операции над нечеткими множествами (рис. 3.3). 96 а) г) в) Рис. 3.3 Графическая интерпретация нечетких погических операций: э-нечеткое множестеоЯ, б- Я; а — Я г Я; э- Я ~ Я Сеойсгпеа операций объединения и пересечения Пусть А, В, С вЂ” нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства: Аг1В =Вг А) ) — коммутативность; А ИВ=В ~А) (А 1В) г1 С = А г (В г С) ~ — ассоциативность; (А ~В)ч~С=А~(В С)~ А л А = А1 ) — идемпотентность; АчэА = А) А г1 (В и С) = (А г В) и (А г1 С)1 ) — дистрибутивность; А ~(ВнС) =(АоВ)г,(А ч~С)) ° А ч~ И = А, где Я вЂ” пустое множество, т.е. кка(х) = 0 тгх в Е; ° Аг~Ям0; ° А - Е = А, где Š— универсальное множество; ° АиЕмЕ; АлВ=АиВ1 ) - формулы де Моргана.
Ач~В = А г~В) 97 В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в об. щем случае: А ЛА Фа, А ~А»Е Замечание, Введенные выше операции над нечеткими мно- жествами основаны на использовании операций гпах и т~п В тео- рии нечетких множеств рассмотрены вопросы построения обоб- щенных, параметризованных операторов пересечения, объедине- ния и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысло- вые оттенки соответствующих им связок «И», «ИЛИ», «НЕ». Один из подходов к обобщению операторов пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм. Треугольной нормой (1-нормой) называется двуместная действительная функция Т [О, 1]»[0, 1]-+[О, 1], удовлетворяющая следующим условиям; 1) Т(0, 0)=0, Т(нд, 1) = 1дд', Т(1, рд) = рд — ограниченность; 2) Т(лд, рв) < Т(рс, ро), если ид < рс, ив < ро — монотонность, 3) Т(нд, нв) = Т(ив, рд) — коммутативность; 4) Т(д~, Т(рв, фс))= Т(7(рд, ив), рс) — ассоциативность; Примеры 1-норм пъ(п(рд, рв) произведение ди рв гпах(0 и»+ ив — 1).
Треугольной конормой (1-конормой) называется двуместная действительная функция 8 [ О, 1]д[0, 1] — » [О, 1], со свойствами. 1) 8(1, 1) = 1; 8(1ц, 0) = дгд, 8(0, дгд) = рд — ограниченность, 2) 8(дгд, рв ) > 8(дгс, Гда ), если рд > рс, рв > 1гв — монотонность; З) 8(лд, лв) = 8(ив, ид) — коммутативность; 4) ВГНд, 8(Нв, Лс )) = 8(8(нд, рв ), ис ) — ассоциативность. Примеры 1-конорм: гпах(рд, рв) рд + рв — дгд ддв т(п(1, рд+ лв). Алгебраические операции над нечеткими множествами Алгебраическое произведение А и В обозначается А В и формируется следующим образом: жх в Е и»в(х) = ид(х)ив(х).
98 Алгебраическая сумма этих множеств обозначается А+ В и определяется как; ~;гх е Е д т (х) = ~1д(х) + Ве(х) — яи(х)фд(х). Для операций (, + ) справедливы следующие свойства: А В=В А ~ ° .. — коммутативность; А «-В = В+А) (А в).с = А (в с) ° .. — ассоциативность; (А+в)+с = А+(в«-с)~ ° А О=И, А«-Я=А, А Е=А, А+Е= Е; А В = А +" В1 ° ~ — формулы де Моргана. А+В= А В~ Не выполняются: А А=А1 ° . ) — идемпотентность; А «- А = А) А.(В+С) =(А.В)+(А С) 1 — дистрибутивность; А «-(В С) = (А+ В) (А+ С)~ ° А А =Я, А«-А=Е. При совместном использовании операций (э, л, +, ) спра- ведливы свойства: ° А (В ~ С) = (А В) н (А С); ° А (В " С) = (А В)~- (А С); ° А «-(В и С) = (А «- В) ~(А + С); ° А + (В г« С) = (А «- В) л (А «: С) На основе операции алгебраического произведения опреде- лена операция возведения в степень а нечеткого множества А, где а — положительное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
