Brian_-_Matlab_R2007_s_nulya_33 (771739), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Она должна собрать, по крайней мере, 10000 $ за всю поездку. Цель Джейн состоит в том, чтобы увеличить до предела число сторонников (тех, кто, скорее всего, проголосует за нее). По ее оценке, для каждого дома, который она посещает в Готеме, шансы, что она получит сторонника, равны 0.6, а вероятности в Метрополисе, Озе и Ривер Сити равны соответственно 0.6, 0.5 и 0.3. (а) Сколько домов она должна посетить в каждом из этих четырех городов? (б) Предположим, что она может удвоить время, выделенное на посещения.
Что то- гда будет ключевым фактором, определяющим количество посещений? (в) Но предположите, что дополнительное время (в предыдущем пункте) также позволяет ей удвоить общую сумму полученных вкладов. Что теперь определяет число посещенийу 9. Рассмотрим следующую задачу линейного программирования. Известный футбольный тренер Джо Глибб пытается решить, сколько часов ему необходимо провести с каждым участником его наступательного блока в течение будущей недели, то есть, с защитником, с бегунами, с принимающими и с судьями на линии.
Ограничения в этом случае следующие. а) Число часов, доступных для Джо в течение недели, равно 50. б) Джо полагает, что ему необходимо 20 очков, чтобы выиграть следующую игру. Он оценивает, что за каждый час, который он потратит на защитника, он может ожидать отдачу в 0.5 очка. Величины для бегунов, принимающих и судей на линии равны 0.3, 0.4 и 0.1. в) Несмотря на их огромный размер, игроки весьма ранимы. За каждый час с защитником Джо, вероятно, может критиковать его один раз.
Значения частоты критики в час для других трех групп следующие: 2 для бегунов, 3 — для принимающих и 0.5 для судей на линии. Джо полагает, что он может позволить только 75 критических замечаний в неделю прежде, чем он потеряет управление над игроками. г) Наконец, игроки — это, в своем роде, те же примадонны, которые соперничают друг с другом. Из-за этого Джо должен провести точно такое же число часов с бегунами, что и с принимающими; по крайней мере, так же много часов с защитником, как с бегунами и принимающими вместе, и, по крайней мере, так же много часов с принимающими, как он проводит с судьями на линии. Джо волнуется, что его собираются уволить в конце сезона независимо от результата игры, таким образом, его первичная цель состоит в том, чтобы увеличить до предела его удовольствие за неделю. Он оценивает, что по скользящей шкале от 0 до 1 он получит 0.2 единицы личного удовольствия за каждый час, проведенный с защитником.
Значения для бегунов, принимающих и судей на линии равны соответственно 0.4, 0.3 и 0.6. Практическое занятие С. Развитие навыков работы с программой МАТ1.АВ 245 (а) Сколько часов Джо должен провести с каждой группой? (б) Предположим,что для победы в следующей игре команде необходимо только 15 очков. Тогда сколько часов необходимо Джо? (в) Наконец, предположите, что, несмотря на то, что необходимо только 15 очков, эта группа становится весьма беспокойной, и он может позволить только 70 критических замечаний на этой неделе. Получит ли Джо наилучший результат за неделю? 10.
Эта задача, предложенная нам нашим коллегой Томом Антонсеном, касается электрического контура, один из компонентов которого ведет себя нелинейно. Рассмотрите контур на Рис. С. 1. В отличие от резистора, диод является нелинейным элементом — он не подчиняется закону Ома. На самом деле, поведение диода определяется формулой Рис.
С. 1. Оеаинейный конгяур где г — это ток через диод (который одинаков как в диоде, так и в резисторе согласно закону Кирхгофа о токе), Уэ — это напряжение на диоде, 1, представляет ток утечки диода и УТ = АТ/А где А является постоянной Больцмана, Т отражает температуру диода, а е — это элементарный электрический заряд. Теперь, согласно закону Ома для резистора, мы также знаем, что Ул = 1й, где 1к является напряжением на резисторе, а 1? является сопротивлением резистора. Но по закону Кирхгофа о напряжении мы также получаем Уд = Уд — Уэ Таким образом, мы получаем второе уравнение, связывающее ток и напряжение диода, а именно, Обратите внимание, что теперь, когда выражение (С.2) говорит, что г является убывающей линейной функцией от Уэ со значением У,/В, когда Уэ равно нулю. В то же самое время (С.1) говорит, что ( — это экспоненциально возрастающая функция от ~гэ, начинающаяся в 1э Поскольку обычно Ж, < Уь то две получающиеся кривые (для г как функции от Уэ) должны один раз пересечься.
Исключая ( 24В Мдт(.ДВ из этих двух уравнений, мы видим, что напряжение на диоде должно удовлетво- рять трансцендентному уравнению ( Р' — Рр ) / Я = 1 ехр( У / Р' ), 1гр = Уэ ~о вхр( Ур / 1г ) (а) Подходящими значениями для электрических постоянных являются У, - 1.5 В, В = 1000 Ом, 1, = 105 А и Уг = 0.0025 В. Используйте команду 1хего, чтобы найти напряжение Ур и ток (в этом контуре. (б) В оставшейся части задачи мы предположим, что напряжение У, на батарее и на сопротивлении Я резистора неизменно. Но допустим, что мы можем изменить электрические свойства диода.
Например, предположите, что 1, будет меньше в два раза. Что произойдет с напряжением? (в) Предположим, что вместо того, чтобы уменьшать 1э мы разделим на два зна- чение Уг Как это повлияет на величину У? (г) Предположим, что и значение Х„и значение Уг уменьшаются в два раза. Что получится? (д) Наконец, мы хотим исследовать поведение напряжения, если и 1э и У„уменьшаются до нуля. Для определенности предположите, что мы устанавливаем 1э = 10'х, Уг = 0.0025х и пусть х О.
Вычислите решение для х = 10', 1 = 0,...,5. Затем с помощью команды!ой!ой отобразите график полученных значений напряжения как функции от 1„К какому выводу вы пришли? 11. Эта задача основана на задачах «Математическая генетика» и «Маятник 360«» из 10 главы. Ранее рост вида был смоделирован на основе разностного уравнения. В этой задаче мы будем моделировать прирост численности вида с помощью дифференциального уравнения, родственного второй задаче, упомянутой выше.
На самом деле мы можем задать модель дифференциального уравнения для логистического роста численности вида х как функцию от времени Г с помощью следующего уравнения х = 4 1 — х ) = х — х', (сз) где х обозначает производную х относительно с Мы относимся к х как к части некоторой наибольшей возможной численности. Преимущество этой непрерывной модели по сравнению с дискретной моделью в главе 10 состоит в том, что мы можем получить значение численности в любой точке во времени (не только на целочисленных промежутках).
(а) Дифференциальное уравнение (СЗ) решается в любом курсе для начинающих, посвященном обыкновенным дифференциальным уравнениям, но вы можете легко Практическое занятие С. Развитие навыков работы с программой МАТЮКАВ 247 ~то сделать с помощью команды дао1че из среды МАТ(.АВ. (Найдите синтаксис для этой команды в оперативной справке.) (б) Теперь найдите решение, предполагая, что начальное значение хл = х(0) для х. Используйте значения х, О, 0.2З ...
2.0. Постройте график решения и используйте этот рисунок, чтобы подтвердить утверждение: «Независимо от условия х, > О, решение (С.З) в долгосрочном плане стремится к постоянному решению х(1) в 1». Логистическая модель предполагает две основных возможности прироста численности: во-первых, в идеале численность расширяется со скоростью, пропорциональной ее текущему значению (то есть для экспоненциального роста это соответствует переменной х на правой стороне уравнения (С.З)); и во-вторых, из-за взаимодействий между членами вида и естественных ограничений роста беспрепятственный экспоненциальный рост сдерживается логистическим условием, представленным с помощью переменной -и' в выражении (С.З). Теперь предположите, что есть два вида х(Г) и у(1), которые соперничают за одни и те же ресурсы, необходимые для выживания.
Тогда появится другая отрицательная пере менная в дифференциальном уравнении, которая отражает взаимодействие между видами. Обычная модель предполагает, что она пропорциональна приросту этих двух видов и чем больше коэффициент пропорциональности, тем наблюдается более серьезное взаимодействие, так же, как и большее итоговое замедление прироста численности. (в) Ниже показана обычная пара дифференциальных уравнений, которая моде- лирует рост численности двух соперничающих видов х(г) и у(1): х( г ) = х - х' -0.5ху (С.4) у( г ) = у — у' — 0.5ху. Команда бао1че может решить много пар обыкновенных дифференциальных уравнений, особенно линейных.
Но сочетание квадратных членов в (С.4) делает эту систему уравнений нерешаемой символьно, таким образом, мы должны использовать средство численного решения ОДУ, как мы делали в прикладной задаче с маятником. Используя команды из этой задачи в качестве примера, постройте график кривых численного решения для системы (С.4) со следующими исходными данными л(0)=0: 1/12: 13/12 у(0) =0: 1/12: 13/12. (Подсказка: используйте команду ахея, чтобы ограничить ваш вид квадратом 0 ь ,уб 1ЗУ12.) (г) График, который вы построили, называют фазовым видом системы. Объясните его.
Объясните долгосрочное поведение любого распределения численности вида, которое начинается только с присутствия одного вида. Свяжите это с пунктом (б). Что случится в долгосрочной перспективе, если оба вида присугст. вуют изначально? Есть ли начальное распределение численности, которое остается неизменным? Что это за распределение? Свяжите эти числа с моделью (С.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
