Konspekt_lektsy_tekhmash_ne_dlya_pidaras ov (769980), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Практическое распределение дискретной случайной величиныX12345m(xi)1/203/208/205/203/20Рис.2.1. Распределение случайной дискретной величиныРаспределение случайной величины непрерывного типа может быть такжепредставлено в виде таблицы или графика. Для составления таблицыпрактического распределения непрерывной случайной величины всовокупности ее значений находят max и min и определяют разность междуними.

Разность эта называется полем рассеивания случайной величины:.Значения случайной величины, составляющие совокупность, делят наравные интервалы. Их число « » определяют из отношения значения кизбранному значению « » интервала:.Относя каждое значение случайной величины к тому или иному интервалу,подсчитывают частоты ее значений в границах интервалов и определяютчастости значений . Например. Пусть в партии валов из 100 штук диаметродной из шеекмм, а другоймм. Тогдамм.При избранном значении интерваламм число будет равно:.Установив границы и подсчитав частости, получают таблицу распределениязначений вала:1)2)3)4)5)6)32,13 – 32,1632,17 – 32,2032,21 – 32,2432,25 – 32,2832,29 – 32,3232,33 – 32,363113640640,030,110,360,400,60,04Графически практическое распределение непрерывной случайной величиныможет быть представлено либо гистограммой, либо практической кривой(полигоном) распределения (рис.2.2.).Общей формой закона распределения случайной величины является еефункция распределения.

Функцией распределения или интегральным закономраспределения скалярной случайной величинывыполнения неравенства:называют вероятность,где – случайная величина,– возможные значения случайной величины.Рис.2.2. Гистограмма и практическая кривая распределения непрерывной случайнойвеличиныДля дискретной случайной величиныможет быть найдено по таблицеили графику распределения для любого значения , как сумма вероятностей техзначений , которые лежат влево от точки с координатой . В рассмотренномвыше примере распределения случайной величины для..Интегральный закон распределения можно представить в виде графика.Для дискретной случайной величины график будет иметь вид ступенчатойкривой.Рис.2.3. Интегральный закон распределения дискретной случайной величиныИмея функцию распределения дискретной случайной величины можновычислить вероятность ее нахождения в границах от до :Для непрерывной случайной величины график функции распределениябудет иметь вид монотонно возрастающей кривой, а сама функция будетдифференцируемой.Производнуюфункциираспределениянепрерывнойслучайнойвеличиныназываютилиплотностьювероятностидифференциальным законом распределения этой случайной величины.Графически этот закон распределения может быть представлен кривойлинией, построенной в координатах x,(рис.2.4).Зная плотность вероятности, можно определить вероятность того, чтозначение случайной величины окажется в интервале от до ..В данном случае вероятность равна площади участка с основанием «ограниченного сверху кривой плотности вероятности.

Прии:»,.Рис.2.4. Дифференциальный закон распределения непрерывной случайной величиныДифференциальный закон или плотность вероятности дает полную картинураспределения случайной величины. Однако такая полная характеристика невсегда необходима. В ряде теоретических и практических задач бываетдостаточным знание отдельных числовых характеристик: определяющих положение центра группирования случайной величины; ее рассеяние около этого центра.Для характеристики положения центра группирования используютматематическое ожидание и среднее арифметическое значение случайнойвеличины:а) для дискретной случайной величины:,где – число возможных значений случайной величины ;б) для непрерывной случайной величины:,где– характеристика теоретического распределения случайнойвеличины.На практике положение центра группированияхарактеризует среднееарифметическое значение случайной величины:,где – частота отдельных значений– число отдельных значений ,– общее отдельных значений .,Характеристикой рассеяния значенийгруппированияявляется дисперсия.дисперсию, а положительный квадратныйквадратичным отклонением:а) дисперсия и среднее квадратичноевеличиныслучайной величины около центраОднако чаще используют не самукорень из нее, называемый среднимотклонение дискретной случайной;б) дисперсия и среднее квадратичное отклонение непрерывной случайнойвеличины.Для практических распределений среднее квадратическое отклонениеопределяется по формуле:Размерность x совпадает с размерностью самой случайной величины.Таким образом, чтобы охарактеризовать распределение случайной величинынадо иметь как минимум две числовые характеристики:1.или – определяют положение центра группирования;2.или x – разброс значений случайной величины около центрагруппирования.Комплектом характеристик распределения следует считать также: поле рассеяния случайной величины: — координату середины поля рассеяния:.В симметричных распределениях центр группированиясовмещенным с.оказывается2.2.

Законы распределенияРаспределение случайных величин в зависимости от условий могутподчиняться вполне определенным законам: Гаусса, равной вероятности,Симпсона. Наибольшее практическое значение в технологии машиностроенияимеет дифференциальная функция закона нормального распределения (законГаусса), для которого плотность вероятности или дифференциальная функцияраспределения:,где – переменная случайная величина;;x – среднее квадратичное отклонение от– математическое ожидание величины .Дифференциальная функция закона нормального распределенияграфически изображается холмообразной кривой, симметричной относительноцентра группирования, представленной величинамии(рис.2.5).Координата центра группирования определяет положение кривой относительноначала отсчета, а параметр (среднее квадратичное отклонение) – ее форму иразмах.Функция или интегральный закон нормального распределения в общемвиде можно записать:.Рис.2.5.

Дифференциальный закон нормального распределения случайной величиныЗакон равной вероятности встречается, когда наряду со случайнымифакторами,вызывающимирассеяние,действуетдоминирующийсистематический фактор непрерывно или равномерно изменяющий во времениположение центра группирования.

Графически такое распределениеслучайной величины отображается прямоугольником (рис.2.6).Рис.2.6. Распределение случайной величины по закону равной вероятностиМатематическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонениесоответственно равны:К распределению по закону Симпсона (закон треугольника) приводитсложение двух случайных величин, подчиненных закону равной вероятностипри одинаковых параметрах рассеяния. Графически кривая рассеяния имеет видравностороннего треугольника (рис.2.7).Рис.2.7. Распределение случайной величины по закону СимпсонаМатематическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонениесоответственно равны:Если рассматривать распределение по законам Симпсона и равнойвероятности как отклонение от закона нормального распределения, то можноотразить и количественную сторону этих отклонений с помощью коэффициента, который называется относительным средним квадратичным отклонением:Значения коэффициентадля рассмотренных законов распределенияприведены в табл.2.3.

На практике чаще пользуются значением коэффициентавозведенного в квадрат.Таблица 2.3. Значения относительного среднего квадратичного отклоненияЗакон распределенияНормальный (Гаусса)Симпсона2aРавной вероятностиb-aЛЕКЦИЯ 33. Положение теории вероятности применительно к векторнымслучайным величинам3.1. Векторные случайные величины.При совместном рассмотрении двух случайных величини их можнотрактовать как координаты случайной точки на плоскости или каксоставляющие случайного вектора .Функциейраспределениясдвумерногослучайноговекторасоставляющимии или совместной функцией распределения случайныхвеличин , называют вероятность совместного выполнения неравенств,, рассматривая как функцию переменных и :Функция распределения двумерного случайного вектора представляет собойвероятность попадания конца этого вектора в четверть плоскости,заштрихованную на рис.3.1.Рис.3.1.

Поверхность распределения двумерного случайного вектораВероятность попадания конца вектора в прямоугольник, ограниченныйпрямыми(рис.3.2):Рис.3.2. Распределение случайного векторав прямоугольникеПлотность вероятности двумерного случайного вектора , составляющимикоторого являются случайные величиныи , или совместная плотностьвероятности этих величин:.Вероятность попадания точкив произвольную областьплоскостивыражается интегралом от плотности вероятности, распространенным на этуобласть (рис.3.3):,гдеплощади– вероятность попадания случайной точки, расположенной в точке с координатами.Рис.3.3. Распределение случайного векторав элементв областиМатематическим ожиданием случайного вектораявляется вектор ссоставляющими, равным математическим ожиданиям величини, ипредставляющий собой векторную сумму этих величин:.Геометрически математическое ожидание представляет собой радиус-векторсредней точки попадания конца векторав область .

Если случайныевеличиныи,образующие вектор, не связаны, то теоретическимихарактеристиками рассеяния на плоскости являются дисперсииилисредние квадратические отклоненияЕсли случайные величиныи связаны, то в дополнение к дисперсиинеобходимо задавать вероятностную характеристику связи составляющихслучайного вектора – корреляционный момент:.Таким образом, рассеяние возможных значений случайного вектораплоскости характеризуется:нагде.Причеми при отсутствии связи между величинами и их значенияравны нулю.Корреляционная матрица случайного вектора не изменится от прибавления кслучайному вектору произвольного неслучайного вектора.

Характеристики

Список файлов лекций