Максимов М. В. - Защита от радиопомех (768830), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Воспроизведение х (г) может осуществляться в момент поступления данных (собственно задача фильтрации), спустя время 7» после пос»упления данных (задача интерполяции или сглаживания). Наряду 172 47гl и(ь) «рлрмирующий л««льтр «7«7 Оптимальный ьрйльтр ь «ь + «Й) Ифгс/, уа<3и37 ь + уф 7«лИ.,«4'Рлй,,/иь/ Рис. 4.в.
с этим возможно предсказание будущего поведения процесса х (!) на время гь от момента поступления данных (задача экстраполяции или предсказания). Критерием оптимальности процедуры обработки является минимум среднеквадратическай сшибки. Если воспроизводится сам процесс х (!), то должно обеспечиваться условие М(Лхь)=М](х(!) — х(()] ] =ш!и, где х(!) — процесс на выходе фильтра, а символ М ( ) обозначает операцию статистического усреднения. Наиболее завершенные результаты в теории линейной фильтрации получены для процесса х (!), являющегося стационарным и, в частности, для того практически важного случая, когда спектральная плотность процесса описывается дробно-рациональной функпией частоты.
Наглядное представление о получении таких процессов дает метод формирующего фильтра. Суть метода состоит в том, что процесс х(!) образуется на выходе линейного фильтра, на вход которого подается белый шум. На рис. 4.8 показана процедура формирования сообщения х (!) и выделение его из смеси с шумом $ (Г) при помощи оптимального фильтра.
Для простоты будем полагать, что шум $ (7) белый и не коррелирован с х (!). Учет отличия шума от белого не вносит в процедуру отыскания оптимального фильтра ничего принципиально нового, но делает синтез более громоздким. Формирующий фильтр характеризуется весовой функцией йф (т) или калшлексной частотной характеристикой Фв ()иь). Для оптимального фильтра имеем соответственно весовую (в общем случае нестацианарную) функцию й„(й т) или комплексную частотную характеристику Ф, (г, )иь), вид которых должен быть определен в процессе синтеза.
!73 Шумовые воздействия и (() и $ (1) задаются корреляционными функциями И,,' ы = †' " б (т) и (оь (т) = †"' б (т) 2 9 г и спектральиь|ми плотностями 6„(оо) = М„и 6л (оо) = — Лгл соответственно. Корреляционная функция )г„(т) и спектральная плоти,:сгь 6„(оо) процесса х (1) связаны с характеристиками формирующего фильтра йз (т) и Фе (!со) следующими соотношениями: Й„ (т) = †" ~ й (Л) йо (Л -)- т) дЛ, (4.4.41) а 6, (оо) =-.
У „! Ф„, ((оо) !'. (4,4.42) Задача определения структуры и параметров оптимального фильтра в рассматриваемых условиях решалась Винером. Было найдено, что весовая функция й, (1, т) должна удовлетворять следующему интегральному уравнению: ~ (Р„(т, Л)+Из(т, Ц)йо(Г, Л) о(Л=Р„((, т) (4.4.43) о или, учитывая, что шум белый 'ое — й„(Л т)+ ~ Р„(т, Л) йо (Л Л) о(Л = )х„(Г, т). (4.4 44) о Как показывает (4.4.44), структура оптимального фильтра зависит от вида корреляционной функции Р„(т) фильтруемого процесса, а та, в свою очередь, определяется весо. вой функцией йэ (т) ~(юрмирующего фильтра (4А.41).
Однако связь между весовыми функциями достаточно сложная и определить по (1, т) непосредственно по виду йэ (т), не решая интегральных уравнений (4.4.43) или (4.4.44), невозможно. При решении уравнения (4.4.43) возникают значительные трудности, особеняо, если рассматривается неустаиовившийся режим, т. е. учитывается момент включения оптимального фильтра, а колшлексный коэффициенз передачи формирующего фильтра представляет собой отношение полипомов высокого порядка, Некоторые примеры вычисления ~74 мл Ф,()то) = (Яо) г2'Зоо Хо+'о! (4.4.45) 175 весовой функции оптимального фильтра для различных корреляционных фуикпий Р, (т) рассмотрены в книге (8!.
11есколько проще определить характеристики фильтра в установившемся режиме, когда верхние пределы интегралов в (4.4.43), (4.4.44) принимаются бесконечными. В этом случае уравнения (4.4.43), (4.4.44) решаются методом преобразовании Фурье, а оезультатом решения будет комплексная частотная характеристика Ф, (но) оптимального фильтра (149!. После определения до (1, т) или Фо ((, )оо) возникает задача воспроизведения (моделирования) фильтра либо в виде алгоритма работы вычислительной машины, или в виде некоторой конструкции, состоящей из резисторов, конденсаторов, индуктивностей, следящих систем и т. д, При современном развитии техники, когда ряд радиотехнических устройств имеет выход на вычислительные машины, задание фильтра в виде алгоритма предпочтительнее. Поэтому необходимо перейти от Йо (1, т) к дифференциальным уравнениям, которые описывают процессы в оптимальном фильтре, Хотя такой переход в принципе всегда возможен (123), однако он связан с громоздкими вычислениями.
Перечисленные выше трудности, связанные с решением уравнений (4.4.43), (4.4А4) и моделированием вииеровского фильтра, явились одной из причин ограниченного применения его в практических разработках. Зти же трудности послужили стимулом для поисков новых подходов к решению задачи оптимальной фильтрации. Весьма плодотворной оказалась идея задания формирующего фильтра в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка, что позволило получить очень простую связь между структурами формирующего и оптимального фильтров. На этой идее основана методика синтеза, предложенная Калманом и Бьюсн (73!.
Фильтры, построенные по этой методике, носят название фильтров Калмана. С целью уяснения существа вопроса введем основные понятия теории фильтров Калмана на основе рассмотрения простейшего примера. Предположим, что фильтруемый процесс х (1) формируется путем прохождения белого шухов через низкочастотный фильтр с комплексной частотной характеристикой Рис. 4.9. ЛХХ оХ +гбао — +а3х=аои, о22 (4.4.47) ЛХ2 — =х, й! 2 (4.4.48) или — = гх+ Си ох ш !76 (4.4.49) где ао — собственная частота фильтра; д — коэффициент затухания. Частотной характеристике (4.4.45) соответствует весовая функция й (т) = ао ехр( — ((аот) з(п аот У1 — 4' (4.4.46) '1/1 ~-ло Для нахождения винеровского оптимального фильтра необходимо из (4.4.41) определить корреляционную функцию й', (т) по заданной выражением (4.4.46) весовой функции формирующего фильтра, а затем решить интегральное уравнение (4.4.44), Нетрудно представить сложность подобной задачи.
Рассматриваемый формирующий фильтр может быть задан также дифференциальным уравнением второго порядка где и — мгновенное значение белого шума, подаваемого на формирующий фильтр. Здесь и далее для упрощения записи аргумент 7 у функций времени будет опускаться. Вместо уравнения (4.4.47) запишем систему из двух уравнений первого порядка, обозначив х, = х, х, =* 2(х/й, ДХ2 — = — аох — 2г(а х +а'и. О 2 О Векторная форма системы уравнений (4.4А8) имеет вид ЛХ2 Применительно к рассматриваемому примеру х представляет собой вектор-столбец с элементами х, и х,; матрицы г и С равны соответственно =[-.' -'.1 '=1''.:1 наконец, вектор шумов и состоит из элементов О, и.
На рис. 4.9 изображена модель образования смеси полезного воздействия х и шума $ при задании формирующего фильтра в виде дифференциальных уравнений. Элементы вектора х характеризуют состояние модели, поэтому их называют переменными состояния. Как правило, в качестве переменных состояния выбираются выходные сигналы интеграторов 156).
Уравнение (4.4.49) описывает формирующий фильтр сколь угодно высокого порядка. Более того, матрицы Г и С в общем случае могут быть нестационарными, т. е. состоять из элементов, зависящих от времени. При этом сообщение х будет также нестационарно. Для построения общей модели смеси фильтруемого процесса с шумом уравнение (4.4.49) должно быть дополнено соотношением у=Нх+$. (4.4.50) Это соотношение иногда называют уравнением наблюдения, так как матрица Н показывает„какая из переменных состояния должна фильтроваться (наблюдаться) в оптимальном устройстве. Так, если в рассматриваемом примере Н = = [1 0), то фильтроваться будет процесс х = х,, При Н = 10 Н фильтрации подлежит производная х= хо этого П 01 процесса.
Наконец, при Н = ~ ~ будут фильтроваться как )о ~~ 177 к=о; Н' (4.4.52) (1 т) 54 (»»»»т) ~ 6 (г т) 2 Рис. «по. ае 179 сам процесс, так и его производная. В последнем случае вектор шумов $ должен состоять из двух элементов, т. е. необходимо использовать два источника шумов или один источник с двумя выходами. Общая схема воспроизведения вектора у представлена на рис. 4.10 (левая часть). Оптимальный фильтр, обеспечивающий воспроизведение процесса х с минимальной среднеквадратической ошибкой, описывается следующим векторным уравнением [4, 26, 731: — = гх+к (у — Нх), (4.4.51) с начальными условиями х (0) =- х„, характеризующими априорные данные о процессе х на выходе фильтра в момент г = О.
Если такие данные отсутствуют, то принимают х (0) = О. В (4.4.51) к — матричный коэффициент передачи оптимального фильтра. Структурная схема оптимального фильтра показана на рис. 4.10 (правая часть). Обрабатываемая смесь у и отфильтрованный процесс х подаются на устройство сравнения. Получаемая в результате сравнения разность, определяет отличие вновь поступивших данных от имевшихся на выходе синтезируемого фильтра. Эта разность с весовым коэффициентом к поступает на инерционную часть фильтра, вид которой полностью аналогичен формирующему фильтру.
Поэтому нахождение структуры оптимального фильтра ие представлиет труда. Напомним, что связь весовых функций формирующего и оптимального фильтров (4.4.41), (4.4.44) в винеровской задаче не была столь простой. Основной проблемой, которая возникает при построении калмановского фильтра, является определение матричного коэффициента передачи к. Он задается следующей системой уравнений 14, 26, 731: ~~~~» / и — "= го', +и,*, Г' — о,' Н'~ — ~) Но', + С вЂ” С'.
(4.4.53) и» Здесь и» = М((х — х) (х — х)') — симметричная матрица дисперсий, определяющая точность фильтрации, а 1Чь72 и Н„!2 характеризуют корреляционные матрицы белых шу- мов $ н и, т. е. и„ и (Г т)=Л4(пп»)= 6(1 т), Символ «т» означает транспонирование матрицы. При записи выражений для корреляционных функций шумов учитывалось, что эти шумы могут быть нестационарными, а следовательно, элементы матрицы Н;, Х„могут зависеть от времени. Уравнение дисперсий (4.4.53) представляет собой матричное нелинейное уравнение Рнккати.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
