Максимов М. В. - Защита от радиопомех (768830), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Завышение порога увеличит число пропусков сигнала при уменьшении ложных тревог. Интуитивно чувствуется, что существует оптимальное значение порога. Такое значение действительно имеется, причем оно зависит от ряда условий, и в частности от критерия, положенного в основу построения оптимального обнаружителя. Выбор того или иного критерия оптимальности системы, в том числе и для систем обнару>кения сигналов, является в значительной степени субъективным актом, т.
е. критерий не выводится из теории, а назначается волевым приемом, исходя из особенностей функционирования конкретной оптимизируемой системы. Разумность и ценность принятого критерия качества работы системы проверяется на практике. Так, установлено, что для оптимизации обнаружителей радиолокационных станций целесообразно использовать критерий Неймана — Пирсона, а для систем связи более подходит критерий идеального наблюдателя. При использовании критерия Неймана — Пирсона задается уровень ложных тревог и требуется, чтобы вероятность обнаружения при этом была бы максимальной. Критерий идеального наблюдателя требует; чтобы суммарная ошибка, вызванная 15З ОЭ Рл, = ~ ш (о/О) /о, с (4.4.8) а вероятность пропуска сигнала— с р, = ~ ю (о/и,) г/о, ОО (4.4.
9) Полученным результатам можно дать наглядное геометрическое представление (рис. 4.2). Здесь изображены плотности распределения случайной величины У (логарифма отношения правдоподобия) соответственно при отсутствии и наличии сигнала. Вероятность ложной тревоги р, представляет собой площадь под кривой га (о/О) справа от порого. ного значения С (луч я,), а вероятность пропуска сигнала р„— площадь под кривой ш (о/и,) слева от него (луч д,). Рл~ д ин Ряс 4.й 154 как ложными тревогами, так и пропуском сигнала, была минимальной. После того, как критерий принят, определяется опти.
мальное значение порога С на основании требований данного критерия и устанавливается структура оптимального обиаружителя. Логарифм отношения правдоподобия о„определяемый формулой (4.4.7), представляет собой выборочное значение некоторой случайной величины У. Вид плотности распределения этой случайной величины зависит от того, присутствует в данной реализации сигнал или его нет. Обозначим через га (о/и,) плотность распределения У при наличии сигнала в реализации, а через ш (о/О) — при его отсутствии, В соответствии с принятыми ранее определениями, вероятность ложной тревоги выражается формулой; Очевидно, что вероятность правильного обнаружения р„, будет равна О р„,=1 — р„= ~ ю(о/и,)Ио.
с Эта вероятность определяется как площадь под кривой ш (о/и,) справа от порога С. Как следует из приведенного рисунка, с увеличением порогового уровня уменьшается вероятность ложной тревоги, но одновременно уменьшается и вероятность правильного обнаружения. При снижении порога картина будет обратной. Для вычисления вероятностей р„„, р„и р„можно воспользоваться и непосредственно совместными плотностями распределений ш„(до..., у /и,) н ш (уи,, у„/О) последо.
вательности случайных величин У„..., У, порождающих анализируемые выборки у„, ..., у,. Такая возможность обусловлена правилами обйаружения, сформулированными ранее. Пространство всех возможных выборок (пространство существования случайного вектора У) разбивается на две непересекающиеся области б, и 6,. Попадание данной конкретной выборки в область О, эквивалентно тому, что случайная величина У примет значение о„ попадающее иа луч д, оси о (рис. 4.2). Если выборка попадает в область Вм то о, будет находиться на луче д,. Отсюда следует, что р„=)о ...) ш,„(ди..., 9 /О) бум г/Ч ° (4.4.11) — ~ ш (ап „ у /и ) бу „ , ду,, (4.4.12) т.
е. При таком подходе к определению р., и р.е тр бу я вычисление и-кратных интегралов, поэтому иа практике чаще пользуются выражениями (4.4.8) и (4.4.9). Проведенный анализ показывает, что путем вычисления отношения правдоподобия удалось преобразовать гп-мерное (а в пределе бесконечномерное) пространство выборок (пространство наблюдений) в одномерное. Подобные преобразования широко применяются в математической статистике и составляют суть анализа опытных данных для получения из них определенных выводов.
Если преобразование осуществляется так, что не происходит потери информации, содержащейся в исходной выбор- 155 ке, то оно называется достаточным, а полученная в результате его случайная величина — достаточной статистикой. Отношение правдоподобия является достаточной статистикой. Оптимальность критерия Неймана — Пирсона состоит в том, что прн его использовании оперируют с достаточными статистиками (отношением правдоподобия), и выявляется лишь при сравнении с другими процедурами обработки, не приводящими к достаточным статистикам. Такое сравнение показывает, что при заданном уровне ложных тревог процедура Неймана — Пирсона дает наибольшую вероятность правильного обнаружения.
Пороговое значение Сн п при использовании критерия Неймана †Пирсона находится в результате решения уравнения р„,,= ) п<(Р/0)<(Р, (4.4.1 3) сн — п в котором заданы вид плотности распределения и< (о/0) и величина допустимой вероятности ложной тревоги рн,„. Для определения порогового уровня С„н при использовании критерия идеального наблюдателя необходимо вь<- числить вероятность полной ошибки с р„„=ры~ п<(о/О) <(о+ р, ~ гв(о/иы) <(ц (4.4.14) где р, и ры — априорные (т. е.
задаваемые до начала анализа реализации) вероятности отсутствия и наличия сигнала соответственно. Для нахождения порога С„н, который обеспечивает минимум р, , необходимо производную по С от правой части выражения (4.4.14) приравнять нулю. В результате получается уравнение Рым (Сын/О) Ры <и(Снн/ны) Решая это уравнение относительно порога, находят значение Си„, соответствующее критерию идеального наблюдателя. С принципиальной точки зрения критерий идеального наблюдателя кажется более содержательным в сравнении с критерием Неймана — Пирсона, так как в нем учитывает- 156 ся прошлый опыт, отраженный в величинах априорных вероятностей р, и р,. Однако на практике бывает очень трудно найти ситуации, в которых можно заранее и достаточно обоснованно указать величины ры и р„поэтому часто их берут равными р, = р, = 0,5. Тогда уравнение для определения Син будет иметь вид: (Сн„/О) (4.4.16) ыы(Сии/иы) Этот частный случай критерия идеального наблюдателя иногда называют критерием максимального правдоподобия.
Условие (4.4.16) означает, что порог должен соответствовать точке пересечения кривых и< (о/0) и и< (о/и,) на рис. 4.2, поэтому ложные тревоги и пропуски сигнала будут наблю. даться с равными вероятностями. При использовании критерия Неймана — Пирсона порог обычно устанавливается так, чтобы вероятность ложных тревог была существенно меньше вероятности пропуска сигнала. В этом основное различие рассмотренных критериев. Общим для этих критериев является то, что процедуры обнаружения при использовании каждого из ннх строятся на основе вычисления отношения правдоподобия.
Это обстоятельство обусловлено тем, что они входят в качестве подклассов в более общий так называемый байесовский критерий или, как его еще именуют, критерий минимума среднего риска. Байесовское обнаружение, разработанное в теории статистических решений, состоит в том, что помимо выборки и априорных вероятностей р„н р, задаются еще определенные потери или ущерб, которые вызываются ложными тревогами и пропуском сигнала. По этим данным вычисляется средний риск, связанный с принятием решения о наличии или отсутствии сигнала. Пороговое значение С выбирается так, чтобы средний риск был минимален.
Если потери, обусловленные ложными тревогами и пропуском сигнала, принять одинаковыми, то байесовский критерий переходит в критерий идеального наблюдателя. Поскольку задать обоснованные величины потерь для реальных ситуаций очень трудно, практическая ценность байесовского критерия невелика. Однако он позволяет в теоретическом плане более четко обосновать оптимальность всех процедур обнаружения, построенных на основе вычисления отношения правдоподобия. 157 Для построения структурных схем обнаружителей, использующих приведенные выше критерии, и получения данных о качестве работы этих обнаружителей необходимо задаться конкретным видом плотностей распределения ш (ум",у /и,) и ш„(уо ...,у /О) последовательностислучайных величин 1'„..., )т, из которых формируется выборка у„, ..., у,„,.
При переходе к непрерывному процессу обработки многомерные условные плотности распределения оэ (у,, ..., у /и,) и ш (у„..., у„/О) преобразуются (там, где это возможно) в функционалы г" !у (/)/и, (/)! и Е (у (/)/О! соответственна, а логарифм отношения правдоподобия записывается в виде 1„Р !Ря(/)/оо О)! (4.4.! ?) Р !Ря (с)/О! Если сигнал обнаруживается в белом шуме, имеющем спектральную плотность 6 (го) = й/о, то вычисления па формуле (4А.17) дают (100! т т и„= — '! у, (/) и, (/) о(/ — — ~ ио'(/) сИ. (4.4.18) 'яо У о о о т Здесь ! и', (/) й = Š— энергия сигнала, выделяемая за о время Т.
В задачах обнаружения известного сигнала Е считается заданной. Величина о„полученная от каждой реализации, сравнивается с порогом Са — и = 3' Щ кот (у~/2) (4.4.19) для критерия Неймана — Пирсона и Сяя = 0 (4.4.20) для критерия идеального наблюдателя. Здесыу, = (2Е//У„)— отношение удвоенной энергии сигнала к спектральной плотности шума; а х„, = агй Ф (х) — аргумент интеграла вероятности, вычисленный для заданного значения вероятности ложной тревоги. На основании (4.4.18) получается структурная схема оптимального обнаружителя, показанная на рис, 4.3. Основные операции, выполняемые в обнаружителе подобного типа, сводятся к следующим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
