23 (732239), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Уравнение (3.11) , после замены переменных , принимает вид

U¹ V + UV¹ - k UV = k₁

преобразуем , получим

U¹ V + U(V¹ - k V) = k₁ (3.12)

Решим уравнение (3.12)

V¹ - k V = 0 ® dV/dt = k V

сделаем разделение переменных dV/V =k dt ® ln V = k t

результат V = e^kt (3.13)

Отсюда мы можем уравнение (3.12) переписать в виде :

U¹ e^kt = k₁

- это то же самое , что dU/dt = k₁e^-kt , dU = k₁e ^-kt dt выразим отсюда U , получим

(3.14)

По уравнению Бернулли мы делали замену Z = U V подставляя уравнения (3.13) и (3.14) в эту замену , получим

Ранее вводили функцию Z = n^-1 , следовательно

(3.15)

Начальное условие n₀=1/(c-k₁/k) , из этого условия мы можем определить константу с следующим образом

Подставляя , найденную нами константу в уравнение (3.15) , получим

(3.16)

Исследуем функцию (3.16) при k = 0 , k < 0 , k > 0 .

При k®0 ; e^kt ® 0 ; (e^kt - 1)®0 , то есть (e^kt - 1)×k₁/k®0×¥ (неопределенность) , раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя . Эту неопределенность вида 0×¥ следует привести к виду . При этом , как и всегда при применении правила Лопиталя , по ходу вычислений рекомендуется упрощать получившиеся выражения , следующим образом :

n(k)_{при k®0} ® 0 , следовательно

Перепишем (3.16) в следующем виде

Линеаризуем нелинейное уравнение , получим

ln n = - kt + c Þ

Построим график для этих условий

Рис. 3.3 К самоорганизации в одномодовом лазере :

кривая 1 : k < 0 , режим лазерной генерации

кривая 2 : k = 0 , точка бифуркации , порог

кривая 3 : k > 0 , режим лампы.

При k = 0 уравнение (3.8) примет вид

решая его , получим

(3.8)

При условии ; n(t) = const , функция (3.8) приближается к стационарному состоянию , не зависимо от начального значения n₀ , но в зависимости от знаков k и k₁ (смотри рисунок 3.3).

Таким образом , функция (3.8) принимает стационарное решение

3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ .

О распространении и численности видов была собрана обширная информация . Макроскопической характеристикой , описывающей популяцию , может быть число особей в популяции . Это число играет роль параметра порядка . Если различные виды поддерживаются общим пищевым ресурсом , то начинается межвидовая борьба , и тогда применим принцип Дарвина : выживает наиболее приспособленный вид . ( Нельзя не отметить сильнейшую аналогию , существующую между конкуренцией лазерных мод и межвидовой борьбой ). Если имеются однотипные пищевые ресурсы , то становится возможным сосуществование видов . Численность видов может быть подвержена временным колебаниям.

ОДИН ВИД.

Рассмотрим сначала одну популяцию с числом особей в ней n . При наличии пищевых ресурсов А особи размножаются со скоростью :

и гибнут со скоростью :

Здесь k и d - некоторые коэффициенты рождаемости и смертности , в общем случае зависящее от параметров внешней среды обитания . Если бы количество пищи было неограниченно , то эволюционное уравнение выглядело бы так :

Введем обозначение a = kA - d

Оно было бы линейным и описывало бы неограниченный экспериментальный рост (при kA > d), либо экспериментальную гибель (при kA < d) популяции.

Рис. 3.4 Кривая 1: Экспоненциальный рост ; a>0 , kA>d

Кривая 2: Экспоненциальная гибель ; a>0 , kA>d.

В общем случае , однако , пищевые ресурсы ограничены , так что скорость потребления пищи

Вместе с тем в общем случае возможно восстановление пищевых ресурсов со скоростью :

Здесь , конечно , рассмотрен придельный случай сохранения полного количества органического вещества

A + n = N = const ,

N - способность среды обитания поддерживать популяцию.

Тогда с учетом A = N - n получится следующее уравнение эволюции популяции одного вида (логистическое уравнение Ферхюльста ) :

(3.17)

Решим уравнение (3.17) аналитически , перепишем его следующим образом

, обозначим kN - d = k₁

Получим :

Воспользуемся табличным интегралом , ,полученное уравнение примет вид :

решим это уравнение , преобразуя

сократим полученное выражение на k , и перенесем переменную k₁ в правую часть , получим

отсюда n(t) ®

Начальные условия :

откуда

Подставляя с в решение , получим уравнение в следующем виде

ранее мы обозначали , что , подставляем и преобразуем

сократим на k - коэффициент рождаемости , окончательно получим решение уравнения (3.17)

Итак , получено аналитическое решение логистического уравнения - это решение указывает на то , что рост популяции останавливается на некотором конечном стационарном уровне:

то есть параметр n₁ указывает высоту плато насыщения , к которому стремится n(t) с течением времени .

Параметр n₀ указывает начальное значение численности одного вида популяции : n₀ = n(t₀) . Действительно , ,то есть n₁ - предельная численность вида в данной среде обитания . Иначе говоря , параметр n₁ характеризует емкость среды по отношению к данной популяции . И наконец , параметр (kN - d) задает крутизну начального роста .

Отметим , что при малой исходной численности n₀ (начальное число особи) начальный рост популяций будет почти экспоненциальным

Рис. 3.5. Логистическая кривая.

(эволюция популяции одного вида)

Решение уравнения (3.17) можно представить с помощью логистической кривой (рис. 3.5) . Эволюция полностью детерминирована . Популяция перестает расти , когда ресурс среды оказывается исчерпанным .

Самоорганизация - при ограниченном пищевом ресурсе. Система самоорганизованна и взрывоподобный рост популяции (рис. 3.4 Кривая 1) сменяется кривой с насыщением .

Подчеркнем , что при описании данной биологической системы используют понятийный и физико-математический аппарат из нелинейной неравновесной термодинамики.

Может случится , однако, что всегда за событиями , не управляемыми в рамках модели , в той же среде появится , первоначально в малых количествах , новые виды (характеризуемые другими экологическими параметрами k,N и d) . В связи с такой экологической флуктуацией возникает вопрос о структурной устойчивости : новые виды могут либо исчезнуть , либо вытеснить первоначальных обитателей . Пользуясь линейным анализом устойчивости , не трудно показать , что новые виды вытесняют старые только в том случае , если

Последовательность , в которой виды заполняют экологическую нишу , представлена на рисунке 3.6.

Рис. 3.6. Последовательное заполнение экологической

ниши различными видами .

Эта модель позволяет придать точным количественный смысл утверждению о том , что «выживает наиболее приспособленный» , в рамках задачи о заполнении заданной экологической ниши .

1. СИСТЕМА «ЖЕРТВА - ХИЩНИК».

Рассмотрим систему, состоящую из двух видов - это «жертва» и «хищник» (например , зайцы и лисицы) , то эволюция системы и ее самоорганизация выглядят иначе , чем в предыдущем случае.

Пусть в биологической системе имеются две популяции - «жертв» - кролики (К) , и «хищников» - лисиц (Л), численностью К и Л .

Проведем теперь рассуждение , которое позволит нам объяснить существование диссипативных структур .

Кролики (К) поедают траву (Т) . Предположим , что запас травы постоянен и неисчерпаем . Тогда , одновременное наличие травы и кроликов способствуют неограниченному росту кроличьей популяции . Этот процесс можно символически изобразить так :

Кролики + Трава ® Больше кроликов

К + Т ® 2К

Тот факт , что в стране кроликов всегда имеется в достатке травы , вполне аналогичен непрерывному подводу тепловой энергии в задаче с ячейками Бенара . Вскоре процесс , в целом , будет выглядеть как диссипативный (во многом аналогично процессу Бенара ).

Реакция « Кролики - Трава » происходит спонтанно в направлении увеличения популяции кроликов, что является прямым следствием второго начала термодинамики .

Но вот в нашу картину , где мирно резвятся кролики , прокрались хищные лисицы (Л), для которых кролики являются добычей . Подобно тому , как по мере поедания травы кроликов становится больше , за счет поедания кроликов возрастает число лисиц :

Лисицы + Кролики ® Больше лисиц

Л + К ® 2Л

В свою очередь лисицы , как и кролики являются жертвами - на этот раз человека , точнее говоря происходит процесс

Лисицы ® Меха

Конечный продукт - Меха , не играет непосредственной роли в дальнейшем ходе процесса . Этот конечный продукт можно , однако , рассматривать как носитель энергии, выводимой из системы , к которой она была в начале подведена (например, в виде травы ).

Таким образом , в экологической системе также существует поток энергии - аналогично тому , как это имеет место в химической пробирке или биологической клетке .

Совершенно ясно , что в действительности происходят периодические колебания численности популяции кроликов и лисиц , причем за нарастании численности кроликов следует нарастание численности лисиц , которые сменяются уменьшением численности кроликов , сопровождающимся столь же резким снижением численности лисиц , затем повышенным подъемом численности кроликов и так далее (рис. 3.7).

Характеристики

Список файлов реферата