Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Функцию G(t) назовем функцией корреляции, или функцией релаксации намагниченности системы.

Во втором способе выражение (12) можно переписать в виде

Отсюда после применения хорошо известной формулы для -функции

получаем

(14)

где суммирование  производится только по тем энергетическим уровням, для которых | E_n —E_n' | = ħ. Обычно, вводя в рассмотрение вероят­ности переходов, выражение (14) используют как отправную точку для вывода (13) с помощью интегрального представления -функции. Из равенства (14) в общем виде следует, что функция формы f(), определяющая форму линии, пропорциональна сумме  |< п | M_x | n’ >|². Точная зависимость этого выражения от co вытекает из условия, ограничи­вающего суммирование только по тем уровням, для которых | E_n —E_n' | = ħ. Формулы (13) и (14) являются весьма общими и справедливы в случае, когда спектр магнитного поглощения системы содержит одну или несколько острых резонансных линий, т. е. в случае ядерного маг­нитного резонанса. Математически это условие может быть сформулиро­вано следующим образом.

Гамильтониан ħH системы представляет собой сумму главной части ħH₀ и малой возмущающей части, которую удобно записать в виде ħH₁, где  — параметр малости возмущения. В отсутствие H₁ спектр поглоще­ния системы состоит из одной или нескольких бесконечно острых линий c частотами _ , a восприимчивость "() может быть записана в форме

 =  __; (15)

при этом функция релаксации G(t), пропорциональная фурье-преобразованию , имеет вид

(15a)

Если существует возмущение ħH₁ , то функция релаксации принимает вид G(, t) и может быть в принципе вычислена вплоть до любого порядка по  методом возмущений; восприимчивость ,  получается как фурье-преобразование G(, t).

Прежде чем производить детальный расчет, кратко рассмотрим соот­ношение между  и поведением намагниченности после окончания действия радиочастотного импульса. Хорошо известно и достаточно оче­видно, что для линейных систем стационарная реакция на возбуждение cost представляется фурье-преобразованием нестационарной реакции на бесконечно острый импульс (t). Однако на практике для аппроксима­ции такого импульса к системе спинов необходимо приложить кратковре­менно действующее магнитное поле, значительно большее постоянного поля Н_о .

Для системы взаимодействующих ядерных спинов в магнитном поле, характеризующейся острой резонансной линией на частоте ₀, действие бесконечно острого импульса постоянного поля можно аппроксимировать радиочастотным импульсом частоты  = ₀ со значительно большей длительностью  и меньшей амплитудой H₁. Поскольку в системе координат, вращающейся с частотой , отлично от нуля только постоянное поле H₁, то для аппроксимации бесконечно острого импульса конечной амплитуды достаточно того, чтобы H₁ было значительно больше локального поля; последнее представляет собой гораздо менее жесткое условие.

Б. УШИРЕНИЕ, ВЫЗВАННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

МЕЖДУ ОДИНАКОВЫМИ СПИНАМИ

§ 3. ДИПОЛЬ-ДИПОЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

Полный гамильтониан системы одинаковых взаимодействующих спи­нов в сильном внешнем поле может быть записан в виде

ħH = ħ(H₀ + H₁). (16)

Основной гамильтониан

ħH₀ = _j Z^j = – ħH₀ _j I^j_z (16a)

описывает энергетические уровни, определяемые выражением ħE⁰_M = – ħН₀M, где M — собственное значение оператора

I_z = _j I^j_z

Гамильтониан возмущения ħ H₁, ответственный за уширение, имеет вид

(16б)

Прежде всего, рассмотрим несколько подробнее взаимодействие между двумя спинами, которые будем обозначать для краткости i и i’. Пусть  и  — полярные координаты вектора r, описывающего их взаимное положение, причем ось z направлена параллельно внешнему полю. Тогда W_ii можно записать в виде

W_ii' = {ii' — 3[i_z cos  + sin  (i_x cos  + i_y sin )]x[i'_z cos  + sin  (i'_x cos y + +i'_ysin)]}²ħ²/r³ = {ii' — 3[i_z cos  + sin  (i₊ e^{- i} + i_- e^i)/2]x[i'_z cos  + sin  (i₊e^{- i}+ + i_-e^i)/2)]}²ħ²/r³ = (A+B+C+D+E+F)²ħ²/r³, (17)

где

A = i'_zi_z (l – 3cos² ),

B = – (l – 3cos² ) (i₊i'_– + i _–i'₊) = (l – 3cos² )(i_zi'_z – ii')/2,

C = – 3sin cos e^{- i} (i_zi'₊ + i ₊i'_z)/2, (18)

D = С* = – 3sin cos e ^i (i_zi'_– + i _–i'_z)/2,

E = – 3sin²  e^{-2 i} i₊i'₊ /4,

F = E* = – 3sin²  e^{-2 i} i _– i'_– /4,.

Запись W в такой форме вызвана следующими причинами. Согласно формуле (14),

 ~  |< п | M_x | n’ >|².

Это приводит к необходимости определить изменение в положении энер­гетических уровней, отвечающих ħH₀ , обусловленное наличием ħH₁. Операторы А, В, С, D, E, F дают качественно различным вклады в это изменение. Упомянутые операторы, действуя на состояние невозмущенного гамильтониана, характеризующееся значениями i_z=т , i'_z=т', при­водят к следующему изменению этого состояния:

(19)

Рассмотрим теперь энергетический уровень ħE⁰_M = – ħH₀M, соот­ветствующий гамильтониану (16a). Этот уровень сильно вырожден, так как существует много способов, которыми можно скомбинировать отдельные значения I^j_z=m_j, чтобы получить величину M =  m_j. Таким образом, уровень ħE⁰_M соответствует вырожденному множеству состояний |М>, причем вырождение снимается (по крайней мере частично) возмущением, описываемым гамильтонианом ħH₁, который расщепляет уровень ħE⁰_M на много подуровней. Согласно первому приближению тео­рии возмущений, вклад первого порядка в расщепление уровня ħE⁰_M дают лишь те члены гамильтониана возмущения, которые обладают отлич­ными от нуля матричными элементами внутри множества |М>, т. е. те, которые, действуя на состояние |М>, не вызывают изменения величины М. Обращаясь к формуле (19), мы видим, что только те части W, которые отвечают операторам А и В, удовлетворяют этому условию и должны быть сохранены для вычисления энергетических уровней ħH методом возму­щений.

Член А имеет тот же вид, что и выражение для взаимодействия двух классических диполей и описывает упомянутое в разделе А взаимодействие одного диполя со статическим локальным полем, создаваемым другим дипо­лем. Член В описывает взаимодействие, при котором возможно одновре­менное переворачивание двух соседних спинов в противоположных направ­лениях. Эта часть гамильтониана, названная «переворачивающей» частью, соответствует описанному в разделе А резонансному действию враща­ющегося локального поля. Влияние такого члена, как С, заключается в примешивании к состоянию |М> с невозмущенной энергией ħE⁰_M = – ħH₀M малой доли состояния |М—1>. Таким образом, точное соб­ственное состояние ħH₀ следует представить в виде

| М > +  | М – 1 > + …,

где  — малая величина. Взаимодействие системы спинов с радиочастот­ным полем, приложенным вдоль оси ох, пропорционально I_x = I^j_x и может индуцировать только переходы с М = ± 1. Слабые переходы знежду состоянием, скажем, |M – 2> + малая примесь, энергия которого приблизительно равна – ħH₀(M —2), и состоянием | М > +  | М – 1 > + … становятся возможными с вероятностью порядка ². Разность энергии между этими состояниями приблизительно равна 2ħ₀. Следовательно, таким переходам на частоте 2₀ соответствует очень слабая линия, кото­рую обычно трудно наблюдать экспериментально. Легко видеть, что линии сравнимых интенсивностей появляются на частотах 0 и 3₀.

Доказательство справедливости сохранения в гамильтониане ħH₁ только членов А и В, которые коммутируют с H₀ обычно называются адиабатической или секулярной частью ħH₁ и которые впредь будут обо­значаться как ħH’₀, может быть также дано следующим способом. Так как  пропорционально фурье-преобразованию G(t)=Sp{M_x(t)M_x}, то оно может быть вычислено, если известно M_x(t) = е^iHtM_xе^–iHt. В этом случае M_x(t) удовлетворяет уравнению

(1/i) dM/dt = [H₀ +H₁ , M_x(t)]. (20)

§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ

Для резонансной кривой, описываемой нормированной функцией формы f с максимумом на частоте ₀, n-й момент M_n относительно ₀ опреде­ляется выражением

М_n = ∫ ( – ₀)ⁿfd.

Если f симметрична относительно ₀, то все нечетные моменты равны нулю. Знание моментов дает некоторую информацию о форме резонансной кривой и, в частности, о скорости, с которой она спадает до нуля на крыльях вдали от ₀.

Достоинство метода моментов состоит в том, что моменты могут быть вычислены на основании общих принципов без определения собственных состояний общего гамильтониана ħH. Прежде чем останавливаться на вычислении моментов, рассмотрим два примера резонансных кривых разном формы. Гауссова кривая описывается нормированной функцией

(24)

для которой легко найти

М₂ = ², M₄ =3⁴,

М_2n = 1, 3, 5, ..., (2n – 1) ²ⁿ,

причем нечетные моменты равны нулю. Полуширина на половине высоты  определяемая соотношением f₀ +  = f₀/2, или ехр( – ²/2²) = 1/2 оказывается равной

Отсюда видно, что значение второго момента M₂ = ² для гауссовой кри­вой обеспечивает удовлетворительное приближение для ширины линии .

Другой формой линии, которая часто наблюдается в магнитном резо­нансе, является лоренцева форма, опи­сываемая нормированной функцией

(25)

где  — полуширина на половине высоты.

В этом случае ни второй, ни более высокие моменты не могут быть определены, так как соответствующие интегралы расходятся. Однако иногда теория дает конечные значения для второго и четвертого моментов линий, которые в экспериментально наблюдаемой области имеют лоренцеву форму. В соответствии с конечными значениями M₂ и М₄ далеко на крыльях линии, где невозможно произвести достаточно точные измерения погло­щения вследствие его малой величины, линия должна изменяться более быстро, чем это следует из лоренцевой формы.

Грубая, но удобная пробная модель состоит в описании кривой по формуле (25) внутри интервала | – ₀|, где >> и в пред­положении о том, что она равна нулю вне этого интервала. Тогда, прене­брегая членами порядка /, найдем

M₂ = ² = 2 /, M₄ = 2³ /(3), (IV.25a)

откуда, если известны M₂ и M₄ можно вычислить  и . Поскольку

M₄ /( M₂)² =  /6,

упомянутая модель может быть использована лишь, когда теоретическое отношение M₄ /( M₂)² оказывается большим числом., В этом случае

(IV.25б)

Характеристики

Список файлов реферата