3_f (731775), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

.

Пусть теперь . Тогда и комплексны:

.

Повторяя предыдущие рассуждения, снова придем к равенству (2,6), которое при подстановке значений и дает

. (2,8)

При это выражение не стремится ни к какому определенному пределу. Так что прямой переход к пределу невозможен. С учетом (2,8) общий вид вещественного решения может быть написан следующим образом:

. (2,9)

Эта функция обладает нулями, число которых неограниченно растет с уменьшением . Поскольку, с одной стороны, выражение (2,9) справедливо для волновой функции ( при достаточно малых ) при любом конечном значении энергии частицы, а, с другой стороны, волновая функция нормального состояния совсем не должна иметь нулей, то мы можем заключить, что «нормальное состояние2 частицы в рассматриваемом поле соответствует энергии . Но во всяком состоянии дискретного спектра частица находится в основном в области пространства, в которой . Поэтому при частица находится в бесконечно малой области вокруг начала координат, т.е. происходит «падение» частицы в центр.

«Критическое» поле , при котором становится возможным падение частицы в центр, соответствует значению . Наименьшее значение коэффициента при получается при , т.е.

. (2,10)

Из формулы (2,8) ( для ) видно, что допускаемое решение уравнения Шредингера ( вблизи точки, где ) расходится при не быстрее чем . Если поле обращается при в бесконечность медленнее чем , то в уравнении Шредингера в области вблизи начала координат можно вовсе пренебречь по сравнению с остальными членами, и мы получим те же решения, что и для свободного движения, т.е. . Наконец, если поле обращается в бесконечность быстрее чем ( как с ), то волновая функция вблизи начала координат пропорциональна . Во всех этих случаях произведение обращается при в нуль.

Далее, исследуем свойства решений уравнения Шредингера в поле, спадающем на больших расстояниях по закону при произвольном его виде на малых расстояниях. Предположим сначала, что . Легко видеть, что в этом случае может существовать лишь конечное число отрицательных уровней энергии¹. Действительно, при энергии уравнение Шредингера на больших расстояниях имеет вид (2,1) с общим решением (2,4). Но функция (2,4)не имеет ( при ) нулей; поэтому все нули искомой радиальной волновой функции лежат на конечных расстояниях от начала координат и их число, во всяком случае, конечно. Другими словами, порядковый номер уровня , замыкающего дискретный спектр, конечен.

Если же , то дискретный спектр содержит бесконечное число отрицательных уровней энергии. Действительно, волновая функция состояния имеет на больших расстояниях вид (2,9) с бесконечным числом нулей, так что ее порядковый номер во всяком случае бесконечен.

Наконец, пусть поле во всем пространстве. Тогда при происходит падение частицы. Если же , то отрицательные уровни энергии отсутствуют вовсе. Действительно, волновая функция состояния будет во всем пространстве вида (2,7); она не имеет вовсе нулей на конечных расстояниях, т.е. соответствует наиболее низкому (при данном ) уровню энергии.

3. Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ).

Очень важным случаем движения в центрально-симметричном поле является движение в кулоновом поле

( - положительная постоянная ). Мы будем рассматривать сначала кулоново притяжение, соответственно чему будем писать . Из общих соображений заранее очевидно, что спектр отрицательных собственных значений энергии будет дискретным ( с бесконечным числом уровней ), а спектр положительных энергий – непрерывным.

Уравнение (1,8) для радиальных функций имеет вид

(3,1)

Если речь идет об относительном движении двух притягивающихся частиц, то под надо подразумевать их приведенную массу.

В вычислениях, связанных с кулоновским полем, удобно пользоваться вместо обычных особыми единицами для измерения всех величин, которые мы будем называть кулоновскими единицами. Именно, в качестве единиц измерения массы, длины и времени выберем соответственно

Все остальные единицы выводятся отсюда; так, единицей энергии будет

.

Далее будем пользоваться этими единицами.

Уравнение (3,1) в новых единицах принимает вид

(3,2)

Дискретный спектр.

Введем вместо параметра и переменной новые величины:

(3,3)

При отрицательных энергиях есть вещественное положительное число. Уравнение (3,2) после подстановки (3,3) приобретает вид

(3,4)

( штрихи обозначают дифференцирование по ).

При малых решение, удовлетворяющее необходимым условиям конечности, пропорционально ( см. (1,15)). Для выяснения асимптотического поведения при больших опускаем в (3,4) члены с и и получаем уравнение

откуда . Интересующее нас исчезающее на бесконечности решение, следовательно, при больших ведет себя, как .

Виду этого естественно сделать подстановку

, (3,5)

после чего уравнение (3,4) принимает вид

(3,6)

Решение этого уравнения должно расходиться на бесконечности быстрее конечной степени , а при =0 должно быть конечным. Удовлетворяющее последнему условию решение есть вырожденная гипергеометрическая функция

(3,7)

Решение, удовлетворяющее условию на бесконечности, получится лишь при целых отрицательных ( или равных нулю ) значениях , когда функция (3,7) сводится к полиному степени . В противном случае она расходится на бесконечности, как .

Таким образом, мы приходим к выводу, что число должно быть целым положительным, причем при данном должно быть

(3,8)

Вспоминая определение (3,3) параметра , находим

(3,9)

Этим решается задача об определении уровнем энергии дискретного спектра в кулоновском поле. Мы видим, что имеется бесконечное множество уровней между нормальным уровнем и нулем. Интервалы между каждыми двумя последовательными уровнями уменьшаются с увеличением ; уровни сгущаются по мере приближения к значению , при котором дискретный спектр смыкается с непрерывным. В обычных единицах формула (3,9) имеет следующий вид:

(3,10)

Целое число называется главным квантовым числом. Радиальное же квантовое число, определенное в п.1, равно

.

При заданном значении главного квантового числа число может принимать значения

(3,11)

всего различных значений. В выражение (3,9) для энергии входит только число . Поэтому все состояния с различными , но одинаковыми обладают одинаковой энергией. Таким образом, каждое собственное значение оказывается вырожденным не только по магнитному квантовому числу ( как при всяком движении в центрально-симметричном поле ), но и по числу . Это последнее вырождение ( о нем говорят, как о случайном или кулоновом ) специфично именно для кулонового поля. Каждому данному значению соответствует различных значений ; поэтому кратность вырождения - го уровня энергии равна

(3,12)

Волновые функции стационарных состояний определяются формулами (3,5), (3,7). Вырожденная гипергеометрическая функция с целыми значениями обоих параметров совпадает, с точностью до множителя, с так называемыми обобщенными полиномами Лагерра. Поэтому

.

Радиальные функции должны быть нормированы условием

.

Их окончательный вид следующий:

(3,13)

Вблизи начала координат имеет вид

(3,14)

На больших расстояниях

. (3,15)

Волновая функция нормального состояния затухает экспоненциально на расстояниях порядка , т.е. в обычных единицах, .

Средние значения различных степеней вычисляются по формуле

.

Приведем несколько первых величин ( с положительными и отрицательными ):

, ,

, . (3,16)

Непрерывный спектр.

Спектр положительных собственных значений непрерывен и простирается от нуля до бесконечности. Каждое из этих собственных значений вырождено с бесконечной кратностью; каждому значению соответствует бесконечное множество состояний с , пробегающими все целые значения от до ( и со всеми возможными, при данных , значениями ).

Определяемое формулами (3,3) число и переменная теперь чисто мнимы:

, , (3,17)

где . Радиальные собственные функции непрерывного спектра имеют вид

(3,18)

где - нормировочный множитель. Они могут быть представлены в виде комплексного интеграла

, (3,19)

который берется по контуру ( см. рис ниже ).

Подстановкой этот интеграл приводится к более симметричному виду

(3,20)

( путь интегрирования обходит в положительном направлении точки ). Из этого выражения непосредственно видно, что функции вещественны.

Асимптотическое разложение вырожденной гипергеометрической функции позволяет непосредственно получить такое же разложение для волновой функции

(3,21)

Если нормировать волновые функции «по шкале » , то нормировочный коэффициент равен

(3,22)

Действительно, асимптотическое выражение при больших ( первый член разложения (3,21) ) тогда имеет вид

,

Характеристики

Список файлов реферата