CBRR0915 (719125), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Рассмотрение истории вопроса появления и развития моделирования показало, что цель создания любой модели - испытания некоторой системы. При этом сегодня речь идет о компьютерной реализации и испытаниях модели системы в условиях, которые или невозможно, или достаточно дорого создать для проведения натурных испытаний реальной системы, или это сопряжено с большими временными затратами.

В то же время из проведенного рассмотрения отличий модели от представляемого ею объекта (процесса, явления) следует, что полностью положиться на результаты моделирования, выступающего в качестве единственного источника получения характеристик указанного объекта (процесса, явления) не представляется возможным.

Отсюда логически вытекает необходимость сочетания моделирования и натурных испытаний для совместного получения показателей соответствующей системы. Соответствующий метод и получил название опытно-теоретического.

Здесь необходимо заметить: когда речь идет о натурных испытаниях системы, подразумевают натурные испытания ее элементов или сокращенного, упрощенного варианта. В противном случае пришлось бы создать систему в целом, не зная заранее, как она будет выполнять те или иные задачи. А если при этом система окажется неспособной выполнить свое назначение и затраты нецелесообразными? Но система создана?! В связи с этим и цель опытно-теоретического метода - избежать нецелесообразных затрат, используя сочетание экспериментальных данных в ограниченном объеме и моделирования - во всей области факторного пространства функционирования системы.

Суть опытно-теоретического метода, обязательно предполагающего создание модели системы, сводится к выполнению следующих положений:

1)Получение для одних и тех же условий достаточного количества реализаций показателей функционирования системы или ее отдельных блоков в натурных испытаниях и на модели.

2)Проведение параметрической доработки модели на основе сравнения результатов натурных экспериментов и моделирования, если структура модели удовлетворительна.

3)Проведение структурной перестройки модели, дополнительный учет отдельных факторов, дополнение связей при наличии остаточной разности между выходными характеристиками после попытки параметрической доработки.

4)Проверка статистической совместимости модели и системы в ряде целенаправленно выбранных точек факторного пространства.

5)На основе выполненной калибровки модели (пункты 1-4) распространение результатов испытаний системы с помощью моделирования на всю область факторного пространства.

Таким образом достигается сначала изоморфность модели и системы, а затем оценка этой системы на модели во всех возможных условиях функционирования.

Упомянутый при этом отказ от создания системы в целом, замена ее испытаний на испытания отдельных узлов, модулей, составляющих и т.п. отражается на построении модели системы. Дело в том, что некоторые результаты испытаний могут позволить, например, отдельные составляющие системы не моделировать, описывая соответствующие физические процессы, не искать для них точных математических описаний для реализации, а воспользоваться полученными экспериментальными данными. Так, можно не моделировать уходы параметров отдельных электронных и электромеханических устройств, приводящие к их отказам, если в результате испытаний получены характеристики надежности этих устройств (вероятность безотказной работы в течение рабочего цикла, наработка на отказ, время безотказной работы). То есть, натурные испытания могут явиться основанием для упрощения модели при сохранении ее изоморфности системе.

Рассмотренный путь упрощения - не единственный. Во-первых, уже упомянутый нами компромиссный характер создания модели системы (между точностью и возможностью реализации) дает в отдельных случаях такие основания. Тогда, как уже упоминалось можно отказаться от некоторых деталей моделирования. Во-вторых, задачи, ставящиеся перед моделью могут быть различными: оценка функционирования системы, оценка взаимодействия системы с другими сложными системами, оценка характеристик системы во всем диапазоне условий функционирования и т.д. Это приводит к тому, что при испытаниях сложных систем имеют дело не с одной единственной моделью. Так по своему назначению модели делятся на частные и системные.

Частные модели - это модели отдельных частей системы (подсистем, узлов, агрегатов), позволяющие при высокой точности моделирования этих частей получить исходные данные для использования в системной модели. В результате системная модель не будет перегружена соответствующими частными задачами, то есть, упростится и сможет стать реализуемой в приемлемое время (например, в реальное время), с приемлемым быстродействием и в допустимом объеме.

Системные модели включают в свой состав элементы, отражающие в той или иной степени работу всех частей системы или напрямую используют отдельные части системы. Они позволяют получить показатели качества всей системы в целом. А так как таких показателей может быть несколько, то и системных моделей может быть несколько. При таком разделении функций исчезает сложность разрабатываемых моделей. Этим, в частности, объясняется деление системных моделей на функциональные и комплексные. И если функциональные модели предназначаются для испытаний функционирования сложной системы в различных ситуациях, то комплексные обеспечивают:

-отработку и отладку программного обеспечения сложной системы;

-оценку характеристик отдельных средств и получение исходных данных для полной оценки системы.

Л Е К Ц И Я 5.3

Метод статистических испытаний

(метод Монте-Карло)

5.3.1. Основное определение

Из рассмотрения принципов построения моделей сложных систем следует, что при упрощениях модели и замене блоков, описывающих, как правило, воздействия на систему и ее части, эксперимент на системной модели сложной системы достаточно часто приобретает случайный характер. Случаен в силу этого и выходной эффект системы от запуска модели к запуску. Для проведения моделирования в таких условиях наиболее приемлемым является метод моделирования, основанный на статистических испытаниях, так называемый метод Монте-Карло.

Приемлемость указанного метода обусловливается тем, что

1)расчет оценок выходных параметров осуществляется с использованием достаточно простых алгоритмов обработки.

2)просто и точно определяется необходимый объем моделирования из условия достижения заданной точности оценок выходных показателей.

3)методика организации экспериментов на модели достаточно проста и хорошо программно реализуема.

В этом легко убедиться на простых примерах. А пока рассмотрим определение.

Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) состоит в решении различных задач вычислительной математики путем построения для каждой задачи случайного процесса с параметрами, равными искомым величинам этой задачи. .

Рассмотрим простейшие примеры.

А. Пусть необходимо определить вероятность P_ч того, что суммарное число попаданий при стрельбе в “десятку” мишени при 10 выстрелах - четно.

Известно, что если вероятность попадания в “десятку” при одном выстреле равна p , то искомая вероятность согласно биномиальному закону распределения вероятностей вычисляется так:

Здесь - число сочетаний из 10 по 2k.

Если предварительно подсчитать все числа сочетаний при k=0…5 или использовать готовую таблицу сочетаний, то вычисления P_ч по указанной формуле потребуют 26 операций.

Вместо такого расчета можно было бы экспериментально выполнить N серий стрельб по 10 выстрелов и определить из их числа количество серий n_ч , в которых число попаданий в “десятку” - четное. Тогда при достаточно большом N имеем

Однако при таком подходе для получения достоверными в оценке Pч двух знаков после запятой потребуется около 10 000 серий по 10 выстрелов.

Оказывается, что ЭВМ позволяет выполнить решение указанной задачи третьим способом.

Как известно многие языки программирования имеют в составе стандартных функций датчик случайных чисел, позволяющий формировать случайную последовательность равномерно распределенных чисел на интервале [0,1].

Поэтому вместо выстрела по мишени достаточно выбрать из датчика указанное число со значением x и проверить выполнение неравенства x

Действительно вероятность попадания случайной величины в интервал [0;p] равна

,

где w(x) - плотность распределения вероятности

В нашем случае имеем дело с равномерным распределение на единичном интервале, то есть w(x) = 1. Поэтом P_0;р = p.

Выбираем теперь серии из 10 чисел x. Если при этом число “попаданий” (выполнения неравенства x

При N таким образом имитированных серий получим также, как и в прямом эксперименте со стрельбами

Однако в отличии от этого прямого эксперимента результат будет получен здесь на современной ЭВМ не более чем за 10 с.

Таким образом задача в рассмотренном случае была решена (согласно определению метода Монте-Карло) путем построения случайной последовательности с параметром, равным искомой величине P_ч. Эта последовательность была построена следующим образом:

-формирование на первом этапе равномерно распределенной последовательности на интервале [0,1] ;

-формирование на втором этапе новой случайной последовательности (N серий) группировкой полученных на первом этапе значений в серии по 10;

-формирование на третьем этапе искомой случайной последовательности путем выборки из последовательности серий второго этапа размера N таких, в которых неравенство x

Количество серий третьего этапа формирования и определяет частость

которая при N ®¥ стремится к искомой величине P_ч .

Б.Еще один пример, но из области непосредственного применения метода Монте-Карло к вычислению интегралов.

Пусть необходимо вычислить

При этом будем считать, что 0<=x<=1 и 0<= g(x) <=1 , то есть вся функция лежит в единичном квадрате.

Такое ограничение не влияет на общность задачи, так как любой интеграл заменой переменных и изменением масштаба может быть приведен к рассматриваемому.

Y

1

y = g(x)

x

1

Рис.5.3.1.

Будем рассматривать две области на плоскости (x,y)

W - область, заданная неравенствами

0<= x <=1

0<= y <=1

w - область, ограниченная кривой y = g(x) и ординатами x=0 и x = 1.

Площадь области W равна единице S1=1, а площадь области w_S2 = I.

Зададим в области W равномерное распределение случайных точек. Это означает, что вероятность попадания точки с координатами x_i , y_i в область W равна 1, а в некоторую часть этой области - пропорциональна площади этой области независимо от ее расположения внутри W.

Плотность заданного распределения вероятностей f(x,y) = 1

Ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ òî÷êè â îáëàñòü w ðàâíà

Характеристики

Список файлов реферата