28776-1 (707635), страница 6
Текст из файла (страница 6)
а) распределенная нагрузка q (x);
б) сосредоточенные силы P ;
в) изгибающие моменты M.
Внутренние:
а) поперечная сила Q - сумма всех сил слева от сечения;
б) изгибающий момент M - сумма всех моментов слева от сечения.
Знаки всех силовых факторов принимают в соответствии с рис.10.3.
Дифференциальные зависимости между силовыми факторами при изгибе получают, сравнивая выражения для M и Q в двух соседних сечениях на расстоянии
dx (рис.10.4) :
dM (x)/dx = Q (x); dQ (x)/dx = q (x) . (10.1)
10.2. Напряжения при изгибе
10.2.1. Нормальные напряжения. При изгибе волокна стержня, параллельные его оси, испытывают одноосное растяжение или сжатие. Через
центр масс сечения проходит нейтральный слой, волокна которого не растягиваются и не сжимаются, а только искривляются. Относительные деформации волокон, параллельных оси (рис.10.5) :
eps = del (dx) /dx = z/ro, (10.2)
где ro - радиус кривизны нейтрального слоя; z - расстояние до него.
Нормальные напряжения на основании закона Гука (8.6), линейно распределены по высоте сечения (рис.10.6) :
sig = E*z/ro ; (sig) max = E* (z)max/ro . (10.3)
10.2.2. Связь напряжений sig с внешним моментом M может быть получена из уравнения равновесия сечения:
M = int (sig*z*dS) S = (E/ro) *int[ (z**2) *dS]S = E*Jy/ro,
где Jy = int[ (z**2) *dS]S - момент инерции сечения относительно оси y.
Закон Гука для стержня с жесткостью E*Jy при изгибе:
1/ro = M/E*Jy . (10.4)
Связь напряжений с внешним моментом:
sig = M*z/Jy ; (sig) max = M* (z)max/Jy = M/Wy, (10.5)
где Wy = Jy/ (z)max момент сопротивления сечения относительно оси y.
10.2.3. Геометрические характеристики сечения при изгибе. Этомоменты инерции Jy и сопротивления Wy относительно оси y .
Для прямоугольного сечения высотой h и шириной b :
Jy = b*h**3/12 ; Wy = b*h**2/6 . (10.6)
Для круглого сечения с наружным D и внутренним d диаметрами:
Jy = (pi*D**4) *[1 - (alf) **4]/64 ;
Wy = (pi*D**3) *[1 - (alf) **4]/32, (10.7)
где alf = d/D .
Рациональные формы сечения - двутавры, швеллеры, Z - образные или трубчатые профили - имеют максимальный момент сопротивления при данной площади.
10.2.4. Касательные напряжения. Возникают в сечениях, нормальных к оси стержня, при наличии поперечных сил. Парные касательные - в сечениях, параллельных нейтральному слою. Их определяют из условия равновесия элементарного обьема (на рис.10.7 - 11'2'2) :
-int[sig1*dS] (S)отс + int[sig2*dS] (S)отс + tau*b*dx = 0 ;
(dM/dx) *[ (C)отс/Jy] = tau*b, (10.8)
где b - ширина сечения; (S) отс - площадь отсеченной части сечения;
(C)отс = int[z*dS] (S)отс - статический момент ее относительно нейтральной оси;
sig1, 2 = M1, 2*z/Jy ; M1 - M2 = dM .
Поскольку dM/dx = Qx,
tau = Qx* (C)отс/ (Jy*b) . (10.9)
Касательные напряжения при поперечном изгибе максимальны на нейтральной оси, а при z = (z) max равны нулю.
10.2.5. Условия прочности при изгибе. Нормальные напряжения при чистом изгибе находят по формулам (10.5) . При поперечном:
главные напряжения
sig1, 2 = 0.5*[sig +- (sig**2 + 4*tau**2) **0.5] ; (10.10)
касательные напряжения
tau1, 2 = 0.5* (sig1 - sig2) =
= +- 0.5*[ (sig**2 + 4*tau**2) **0.5] . (10.11)
Условия прочности:
sig1, 2 <= (sig) p ; tau1, 2 <= (tau) p . (10.12)
10.3. Деформации при изгибе
10.3.1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня. Его получают из выражения (10.4), учитывая, что для уравнения изогнутой оси
z = z (x) кривизна может быть выражена соотношением:
kappa = 1/ro = (d2z/dx2) /[1 + (dz/dx) **2]**1.5 .
Поскольку в общем случае изгибающий момент M (x) и момент инерции Jy (x) переменны по длине стержня, уравнение изогнутой оси имеет вид:
(d2z/dx2) /[1 + (dz/dx) **2]**1.5 = M (x)/E*Jy (x) . (10.13)
Для малых прогибов стержня величиной dz/dx = tet - углом поворота стержня пренебрегают и получают приближенное уравнение изогнутой оси стержня при изгибе:
d2z/dx2 = M (x)/E*Jy (x) . (10.14)
10.3.2. Определение деформаций. Большинство методов определения деформаций при изгибе сводится к интегрированию уравнения (10.14), а при необходимости высокой точности результатов - (10.13) с учетом граничных условий. Решения для стержней, нагруженных сосредоточенной силой (рис. 10.8), моментом (рис.10.9), равномерной нагрузкой (рис. 10.10), дают следующие выражения (при Jy = const) :
для силы P
(z)max = - P*l**3/ (3*E*J) ; (tet) max = P*l**2/ (2*E*J) ; (10.15)
для момента M
(z)max = M*l**2/ (E*J) ; (tet) max = - M*l/ (E*J) ; (10.16)
для распределенной нагрузки
(z)max = - q*l**4/ (8*E*J) ; (tet) max = q*l**3/ (6*E*J) . (10.17)
Деформации при сложном нагружении стержня можно представить как сумму деформаций от распределенных нагрузок, сосредоточенных сил и моментов, причем реактивные силы и моменты в опорах рассматривают наравне с другими внешними силовыми факторами.
10.4. Продольный изгиб и устойчивость стержня.
10.4.1. Потеря устойчивости. У продольно сжатых стержней может наступить потеря устойчивости - катастрофическое нарастание деформаций и последующее разрушение под воздействием сил, которые настолько малы, что разрушения от сжатия произойти не может. Это происходит тогда, когда ось стержня имеет первоначальное искривление, или продольная сила действует с эксцентриситетом - появляется изгибающий момент, который разрушает стержень (рис.10.11) .
Уравнение продольного изгиба:
E*J* (d2z/dx2) = M (x) = - P*z . (10.18)
Решение этого уравнения при k = (P/E*J) **0.5 :
z (x) = C1*cos (k*x) + C2*sin (k*x) . (10.19)
Из граничных условий z = 0 при x = l следует: C1 = 0, k*l =
= pi*n, где n = 1, 2, 3 ... Из (10.19) получают выражение для критической силы, вызывающей потерю устойчивости:
(P)кр = E* (J)min* (pi*n/l) **2 . (10.20)
Для n = 1 получают минимальное значение критической силы (P) кр; если ввести промежуточные опоры по длине стержня, можно получить (P) кр при n = 2, 3 и т.д. (рис.10.12) .
10.4.2. Приведенная длина стержня. Влияние закрепления концов на устойчивость учитывают с помощью коэффициента приведения длины mju (рис.
10.13) . В зависимости от характера закрепления концов на длине стержня возникает различное число полуволн синусоиды, что и учитывает коэффициент mju. Поэтому критическая сила
(P)кр = (pi) **2* (E*J) min/ (mju*l) **2 . (10.21)
10.4.3. Гибкость стержня. Формула (10.21) справедлива, пока выполняется закон Гука, т.е. пока критическое напряжение в стержне не превышает предела пропорциональности (sig) пц :
(sig) кр = (P) кр/S = pi**2* (E*J) min/[S* (mju*l) **2 =
= pi**2*E/lam**2 <= (sig) пц, (10.22)
где lam = mju*l/i - гибкость стержня; i = (Jmin/S) **0.5 - наименьший главный радиус инерции сечения стержня.
Предельная гибкость стержня, при которой наступает потеря устойчивости:
(lam) пр >= pi*[E/ (sig) пц]**0.5 . (10.23)
Если lam меньше этого значения, стержень разрушается от сжатия, потери устойчивости не будет. Считают, что для пластичных материалов (sig) кр = (sig) т, для хрупких (sig) кр = (sig) в, если lam < (lam) пр.
10.4.4. Расчет устойчивости. Для оценки устойчивости рассчитывают гибкость стержня lam, и если lam > (lam) пр, определяют критическую силу (P) кр по формуле (10.21), (sig) кр по формуле (10.22) .
Условие устойчивости: (sig) у = (sig) кр/nу, где nу = 1.8 - 3.2 коэффициент запаса по устойчивости.
Глава 11. Контактная прочность. Прочность при переменных нагрузках и сложных видах нагружения.
11.1. Контактная прочность деталей.
11.1.1. Общая характеристика. При контактировании поверхностей, из которых одна или обе криволинейны (теоретически контакт происходит по линии или в точке), возникают контактные напряжения и контактные деформации. Их определяют методами теории упругости, считая, что в контактной зоне образуется в общем случае эллиптическая площадка малых размеров, давление на которой распределяется также по закону эллипса (рис. 11.1) :
q (x,y) = qm*[1 - (x/a) **2 - (y/b) **2]**0.5, (11.1)
где qm - давление в центре площадки с полуосями a и b.
11.1.2. Напряжения в зоне контакта. Значение sig можно найти из условий равновесия:
P = int{int[sig (x,y) *dx*dy]} ; (sig) max = 1.5*P/ (pi*a*b) . (11.2)
Размеры полуосей контакта:
a = alf*[P* (ro) пр/ (E)пр]** (1/3) ;
b = bet*[P* (ro) пр/ (E)пр]** (1/3),
где (ro) пр - приведенный радиус кривизны контактирующих поверхностей (рис.11.2) ; (E) пр - приведенный модуль упругости:
(ro) пр = 4/ (1/ro11 + 1/ro12 + 1/ro21 + 1/ro22 ) ;
(E)пр = (8/3) /{[1 - (nju1) **2]/E1 + [1 - (nju2) **2]/E2} . (11.3)
E1 и E2, nju1 и nju2 - соответственно модули упругости и коэффициенты Пуассона для материалов контактирующих поверхностей; ro11 и ro21, ro12 и ro22 - наибольшие и наименьшие радиусы кривизны.
Коэффициенты alf и bet зависят от взаимной ориентировки главных радиусов кривизны ro11 и ro21 и приведены в справочниках.
Для контакта двух шаров с радиусами R1 и R2 :
(sig) max = 0.578*| P* (1/R +- 1/R) **2/{[1 - (nju1) **2]/E1 +
+ [1 - (nju2) **2]/E2} |** (1/3) . (11.4)
Для цилиндрических поверхностей с параллельными образующими и длиной контактной линии l
(sig) max = 0.564*| P* (1/R +- 1/R) **2/l{[1 - (nju) **2]/E1 + [1 - (nju2) **2]/E2} |** (1/3) . (11.5)
11.1.3. Проверака контактной прочности. Материал в зоне контакта находится в состоянии всестороннего сжатия, поэтому допускаемые напряжения при расчете контактной прочности выше, чем предел прочности при одноосном сжатии (sig) c в 1.5 - 1.8 раза. Для различных материалов допустимые напряжения (sig) кp приведены в справочниках.
11.2. Прочность при повторно-переменных нагрузках
11.2.1. Усталость материалов. Это - разрушение материалов при многократном приложении нагрузки; способность сопротивляться такому разрушению - выносливость материала. Для усталостного разрушения необходимо, чтобы действующие напряжения превысили напряжения, равные пределу выносливости. Усталость материалов связана с появлением местных нарушений целостности в зоне межкристаллических соединений вследствие пластических сдвигов и появления микротрещин, которые в дальнейшем расширяются и разрушают материал.
11.2.2. Параметры, определяющие усталостную прочность. Совокупность всех напряжений за один период нагружения - цикл напряжений. На усталостную прочность влияют (sig) max - максимальное и (sig) min - минимальное напряжения, коэффициент асимметрии цикла r = (sig) min/ (sig) max и число циклов нагружения (N) ц. При постоянной нагрузке r = +1, при симметричной знакопеременной r = -1; циклы с последним коэффициентом наиболее опасны для материалов. Предел выносливости - напряжение, которое материал выдерживает без разрушения при любом числе циклов, обозначают (sig) -1 и определяют на специальных образцах опытным путем. Существуют две группы материалов: с явно выраженным пределом усталости и без такового (рис.11.3) . Для сталей предел выносливости достигается при (N) ц = 10**7, для цветных материалов при (N) ц = (5- 10) .10**7; для материалов, у которых этот предел практически определить невозможно, вводят понятие условного предела выносливости при ограниченном числе циклов нагружения.
11.2.3. Факторы, влияющие на выносливость деталей. Наибольшее влияние оказывают:
а) концентрация напряжений;
б) состояние поверхности;
в) размеры детали.
Концентрация напряжений - местное увеличение напряжений в зонах изменения формы и размеров деталей (сужений, канавок, отверстий и т.п).
Коэффициент концентрации напряжений (k) sig = [ (sig) -1]/[ (sig) -1]к > 1, где [ (sig) -1]к - предел выносливости материала детали с концентратором напряжений.
Состояние поверхности сказывается в том случае, если она не полирована. Микровыступы являются микроконцентраторами напряжений. Поэтому вводят коэффициент bet = [ (sig) -1]/[ (sig) -1]п < 1, где [ (sig) -1]п - предел выносливости для полированной детали.
Размеры детали влияют на предел выносливости тогда, когда они намного превышают размер испытательного образца, на котором определяют предел выносливости (для стандартного образца d = 10 мм) ; это учитывают коэффициентом eps = [ (sig) -1]/[ (sig) -1]об < 1, где [ (sig) -1]об - предел выносливости образца.
11.2.4. Расчет прочности при переменных нагрузках. Допустимое напряжение определяют на базе предела выносливости для заданного числа циклов или на базе (sig) -1, вводя коэффициенты концентрации нагрузки, состояния поверхности и размеров детали:
sig = [ (sig) -1) p = [ (sig) -1]*bet*eps/ (k)sig . (11.6)
11.3. Прочность при сложном нагружении
11.3.1. Сложное напряженное состояние. Возникает как результат одновременного действия нескольких видов нагружения; в общем случае все три главных напряжения sig1, sig2 и sig3 не равны нулю (рис. 11.4) .
Экспериментальная оценка в этом случае практически исключена из-за большого количества соотношений между sig1, sig2 и sig3 . Поэтому вводят критерии прочности, учитывающие влияние на прочность материала какоголибо одного силового фактора или группы таких факторов. Основная трудность при образовании таких критериев заключается в том, что предельное напряженно-деформированное состояние даже для структурно-однородных материалов в действительности определяется большим числом параметров: значениями главных напряжений sig1, sig2 и sig3, чувствительностью материалов к касательным напряжениям, различной прочностью при растяжении и сжатии и т.п. При этом сложное напряженное состояние приводят к эквивалентному одноосному. Условие прочности - сравнение эквивалентного напряжения (sig) экв с допустимым для одноосного растяжения [ (sig) рас]p :
(sig) экв < [ (sig) рас]p . (11.7)
11.3.2. Универсальный критерий прочности Писаренко-Лебедева.
Предполагает, что наступление предельного состояния определяется способностью материала воспринимать как нормальные, так и касательные напряжения. Эквивалентное напряжение находят из выражения
(sig) экв = X* (sig) i + (1 - X) *sig1 . (11.8)
Интенсивность напряжений (sig) i определяют из выражения для удельной потенциальной энергии формоизменения элементарного обьема материала:
(u)ф = [ (sig) i]**2/2*E ;
(sig) i = (sig1**2 + sig2**2 + sig3**2 - sig1*sig2 -
sig1*sig3 - sig2*sig3) **0.5 .
Коэффициент X = [ (sig) +]/[ (sig) -] учитывает различную сопротивляемость материала предельным напряжениям растяжения [ (sig) +] и сжатия
[ (sig) -] . Для реальных конструкционных материалов 0 < X < 1; для абсолютно хрупких X = 0, для абсолютно пластичных X = 1. Для плоского напряженного состояния sig3 = 0 и (sig) i = (sig1**2 + sig2**2 - sig1*sig2) **0.5 .
11.3.3. Допустимые напряжения (sig) p определяют при одноосном растяжении на базе предела текучести (sig) т для пластичных материалов или предела прочности (sig) в - для хрупких:
(sig) p = (sig) т/n ; (sig) p = (sig) в/n, (11.9) где n - коэффициент запаса прочности, определяемый функциональным назначением детали.
РАЗДЕЛ 3. ОСНОВЫ ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМОСТИ И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТОЧНОСТИ МЕХАНИЗМОВ
Глава 12. Функциональная взаимозаменяемость и параметры точности
12.1. Функциональная взаимозаменяемость при производстве изделий
12.1.1. Функциональная взаимозаменяемость (ВЗ) - это принцип проектирования, производства и эксплуатации изделий, обеспечивающий получение заданных функциональных параметров изделия при сборке последнего из независимо изготовленных узлов и деталей или при замене этих деталей в процессе эксплуатации и ремонта. Обеспечивается благодаря широкой стандартизации и унификации в промышленности.
Стандартизация - установление и применение в области науки и техники обязательных правил, норм и требований, обеспечивающих получение оптимальных результатов целенаправленной деятельности (развития отраслей народного хозяйства, научных исследований, выпуска промышленной продукции и т.п.). В зависимости от сферы действия существуют государственные стандарты (ГОСТ), республиканские (РСТ), отраслевые (ОСТ), стандарты предприятий (СТП) .
В современном машиностроении и приборостроении стандартизованы большинство разьемных соединений, многие типовые узлы (упругие элементы, подшипники, муфты), механические передачи и т.п.
Унификация - сокращение номенклатуры материалов или изделей одинакового функционального назначения, осуществляемое благодаря расширению диапазона показателей отдельного устройства. Широко применяется внутри предприятий и отраслей промышленности.
12.1.2. Геометрическая ВЗ - частный случай функциональной, когда обеспечивается ВЗ по геометрическим параметрам - линейным и угловым размерам; является основой для ВЗ по другим функциональным параметрам. Обеспечивается стандартизацией во всех отраслях промышленности как для самих изделей, так и их узлов и деталей, технологического и контрольно-измерительного оборудования, обрабатывающего инструмента. Стандартизованы нормальные линейные размеры (диаметры, длины), допуски и посадки, размеры резьб, присоединительные размеры валов и осей и т.д.
12.2. Параметры точности механизмов
12.2.1. Точность геометрических и кинематических параметров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
