Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Сведем результаты в 4 таблицы. Теперь F₄(7)=141 показывает максимальный суммарный эффект по всем 4-м фирмам, a z₄(7)=100 тыс. руб. - размер инвестиций в 4-ю фирму для достижения этого максимального эффекта. На долю остальных трех предприятий остается 600 тыс. руб.

Третьему предприятию должно быть выделено х*₃=Х₃(700-х*₄)=Х₃(600)=100 тыс. руб.

Продолжая обратный процесс, находим х*₂=Х₂(700-х*₄-х*₃)=Х₂(500)=200 тыс. руб.

На долю первого предприятия остается х*₁=700-х*₄-х*₃-х*₂=300 тыс. руб.

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капи­тальных вложений по предприятиям:

х*₁ =300; х*₂ =200; х*₃ = 100; х*₄ = 100.

Оно обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли 141 тыс. руб.

Анализ доходности и риска финансовых операций

Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния ко­торой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода - разности между конечной и начальной оценками.

Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопреде­ленности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможны как прибыль, так и убыток.

Существует несколько разных способов оценки операции с точки зрения доходности и риска. Наиболее распространенным является представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода. Однако количественно оценить риск возможно лишь если операция вероятностно характеризуема, т.е. ее доход есть случайная величина - это предполагает возможность неоднократного повторения этой операции. Итак, пусть доход от операции Q есть случайная величина, которую будем обозначать также как и саму операцию Q. Математическое ожидание М[Q] называют еще средним ожидаемым доходом, а риск операции r отождествляют со средним квадратическим отклонением, т.е. квадратным корнем из дисперсии D[Q].

Рассмотрим четыре операции Q₁, Q₂, Q₃, Q₄. Найдем средние ожидае­мые доходы Q_i и риски r_i, операций.

; ;

; .

Q₁=0¹/₃+1¹/₃+2¹/₆+8¹/₆=2

M[Q₁²]= 0² ¹/₃+1² ¹/₃+2² ¹/₆+8² ¹/₆=11,7

D[Q₁]= 11,7-2²=7,7

r₁=2,77

Q₂=4

M[Q₂²]=23,7

D[Q₂]=7,7

r₂=2,77

Q₃=6

M[Q₃²]=50,4

D[Q₃]=14,4

r₃=3,8

Q₄=8

M[Q₄²]=78,4

D[Q₄]=14,4

r₄=3,8

Нанесем средние ожидаемые доходы Q и риски r на плоскость - доход откладываем по горизонтали, а риски по вертикали (см. график 3);

Получили 4 точки. Чем правее точка (Q,r), тем более доходная операция, чем точка выше - тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (Q',r') доминирует над точкой (Q,r) если Q'>Q и r'

Точка, не доминируемая никакой другой, называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимально­сти по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо вы­бирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето.

Для нахождения лучшей операции применяют взвешивающую формулу (Q_i)=2Q_i-r_i, которая для пар (Q,r) дает одно число, по кото­рому и определяют лучшую операцию.

(Q₁)=22-2,8=1,2 (Q₂)=6,2

(Q₃)=8,2 (Q₄)=12,2

Наибольшее значение  соответствует лучшей операции, наименьшее – худшей. В нашем случае наилучшей является операция №4, худшей – операция №1.

Матричная игра 2х4

Рассмотрим игру для двух лиц с нулевой суммой. Пусть П и В – первый и второй игроки соответственно, а матрица А – платежная матрица, каждый элемент которой по абсолютной величине является выигрышем/ проигрышем, уплачиваемым игроками друг другу в соответствии с их договоренностью. Цель игроков – максимизировать выигрыш. При этом предполагается, что будет сыграно достаточно много партий, так что задача заключается в получении максимального выигрыша в среднем за партию. Каждый из игроков использует наилучшие для себя стратегии. Стратегия называется чистой, если выбор игрока неизменен от партии к партии, и смешанной, если выбор i-ой строки производится с некоторой вероятностью p_i.

Рассмотрим графическое решение игры 2х4 с матрицей

В

П 

Седловой точки в чистых стратегиях нет.

В строках доминирования нет.

3-ий столбец доминирует над 1-ым.

Обозначим искомую оптимальную стратегию первого игрока П - (х, 1-х), где

х – вероятность выбора первой строки

(1-х) – вероятность выбора второй строки

0  x  1

Пусть П играет в смешанных стратегиях, а В отвечает чистыми:

₁(х)= 2х-2(1-х) (1)

₂(х)= -2х+(1-х) (2)

₄(х)= -5х+3(1-х) (4)

₁(х)= 3х-2

₂(х)= -3х+1

₄(х)= -8х+3

т. В(х*, *)

т. В: ₁=₄

3х-2= -8х+3

11х=5

х*=⁵/₁₁

(х*)=¹⁵/₁₁-2= -⁷/₁₁

р*(⁵/₁₁; 1-⁵/₁₁)=р*(⁵/₁₁; ⁶/₁₁) – оптимальная смешанная стратегия для П

Ищем оптимальную смешанную стратегию для В.

q(y, 0, 0, 1-y)

p₁* = ⁵/₁₁>0

Рассматриваем вариант, когда В играет в смешанных стратегиях, а П – в чистых стратегиях выбирает первую строку.

-⁷/₁₁= 2y-5(1-y)

y*= ⁴⁸/₇₇

q*=(⁴⁸/₇₇, 0, 0, ²⁹/₇₇) – оптимальная смешанная стратегия В

Анализ модели краткосрочного страхования жизни

В страховой компании застраховано N₁=900 человек в возрасте 45 лет и N₂=550 человек в возрасте 55 лет сроком на один год. Компания выплачивает наследникам: 100000 руб., в случае смерти застрахованного от несчастного случая, и 25000 руб., в случае смерти от естественных причин в течение года. Компания не платит ничего, если человек проживет этот год. Предположим, что смертность описывается моделью Мейкхама и рассчитаем нетто-премию, цену полиса, страховую надбавку, чтобы вероятность неразорения компании составляла 0,95.

Индивидуальные иски x и x каждого из застрахованных 1-ой и 2-ой групп определяются, соответственно, рядами распределения (для удобства за денежную единицу примем 100000 руб.).

0 ¼ 1 (1)

x

=0,9982 =0,0013 =0,0005

0 ¼ 1

x

=0,9962 =0,0044 =0,0005

Здесь вероятности смерти от несчастного случая примем равными 0,0005, а вероятности смерти от естественных причин возьмем из Таблицы продолжительности жизни.

Средние индивидуальные иски Мx и Мx равны соответствующим нетто-премиям Р и Р для клиентов компании 1-ой и 2-ой групп.

Р = Мx = ј*0,0013 + 1*0,0005 » 0,00083 = 83 руб. (2)

Р = Мx = ј*0,0044 + 1*0,0005 » 0,0016 = 160 руб.

1. Сначала рассмотрим решение, основанное на распределении Пуассона.

Чтобы свести задачу к схеме опытов Бернулли можно приближенно заменить ряды распределения (1) следующими таблицами:

0 М(x /x ¹0) 0 М(x /x ¹0)

x : x : (3)

а затем в качестве условной денежной единицы принять условные математические ожидания М(x /x ¹0) в 1-ой таблице и М(x /x ¹0) – во 2-ой.

Вычислим условные математические ожидания:

М(x /x ¹0)=ј*Р(x =ј/x ¹0)+1*Р(x =1/x ¹0) = =ј* /( )+1* = =ј*0,0044/(0,0044+0,0005)+1*0,0005/(0,0044+0,0005)=

=ј*¹³/₁₈+1*⁵/₄₉ = ⁵/₁₈ » 0,458=45800 руб. – денежная единица для клиентов 1-ой группы.

М(x /x ¹0=ј* /( )+1* =

=ј*0,0044/(0,0044+0,0005)+1*0,0005/(0,0044+0,0005)=

=. ј*⁴⁴/₄₉+1*⁵/₄₉ = ¹⁶/₄₉ » 0,327=32700 руб – денежная единица для клиентов 2-ой группы.

С учетом всех замечаний вместо рядов распределения (3) имеем:

0 1 0 1

x : x : (4)

0,9982 0,0018 0,9962 0,0049

откуда получаем: Мx = 0,0018

Мx = 0,0049.

Подсчитаем сумму исков от застрахованных

1-ой группы:

l = Мx = N1* Мx = 400*0,0018 = 0,7

2-ой группы:

l = Мx = N2* Мx = 1000*0,0049 = 4,9

Общая сумма исков может рассматриваться, как случайная пуассоновская величина с параметром l +l = 5,6

Так как вероятность не разорения компании должна быть не меньше 0,95, необходимо чтобы для общей суммы исков от застрахованных

x = x + x

выполнялось соотношение: Р(x £ x) ³ 0,95 , где х – капитал компании.

Очевидно, что х = х , здесь х » 10– квантиль уровня 0,95 для распределения Пуассона. За счет нетто-премий компания может получить только сумму:

5,6=0,7*45800 руб. + 4,9*32700 руб. = 32060 руб.+1060230 руб. = 192290руб.

Поэтому страховая надбавка компании должна составлять:

R=^(10-5,6)/_5,6 100% »78,6% = 0,786*192290 руб.»1511400руб., (5)

а капитал компании:

х = 192290 руб. + 151140 руб. » 343430 руб. (6)

Таким образом, индивидуальные страховые надбавки r и r , цены полисов Р и Р для каждого из клиентов 1-ой и 2-ой группы соответственно равны (они пропорциональны нетто-премиям):

r = 0,52*Р = 0,52*83 руб. » 43 руб.,

r = 0,52*Р = 0,52*160 руб. » 83 руб.,

(7)

Р = Р + r » 43 руб. + 83 руб. = 126 руб.,

Р = Р + r »160 руб. + 83 руб. = 243 руб.

1. Теперь решим задачу с помощью гауссовского приближения. Среднее значение общего суммарного иска от застрахованных

x = Мx + Мx

с учетом средних индивидуальных исков (2) равно:

Мx = N1*Mx + N2* Мx =400*0,00083+1000*0,0016=

= 0,332 + 1,6 » 1,9 = 190000 руб. (8)

Дисперсию x в виду независимости x и x вычислим по формуле:

Dx = Dx + Dx » 400*0,00058 + 1000*0,00078=

=0,23 + 0,78 = 1,01. (9)

Здесь:

Dx = М(x ) - М x = 0,00058 – (0,00083) » 0,00058 ,

(10)

Dx = М(x ) - М x = 0,00078 – (0,0016) » 0,00078 ,

где с помощью рядов распределения (1) имеем:

М(x ) = 1/16*0,0013 + 1*0,0005 » 0,00058 ,

(11)

М(x ) = 1/16*0,0044 +1*0,0005 » 0,00078.

На основании центральной предельной теоремы функция распределения нормированной случайной величины:

S = (x - Mx)/ ,

при N1 + N2 ® ¥ имеет предел

F(x) = (1/ )* dz

Для гауссовского приближения случайной величины x верна следующая цепочка равенств:

Р(x < x) = Р((x - Мx)/ £ (х - Мx)/ ) » F((x - Mx)/ ) ,

где х – капитал компании.

Характеристики

Список файлов реферата