Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Утверждение: знакопеременная группа А_n является нормальной подгруппой симметрической группы S_n.

6. Докажите, что группа А₄ не имеет подгрупп порядка 6.

Доказательство.

Если группа А₄ обладает подгруппой порядка 6, то эта подгруппа должна быть нормальной, так как ее порядок равен половине порядка группы А₄. Но, так как любая нормальная подгруппа группы А₄ содержит только элементы порядка 2, то максимальный возможный порядок подгруппы А₄ равен 4. Следовательно, группа А₄ не имеет подгрупп порядка 6.

7. Докажите, что знакопеременная группа А_n ( ). Порождается всеми циклами (a b c) длины 3.

Доказательство.

Группа А_n порождается произведениями пар транспозиций. Если две транспозиции одинаковы, их произведение равно тождественной перестановке. Если они имеют одну общую букву, как, например, (a b) и (a c), то (a b)*(a c)=(a b c). Если они не имеют общих букв, то (a b)*(c d)=(a b)*(a c)*

*(c a)*(c d)=(a b c)*(c a d). Значит, знакопеременная группа А_n, порождается всеми циклами длины 3.

ГЛАВА 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ

НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ В ШКОЛЕ

2.1. ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ, КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ

АБСТРАКТНОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ СТАРШИХ КЛАССОВ

2.1.1. МЫШЛЕНИЕ И ЕГО РАЗВИТИЕ

Развитие мышления школьников является одной из главных задач обучения, так как высокая результативность обучения школьников достигается прежде всего тогда, когда проявляется должная забота о развитии мышления учащихся [24].

Мышление является продуктом исторического развития общественной практики, особой теоретической формой человеческой деятельности. С точки зрения психологии, мышление – это специально обусловленный, неразрывно связанный с речью психический процесс поисков и открытия существенно нового, процесс опосредствованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза [23].

Критерий истинности мышления – общественная практика. Она служит также той основой, на которой строятся логические законы и правила. Поэтому мышление не может быть сведено только к совокупности мыслительных операций и манипулировании с ними. Развитое мышление тесно связано с речью, то есть способностью говорить, выражать свои мысли.

В задачи мышления входит правильное определение причин и следствий, которые могут выполнять функции друг друга в зависимости от обстоятельств и времени.

Развитие мышления – это изменения его содержания и форм, которые образуются в процессе познавательной деятельности ребенка. В психологии обычно рассматриваются три вида мышления: 1) практически-действенное, 2) наглядно-образное и 3) словесно-логическое. Самым ранним (у ребенка до 3 лет) является практически-действенное. В 4-7 лет развивается наглядно-образное. В первые годы обучения в школе происходит развитие словесно-логического (понятийного) мышления. У школьников среднего и старшего возрастов этот вид мышления становится особенно важным.

В процессе развития мышление предшествующий вид не отбрасывается последующим. Каждый вид продолжает и дальше развивается и совершенствоваться.

Таким образом, развитие мышления – это не простая смена видов и форм мышления, а их изменение, совершенствование в ходе усвоения все более абстрактной и обобщенной информации [23], [24].

Развивать мышление – это значит:

1. развивать все виды и формы мышления и стимулировать процесс перерастания их из одних в другие;

2. формировать и совершенствовать мыслительные операции (анализ, синтез, сравнение, обобщение, классификацию и другие);

3. развивать умения: выделять существенные свойства предметов и абстрагировать их от несущественных; находить главные связи и отношения вещей и явлений окружающего мира; делать правильные выводы из фактов и проверять их; доказывать истинность своих суждений и опровергать ложные умозаключения; раскрывать существо основных форм правильных умозаключений; излагать свои мысли определенно, последовательно, непротиворечиво и обоснованно;

4. вырабатывать умения осуществлять перенос операций и приемов мышления из одной области в другую; предвидеть развитие явлений и делать обоснованные выводы;

5. стимулировать процесс перехода от мышления, основанного на формальной логике, к мышлению, основанному на диалектической логике; совершенствовать умения и навыки по применению законов и требований формальной и диалектической логики в учебной и внеучебной познавательной деятельности учащихся.

Указанные компоненты тесно взаимосвязаны.

Особо подчеркивается значение мыслительных операций, которые лежат в основе любого из этих компонентов: формулируя и совершенствуя их у учащихся, мы тем самым способствуем развитию их мышления вообще.

Таким образом, под развитием мышления учащихся в процессе обучения понимается формирование и совершенствование всех видов, форм и операций мышления, выработка умений и навыков по применению законов мышления в познавательной и учебной деятельности, а также умений осуществлять перенос приемов мыслительной деятельности из одной области знаний в другие [23].

2.1.2. ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ МЫШЛЕНИЯ

В СТАРШЕМ ШКОЛЬНОМ ВОЗРАСТЕ

В настоящее время особое внимание уделяется развитию мышления старшеклассников. Производительный труд и производственное обучение в системе трудового воспитания предъявляют к учащимся серьезные требования. У них вырабатывается активная жизненная позиция, более сознательное отношение к выбору будущей профессии, к самоопределению и самопознанию, прививаются навыки трудовой и учебно-познавательной деятельности. Более сложные содержание и методы обучения старшеклассников требуют от них и более высокого уровня самостоятельности, активности, организованности, умений принять на практике приемы и операции мышления. Резко возрастает потребность в самоконтроле и самовоспитании, в знаниях своих способностей и возможностей их реализации, развивается инициатива. Мышление становится более глубоким, полным, разносторонним и все более абстрактным; в процессе знакомства с новыми приемами умственной деятельности моделируются старые, освоенные на предыдущих ступенях обучения.

Овладение высшими формами мышления способствует выработке потребности в интеллектуальной деятельности, приводит в конечном счете к пониманию важности теории и стремлению применять ее на практике.

Для старшеклассников важна значимость самого учения, его задач, целей, содержания и методов. Изменение значимости учения оказывает решающее влияние на отношение ученика не только к учебе, но и к самому себе. Старшеклассник проявляет углубленный интерес к самому себе, к своему мышлению. Это во многом способствует развитию таких качеств, как наблюдательность, избирательность, критичность. Изменяются и мотивы учения, так как они приобретают для старшеклассников важный жизненный смысл. Характерно также неуклонное возрастание сознательности, усиление роли обобщений и абстракций в мыслительной деятельности: старшеклассники понимают общее значение конкретных фактов, понимают, что конкретный образ выступает не только как факт, взятый сам по себе, но и как выразитель общего. Речь идет здесь о понимании связи между отдельными, особенным и общим, которая лежит в основе познавательной деятельности человека.

В основе развивающихся способностей человека лежит активность и саморегуляция. Потребность в саморегуляции, то есть в правлении и развитии личности, - важная особенность старшеклассников. Психологи утверждают, что старшеклассникам доступно управление своими психическими процессами и действиями, поэтому они не только проявляют активность в интеллектуальной сфере, анализируют те или иные явления, высказывают суждения, но и сознательно формируют свое мировоззрение, для чего требуется достаточно высокий уровень развития мышления [23].

2.1.3. НЕОБХОДИМОСТЬ РАЗВИТИЯ МЫШЛЕНИЯ

СТАРШЕКЛАССНИКОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ

В современной школе задача развития мышления решается попутно с усвоением учащимся программного материала и не выделяется как самостоятельная. Дидактические основы развития мышления учащихся – это законы и закономерности процесса обучения, в особенности закон единства обучения и развития и закон активности учащихся в обучении и воспитании. Они находят отражение в ряде дидактических принципов, которые при благоприятных условиях способствуют управлению развитием мышления учащихся.

В процессе овладения знаниями школьники усваивают определенные операции и приемы мыслительной деятельности, но такой стихийный путь явно недостаточен. Нужно так организовать обучение, чтобы оно стимулировало самостоятельное мышление, вызывало активную переработку новой информации, способствовало установлению связей между старым и новым материалом, направляло на специальное усвоение рациональных приемов умственной деятельности. Школьники должны ясно осознавать мыслительные задачи, знать основные пути их решения, уметь проводить поиски решения конкретной задачи. Для этого необходима специальная работа учителя по формированию и совершенствованию умственной деятельности учащихся. Учить учиться, учить правильно мыслить, самостоятельно выполнять различные задания – вот в чем суть задач, стоящих перед современной общеобразовательной школой. А умение мыслить заключается прежде всего в правильном использовании мыслительных операций. Учитель любого предмета, формируя научное понятие, сравнивает между собой предметы, явления и события, анализирует и синтезирует их, абстрагирует существенные признаки, классифицирует и обобщает; излагал учебный материал, рассуждает; доказывает, формулирует выводы. «Прибавка» в мышлении учащихся характеризуется степенью самостоятельности их в решении предполагаемых задач, в овладении основными материалами, операциями и примами мышления, в способности комбинировать знания, проявляющийся при выполнении трудных заданий.

Если обучение организовано системно, логично, целенаправленно, то оно обогащает детей чувственным опытом, развивает их речь, наблюдательность стимулирует любознательность, стремление к поискам и открытиям. Особенно сильное воздействие оказывает деятельность, в которой объединяются учебные и трудовые, теоретические и практические задачи.

Педагогическое управление процессом развития мышления школьников может достичь своей цели лишь тогда, когда общается единство рационально отобранного и дидактически обработанного содержания, адекватных и хорошо отработанных мыслительных операций и действенных, специально значимых мотивов учебно-познавательной деятельности учащихся при учете индивидуальных различий в их мышлении [23], [24].

Мышление старшеклассников (а значит, и умение пользоваться мыслительными операциями) необходимо не только стимулировать, но и специально развивать на протяжении всех лет обучения в школе.

2.1.4. РАЗВИТИЕ АБСТРАКТНОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ

СТАРШИХ КЛАССОВ СРЕДСТВАМИ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ

Ведущее значение в мышлении старшеклассников занимает абстрактное мышление.

Абстрактное мышление тесно связано с мыслительной операцией, называемой абстрагированием. Абстрагирование имеет двойственный характер: негативный (отвлекаются от некоторых сторон или свойств изучаемого объекта) и позитивный (выделяют определенные стороны или свойства этого же объекта, подлежащие изучению).

Поэтому, абстрактным мышлением называют мышление, которое характеризуется умением мысленно отвлечься от конкретного содержания изучаемого объекта в пользу его общих свойств, подлежащих изучению.

Абстрактное мышление можно подразделить на:

1. аналитическое мышление;

2. логическое мышление;

3. пространственное мышление.

Аналитическое мышление характеризуется четкостью отдельных этапов в познании, полным осознанием как его содержания, так и применяемых операций. Аналитическое мышление не выступает изолированно от других видов абстрактного мышления; на отдельных этапах мышления оно может лишь превалировать над теми видами, с которыми оно выступает совместно. Этот вид мышления тесно связан с мыслительной операцией анализа.

Логическое мышление характеризуется обычно умением выводить следствия из данных предпосылок, умением вычленять частные случаи из некоторого общего положения, умением теоретически предсказывать конкретные результаты, обобщать полученные выводы.

Пространственное мышление характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образцы или схематические конструкции изучаемых объектов и выполнять над ними операции, соответствующие тем, которые должны были быть выполнены над самими объектами [18].

Овладение абстрактными знаниями приводит к изменению у учащихся старших классов самого течения мыслительного процесса. Мыслительная деятельность отличается у них высоким уровнем обобщения и абстракции, учащиеся стремятся к установлению причинно-следственных связей и других закономерностей между явлениями окружающего мира, проявляют критичность мышления, умения аргументировать суждения, более успешно осуществлять перенос знаний и умений из одной ситуации в другие. В ходе усвоения учебного материала старшеклассники стремятся самостоятельно раскрывать отношения общего и конкретного, выделять существенное, а затем формулировать определения научных понятий [23].

На наш взгляд, развитию абстрактного мышления старшеклассников способствует изучение элементов современной алгебры. Обучение современной алгебре стоит на более высокой ступени абстракции, чем обучение элементарной математике. Например, такое основное понятие современной алгебры, как группа, является абстракцией второго порядка в отличие от понятий элементарной алгебры и геометрии, которые являются абстракциями первого порядка [20], [22].

Характеристики

Список файлов реферата