KF-010 (675704), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Теорема доказана.

Из теоремы Лагранжа следует только то, что если в группе G есть подгруппа Н, то порядок группы G кратен порядку группы Н. Но для нас остается открытым вопрос, верно ли обратное утверждение: если порядок группы G равен g, а h – делитель числа g, то обязательно ли группа G имеет подгруппу порядка h? Для доказательства того факта, что это обратное утверждение не верно можно использовать знакопеременную группу А₄. Эта группа имеет порядок 12, но в ней нет подгрупп порядка 6. Таким образом, утверждение, обратное к теореме Лагранжа, не верно.

Однако некоторое достаточное условие для того, чтобы группа G порядка g имела подгруппу порядка h, где h – делитель числа g, указывается в следующей теореме Силова.

Теорема Силова: пусть G – группа порядка g и h – делитель числа g; если h=pⁿ, где р – простое число, а n – положительное целое число, то G содержит подгруппу порядка h.

Теорема Силова существенно облегчает процесс нахождения подгрупп некоторой группы. Так, например, порядок группы А₄ равен 12; простыми делителями числа 12 являются 2 и 3. По теореме Силова мы можем утверждать, что знакопеременная группа А₄ содержит подгруппы порядка 2, 3 и 4=2², но мы все равно ничего не можем сказать о подгруппе порядка 6.

Исходя из всего выше описанного, можно сделать вывод о том, что теорема Лагранжа и непосредственные следствия из этой теоремы играют важную роль в теории групп. Они очень часто применяются как в самой теории групп, так и во всех ее приложениях.

1.6. ЗАДАЧИ

1. Описать все подгруппы симметрической группы S₃.

Решение.

Порядок группы S₃ равен 3!=6. из теоремы Лагранжа следует, что собственные подгруппы из S₃ могут состоять из двух или трех перестановок. Следовательно, подмножества S₃, состоящие из четырех или пяти перестановок, подгрупп не образуют.

1) Опишем сначала подгруппы, которые состоят из двух перестановок. Если Н – такая подгруппа, то в нее входит элемент Е и еще какой-то другой элемент , то есть .

Элемент обратный к не может совпадать с Е, поэтому . Последнее равенство можно записать так: , то есть Е= . Следовательно, а – перестановка второго порядка, то есть цикл длины 2.

Таким образом, существует не больше трех подгрупп второго порядка группы S₃. эти подгруппы легко находятся с помощью таблицы Кэли. Это будут такие подмножества: , , . Легко убедиться, что подмножества А, В и С действительно являются подгруппами группы S₃, так как для каждого из них выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп.

Для подмножества А:

Для подмножества В:

Для подмножества С:

2) Теперь опишем подгруппы, которые состоят из трех перестановок. Если - такая подгруппа, то перестановки и должны иметь порядок 3. действительно, если одна из них, например , имеет порядок 2, то = ^-1. Пусть , тогда и . Тогда Следовательно, получили противоречие, так как у нас и различны. Значит, , то есть перестановка тоже будет иметь порядок 2. но легко проверить непосредственно, что произведение любых двух перестановок второго порядка является перестановка третьего порядка. Например, .

Следовательно, произведение * не принадлежит G и G тогда не является подгруппой.

Таким образом, перестановки и должны иметь порядок 3, то есть , где ,

Как видим, произведение каждых двух элементов множества G является элементом из G, следовательно, выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп. Значит, подмножество G множества S₃ является подгруппой группы S₃.

Таким образом, группа S₃ имеет шесть разных подгрупп:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Результат только что рассмотренной задачи наталкивает нас на предположение о том, что если группа имеет порядок n, то она имеет и n различных подгрупп. Чтобы подтвердить или опровергнуть это предположение рассмотрим следующую задачу.

2. Опишите все подгруппы симметрической группы S₄.

Решение: порядок группы S₄ равен 4!=12. По теореме Лагранжа, собственные подгруппы из S₄ могут состоять из 2, 3, 4, 6, 8, 12 перестановок. По теореме Силова можно лишь утверждать, что группа S₄ содержит подгруппы порядка 2, 3, 4=2², 8=2³, но ничего не можем сказать о подгруппах порядка 6 и 12. надо будет доказать существование или отсутствие подгрупп порядка 6 и 12.

1) Опишем подгруппы, состоящие из двух перестановок.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

2) Опишем подгруппы, состоящие из трех перестановок.

10.

11.

12.

13.

3) Опишем подгруппы, состоящие из четырех перестановок.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

4) Опишем подгруппы, состоящие из шести перестановок.

21.

22.

23.

24.

5) Опишем подгруппы, состоящие из восьми перестановок.

25.

26.

27.

6) Опишем подгруппы, состоящие из двенадцати перестановок.

28.

7) Опишем несобственные подгруппы группы S₄.

29.

30. .

Все описанные выше подмножества действительно являются подгруппами, так как для каждого из них выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп. Кроме того, в группе S₄ имеются подгруппы 6-го и 12-го порядка.

Следовательно, симметрическая группа S₄ имеет 30 разных подгрупп, а порядок группы S₄ равен 24. поэтому, сформулированное нами предложение о том, что количество подгрупп некоторой группы равно порядку этой группы, оказалось не верным.

3. Доказать, что подмножество группы S₄ является коммуникативной подгруппой. Составить таблицу умножения подгруппы Н.

Решение.

Коммуникативной подгруппой называется подгруппы с коммуникативной операцией.

Операция на множестве Н называется коммуникативной, если для любых двух элементов h₁ и h₂ из Н выполняется условие: h₁*h₂=h₂*h₁.

Перестановки и коммутируют, если .

Пусть , .

Следовательно, произведение каждых двух элементов множества Н является элементом того же множества, то есть подмножество Н группы S₄ является подгруппой группы S₄, причем перестановки коммутируют. Значит, Н – коммуникативная подгруппа.

Составим таблицу умножения подгруппы Н.

4. Опишите все подгруппы S₄, которые состоят из трех перестановок. Сколько их?

Решение.

1) Рассмотрим подгруппы, состоящие из трех перестановок второго порядка.

Если Н – такая подгруппа, то она состоит из следующих элементов: , то есть .

Если - перестановка второго порядка, то , значит .

Пусть , значит , тогда , то есть = , а у нас и должны быть различными. Следовательно, , то есть , - перестановка второго порядка.

Но легко непосредственно проверить, что произведение любых двух элементов второго порядка является элемент третьего порядка. Значит, при таких предположениях произведение не принадлежит Н и Н не является подгруппой.

Следовательно, в группе S₄ не существует подгрупп, состоящих из трех перестановок второго порядка.

2) Рассмотрим подгруппы, состоящие из трех перестановок третьего порядка.

Пусть - такая подгруппа. Если - перестановка третьего порядка, то есть , тогда перестановки различные, а . Следовательно, перестановка тоже третьего порядка. Непосредственно легко проверить, что произведением двух элементов третьего порядка является элемент третьего порядка, то есть произведение принадлежит G и G является подгруппой. В нашем случае существует 4 подгруппы, состоящие из трех перестановок третьего порядка:

1 -

2 -

3 -

4 - .

3) Рассмотрим подгруппы, которые состоят из трех перестановок четвертого порядка.

Пусть - такая подгруппа. Если - перестановка четвертого порядка, то есть , то перестановки различные. Тогда получается, что в подгруппе М должны содержаться четыре перестановки: , а у нас подгруппа М по условию должна содержать три перестановки. Значит, перестановка не может быть четвертого порядка.

Следовательно, симметрическая группа S₄ содержит всего 4 трехэлементных подгруппы.

5. Какая из подгрупп симметрической группы S₃: будет знакопеременной.

Решение.

Знакопеременная группа А_n имеет порядок , значит знакопеременная группа А₃ имеет порядок . Следовательно, из представленных в условии задачи подгрупп знакопеременной может быть подгруппа G, так как ее порядок равен 3. Проверим, являются ли перестановки подгруппы G четными. По определению, перестановка называется четной, если она раскладывается в произведение четного числа транспозиции.

(123)=(12)*(13), то есть (123) – четная перестановка

(132)=(13)*(12), то есть (132) – четная перестановка

Следовательно, подгруппа G группы S₃ является знакопеременной.

Утверждение: если G – группа порядка 2n и Н – ее подгруппа порядка n, то Н будет нормальной подгруппой группы G.

Характеристики

Список файлов реферата