KF-010 (675704), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Необходимость.

Действительно, если Н – подгруппа группы S_n, то она замкнута относительно действия упражнения перестановок, которые принадлежат Н, то есть выполняется условие 1). Каждый элемент из Н имеет обратный, следовательно, выполняется условие 2).

Достаточность.

Пусть для множества Н перестановок выполняются условия 1) и 2). Проверим, имеет ли множество Н все свойства группы. Условие 1) означает, что множество Н замкнуто относительно действия умножения своих элементов следовательно, выполняются первое требование определения группы. Ассоциативность действия умножения перестановок Н имеет место, так как умножение произвольных перестановок (в частности, и тех, которые принадлежат Н) имеет такое свойство. Тождественная перестановка также должна принадлежать множеству Н. Действительно, Н содержит хоть одну перестановку, например , а тогда Н принадлежит по условию 2) и перестановка . Поэтому по условию 1) Н принадлежит перестановка . Наконец, условие 2) показывает, что каждый элемент из Н имеет обратный, который также принадлежит Н. Следовательно, Н является подгруппой группы S_n.

Теорема доказана.

Пример 1.

Пусть Н – множество перестановок , , , .

Проверим, является ли Н подгруппой группы S₄.

Имеем: , следовательно, для множества Н выполняется условие 2) только что доказанной теоремы. Проверим выполнение условия 1) теоремы.

Следовательно, произведение каждых двух элементов множества Н является элементов того же множества, то есть для Н выполняется и условие 1) упомянутой выше теоремы.

Таким образом, подмножество Н является подгруппой группы S₄.

Пример 2.

Пусть Т – множество перестановок , , , .

Проверим, является ли Т подгруппой группы S₄.

Оказывается, что множество Т не является подгруппой группы S₄, так как для него не выполняется ни одно из условий 1), 2) теоремы о подгруппах. Действительно, , так как , .

Следует отметить, что сформулированная выше теорема справедлива для бесконечных групп. В случае конечных групп проверка условия 2) является излишней, то есть для конечных групп справедлива следующая теорема о подгруппах.

Теорема: пусть - группа, Н - ее конечное подмножество и оно замкнуто относительно умножения. Тогда Н – подгруппа группы G.

Доказательство.

Докажем замкнутость Н относительно существования обратного элемента.

Возьмем произвольный элемент . Если , то и .

Пусть . Рассмотрим степени элемента : - все эти числа принадлежат Н (так как Н замкнуто относительно умножения по условию). Так как множество Н конечно, то все эти числа различны быть не могут.

Значит, существуют . Пусть (в случае доказательство проводится аналогично). Тогда и , , , .

Следовательно, - обратный для , то есть . Но . Следовательно, , то есть . Таким образом, для произвольного элемента получили, что . Значит, Н – подгруппа группы G.

Теорема доказана.

Нам известно, что симметрическая группа S_n является конечной. Поэтому для того чтобы подмножество Н группы S_n являлось подгруппой группы S_n, достаточно чтобы произведение произвольных двух элементов из Н также принадлежало Н.

1.3. ЗНАКОПЕРЕМЕННАЯ ГРУППА

Особенный интерес представляет множество A_n всех четный перестановок на множестве из n символов. Ясно, что это подмножество симметрической группы S_n. Утверждается, что A_n является подгруппой группы S_n. Чтобы доказать это, проверим, что A_n удовлетворяет двум условиям, характеризующим подгруппу:

1. замкнутость.

Если р₁ и р₂ – перестановки из A_n, представимые в виде произведений n₁ и n₂ транспозиций соответственно, то их произведение можно записать с помощью транспозиций. Если n₁ и n₂ – четные числа, то и n₁+n₂ четно, откуда можно заключить, что перестановка четная и, следовательно, эта перестановка принадлежит A_n.

1. обратимость.

Перестановка р имеет обратную р^-1 (в группе S_n); р*р^-1=Е можно представить только с помощью четного числа транспозиций, поскольку Е – четная перестановка. Значит, если р – четная перестановка, то р^-1 также должна быть четной, то есть у каждого элемента из группы A_n есть обратный в A_n.

Следовательно, для подмножества A_n выполняются два условия теоремы о подгруппах (причем, второе условие можно было бы и не проверять, так как S_n – конечная группа). Поэтому A_n является подгруппой симметрической группы S_n. Подгруппа A_n группы S_n называется знакопеременной группой.

Теорема: порядок группы A_n равен .

Доказательство.

Пусть а – транспозиция из симметрической группы , пусть а=(12)=(12)(3)(4)…(n). Умножим каждый элемент группы S_n слева на а=(12). В результате снова получим множество всех элементов из S_n и ни один из них не повторяется дважды. Но произведение любой четной перестановки из S_n и элемента (12) является нечетной перестановкой, а произведение нечетной перестановки и элемента (12) является четной перестановкой. Множество нечетных перестановок и множество четных при этом умножении взаимно однозначно отображаются одно на другое. Это возможно лишь при том условии, что количество четных и нечетных перестановок одинаково. Следовательно, порядок группы A_n равен .

Теорема доказана.

Эта группа играет очень важную роль в теории групп перестановок.

1.4. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА

Пусть Н и G – группы перестановок, причём Н является подгруппой G. В теории групп существует теорема, доказанная Лагранжем, устанавливающая связь между порядками групп Н и G. Эта теорема очень часто применяется в теории групп.

Теорема Лагранжа: если Н – подгруппа группы G, то ее порядок является делителем порядка G.

Доказательство.

Пусть Е, а₁, а₂, …, а_n-1 – все перестановки, содержащиеся в группе G, - все перестановки из Н (то есть ). Если Н=G, то утверждение теоремы справедливо, поэтому предположим, что Н G (Н – собственная подгруппа G). В силу этого предложения существует перестановка такая, что . Рассмотрим ряд перестановок.

(1)

Все перестановки ряда (1) различны: если бы для каких-то i, j имело место равенство , то, умножив его правую и левую части на , мы получили бы равенство . Кроме того, ни одна из них не содержится в подгруппе Н: если бы для какого-то номера i имело место включение , то это означало бы, что для какого-то j. Из этого равенства имеем , а так как Н – группа перестановок, то , что противоречит выбору этой перестановки.

Если перестановками группы Н и ряда (1) исчерпаны все перестановки из G, то |G|=2|H|, и все доказано. В противном случае найдется такая перестановка , что и не содержится в ряде (1). Определим для нее ряд перестановок.

(2)

Аналогично проверяется, что:

1. все перестановки ряда (2) различны;

2. они не содержатся в Н;

3. ни одна из них не встречается среди перестановок ряда (1).

Если перестановками из подгруппы Н и рядов (1) и (2) исчерпываются все элементы группы G, то |G|=3|H|, и все доказано.

В противном случае продолжаем процесс выбора перестановок и построения рядов вида (1) и (2) дальше. Так как группа G конечная, то на каком-то, например, на k-м шаге все перестановки из G будут исчерпаны. Иными словами, все их можно расположить в такую таблицу:

при этом все перестановки в каждой из строк этой таблицы различны и любые 2 строки не имеют общих элементов. Поскольку общее число элементов в таблице равно n (порядок группы G), а число элементов в каждой строке равно m (порядок группы Н), то имеем равенство , то есть m является делителем n.

Теорема доказана.

Число k называют индексом подгруппы Н в группе G и обозначают [G:H]. Из доказательства теоремы Лагранжа мы получаем, что имеет место равенство |G|=|H|[G:H].

Так как порядок циклической подгруппы, порожденной перестановкой , совпадает с порядком перестановки , то из теоремы Лагранжа получаем, что порядок любой перестановки из G – делитель |G|.

Теорема Лагранжа позволяет существенно упростить решение задачи описания всех подгрупп данной группы. Например, собственные подгруппы из симметрической группы S₃ могут состоять из двух и трех перестановок (делители числа 3!=6), поэтому не нужно непосредственно проверять являются ли подгруппами группы S₃ подмножество, состоящее из 4 или 5 перестановок. А ведь эта проверка длинная, так как есть подмножество из S₃, состоящие из 4 или 5 элементов. Таким образом, даже на одном этом примере видно, насколько существенным может быть применение теоремы Лагранжа.

1.5. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА

Сформулируем некоторые непосредственные следствия из теоремы Лагранжа о порядках подгрупп.

Теорема: если порядок группы G есть простое число, то:

1. группа G не имеет собственных подгрупп;

2. группа G является циклической.

Доказательство.

Утверждение 1) следует непосредственно из теоремы Лагранжа и определения простого числа.

Для доказательства утверждения 2) обозначим через любой отличный от Е элемент группы G простого порядка.

Если порядок равен n, то и n>1. Множество , n-1>0, составляет циклическую группу n-го порядка в группе G, так что Н – подгруппа данной группы G простого порядка. По теореме Лагранжа порядок n этой подгруппы является делителем числа р. Так как , то n=p. Но Н – подгруппа группы G. Следовательно, Н совпадает с группой G. Это доказывает утверждение 2).

Характеристики

Список файлов реферата