Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Таким образом, получили производственную программу:

, , ,

которая является оптимальной и обеспечивает предприятию наибольшую возможную прибыль:

При этом первый и второй ресурсы будут использованы полностью, т.е. первый и второй ресурсы образуют «узкие места производства»:

,

а третий ресурс будет иметь остаток:

Помимо этого в третьей симплексной таблице получен обращенный базис, отвечающий оптимальной производственной программе:

тогда можно проверить выполнение соотношения :

а т.к. из третьей симплексной таблицы:

, следовательно, соотношение выполняется.

2. Двойственная задача

Задача, двойственная линейной производственной задаче, например, может заключаться в оценке выгоды от продажи сырья, используемого в производстве, на сторону.

Например, в предыдущем п.1. рассмотрена линейная производственная задача по выпуску четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов по заданным технологиям. Предположим, некий предприниматель, занимающийся производством других видов продукции с использованием трех таких же видов ресурсов, предлагает «уступить» ему все имеющиеся ресурсы и обещает платить y₁ денежных единиц за каждую единицу первого ресурса, y₂ денежных единиц за каждую единицу второго ресурса и y₃ денежных единиц за каждую единицу третьего ресурса. Возникает вопрос: при каких значениях y₁, y₂, y₃ можно согласиться с предложением этого предпринимателя.

Т.к. в предыдущей задаче технологическая матрица затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор объемов ресурсов и вектор удельной прибыли имели вид:

значит, для производства, например, первого вида продукции, предприятие должно затратить 3 единицы ресурса первого вида, 4 единицы ресурса второго вида и 4 единицы ресурса третьего вида, за что оно получит прибыль 30 денежных единиц. Следовательно, согласиться с предложением предпринимателя можно, если он заплатит не меньше, т.е. в ценах y₁, y₂, y₃ это условие будет иметь вид:

Аналогично и с продукцией второго, третьего и четвертого вида, при этом, за все имеющиеся ресурсы, предприниматель должен заплатить не меньше:

денежных единиц.

Следовательно, предприниматель будет искать такие значения y₁, y₂, y₃, при которых эта сумма была бы как можно меньше. При этом речь идет о ценах, которые зависят не от цен по которым эти ресурсы были когда-то приобретены, а о ценах зависящих от применяемых в производстве технологий, объемов ресурсов и прибыли, которую возможно получить за произведенную продукцию.

Таким образом, задача определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок

минимизирующий общую оценку всех ресурсов

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции, т.е.:

причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными, т.е.: , ,

Решение полученной задачи можно найти с помощью второй теоремы двойственности: дефицитный (избыточный) ресурс, полностью (неполностью) используемый по оптимальному плану производства, имеет положительную (нулевую) оценку, и технология, применяемая с ненулевой (нулевой) интенсивностью, имеет нулевую (положительную) оценку.

Т.е. для оптимальных решений и пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий:

Ранее в п.1. было найдено, что , , а и , тогда:

Но т.к. третий ресурс был избыточным (см. п.1.), то по второй теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю, т.е. . Тогда переходим к новой системе уравнений:

от куда получаем: ,

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов:

, ,

тогда общая оценка всех ресурсов равна:

То же самое решение значений двойственных оценок содержится в последней строке симплексной таблицы 1 и имеет определенный экономический смысл:

Одновременно технологические оценки из той же строки симплексной таблицы:

3. Задача о «Расшивке узких мест производства»

Задача о «расшивке узких мест производства» заключается в том, что, например, когда в процессе производства происходит изменение объема какого-либо ресурса, используемого в производстве, то, соответственно изменяется план производства и прибыль предприятия, получаемая от реализации готовой продукции. Это может происходить по различным причинам, например: сломался станок, поставщик предлагает сырье в большем количестве и т.п.

Поэтому, когда какой-либо ресурс используется полностью, то уменьшение объема этого ресурса, может повлиять на всю структуру плана производства и прибыль предприятия. Следовательно, такой ресурс, образующий «узкие места производства», желательно иметь с некоторым запасом, т.е. заказывать дополнительно, чтобы сохранить структуру плана производства и получить возможность увеличить прибыль предприятия.

Для примера возьмем данные и результаты вычислений из п.1. и п.2., где определено, что первый и второй ресурс используются полностью, и, соответственно, именно их нужно заказывать дополнительно. Но в таких объемах, чтобы сохранить структуру ранее найденной программы производства, и с условием, что от поставщика можно получить дополнительно не более одной трети первоначально выделенного объема ресурса любого вида. Следовательно, задача сводиться к нахождению объемов приобретения дополнительных ресурсов, удовлетворяющих указанным условиям, и вычислению дополнительной возможной прибыли.

Тогда, пусть – вектор дополнительных объемов ресурсов:

при этом, для сохранения структуры производственной программы, должно выполняться условие устойчивости двойственных оценок:

Т.к. , то задача состоит в том, чтобы найти вектор:

максимизирующий суммарный прирост прибыли:

при условии сохранения структуры производственной программы:

предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более одной трети первоначального объема ресурса каждого вида, т.е.:

причем дополнительные объемы ресурсов, по смыслу задачи, не могут быть отрицательными, т.е.:

Т.к. неравенства (3.2) и (3.3) должны выполняться одновременно, то их можно переписать в виде одной системы неравенств:

Таким образом, получена задача линейного программирования: максимизировать функцию (3.1) при условиях (3.4) и (3.5).

Эту задачу с двумя переменными можно решить графически:

График 1.

На графике видно, что система линейных неравенств (3.4), (3.5), образует область допустимых решений, ограниченную прямыми:

, , ,

при этом линии уровня функции (3.1) перпендикулярны вектору-градиенту и образуют семейство параллельных прямых (градиент указывает направление возрастания функции). Наибольшего значения функция (3.1) достигает в точке пересечения прямых:

и

Координаты этой точки и определяют искомые объемы дополнительных ресурсов. Следовательно, программа «расшивки узких мест производства имеет вид:

, ,

и прирост прибыли составит:

Сводка результатов по пунктам 1-3 приведена в таблице 2.

Таблица 2.
	30	11	45	6	B
	3	2	6	0	150	0	6	50
	4	2	3	5	130	0	3
	4	3	2	4	124	8	0	0
	22	0	14	0	1290
	0	7	0	9

4. Транспортная задача

Транспортная задача – это задача о минимизации транспортных расходов, связанных с обеспечением пунктов потребления определенным количеством однородной продукции, производимой (хранимой) в нескольких пунктах производства (хранения). В общем виде задача может быть сформулирована следующим образом:

Однородный продукт, сосредоточенный в пунктах производства (хранения), необходимо распределить между пунктами потребления. Стоимость перевозки единицы продукции известна для всех маршрутов. Необходимо составить такой план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были бы минимальными.

Характеристики

Список файлов реферата