13 (675668)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

§13. Метод Ньютона. Решение уравнений с одной переменной.

Пусть требуется решить уравнение (1), где функция – дважды непрерывно-дифференцируема на ; на и и .

Из этих условий вытекает, что на функция имеет только один корень.

Прежде, чем использовать итерации, необходимо (1) привести к виду .

.

Функция непрерывная в окрестности корня уравнения (1). Следовательно, уравнение (1) и уравнение (2) будут иметь один и тот же корень .

В качестве выберем , тогда (3)

Выберем начальное приближение достаточно близкое к . Остальные приближения получаются по формуле:

(4)

Метод, определенный (4), называется методом Ньютона.

Докажем, что метод Ньютона сходится и получим его оценку погрешности.

Докажем, что (4) сходится.

Для этого покажем, что отображение – сжатие, где .

.

При получим

.

По непрерывности функции на существует такая окрестность точки , что для , , а этом сжатие.

Поэтому к отображению можно применить принцип сжатыхотображений.

Если выбрать , то будет сходиться к точному решению уравнения (1)., т.е. .

Заметим, что метод (4) будет сходиться, если начальное приближение будем выбирать из окрестности

, .

Докажем, что метод Ньютона сходится.

Определим скорость сходимости метода Ньютона. Для этого разложим в ряд Тейлора в точке .

.

При имеем . Поэтому

Выразим (5)

Обозначим через ,

(6)

, скорость сходимости метода Ньютона квадратичная, .

Потребуем, чтобы начальное условие выбиралось из условия

(7)

Тогда из (6) получим

- оценка погрешности.

Метод Ньютона имеет квадратичную скорость сходимости. Это означает, что при переходе от одной итерации к другой количество верных знаков удваивается в последующем приближении.

Достоинство: высокая скорость сходимости, легко программируется на ЭВМ.

Недостатки: узкая область сходимости.

Если будем решать операторное уравнение , то на каждом шаге необходимо находить значение обратного оператора .

Геометрический смысл метода Ньютона.

П
усть требуется решить уравнение и единственный корень этого уравнения находится на .

В точке проведем касательную к графику функции , уравнение касательной: .

Если , то

– первое приближение к уравнения (1) по методу Ньютона.

Возьмем и проведем касательную в этой точке. Получим .

Если , то

– второе приближение к уравнения (1) по методу Ньютона.

И так далее. Отсюда метод Ньютона называют методом касательных.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов реферата