86352 (612730), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Мы знаем, что в нашем (пока еще не построенном и неизвестно существующем ли) расширении должно быть хотя бы одно бесконечно малое положительное гипердействительное число. Обозначим его через . Поскольку гипердействительные числа можно умножать друг на дру­га (и, в частности, на действительные числа), то наряду с в нашем расширении будут и числа 2, 0,5 и во­обще все числа вида a, где а – произвольное стандарт­ное действительное число. Более того, число можно умножать и на себя, поэтому в нашем расширении бу­дут иметься ², ³, 2², З²+2+1, ... и вообще все гипердействительные числа вида Р(), где P – многочлен со стандартными действительными коэффициентами.

Множество чисел такого вида замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения. Это значит, что, складывая, вычитая или перемно­жая два числа такого вида, мы вновь получим число та­кого же вида. Но для гипердействительных чисел опре­делено еще и деление. Поэтому в расширении будут и числа вида Р()/Q(), где P и Q – многочлены со стан­дартными действительными коэффициентами. После этого мы получаем множество гипердействптельных чисел, замкнутое относительно всех арифметических операций: складывая, вычитая, умножая или деля две дроби указанного вида по обычным правилам, получаем дробь та­кого же вида.

Таким образом, не имея пока искомого расширения, мы уже смогли назвать некоторые его элементы, дать им имена. Этими именами являются записи вида P()/Q(), где – некоторый символ. Более того, мы можем судить и о том, какая из двух записей обознача­ет большее число. В самом деле, достаточно уметь опре­делять, обозначает ли данная запись положительное, от­рицательное или нулевое число (поскольку а > b тогда и только тогда, когда a-b>0). Знак дроби можно определить по знакам числителя и знаменателя, следовательно достаточно уметь определять знак P(), где Р – многочлен. Это делается так. Легко ви­деть, что знак величины a₀+a₁+… совпадает со зна­ком a₀, если a₀<>0. В самом деле, добавка a₁+… бес­конечно мала, а складывая положительное (отрица­тельное) число с бесконечно малым, мы получаем положительное (соответственно отрицательное) число. Воз­можен, однако, случай a₀=0. Будем считать для опре­деленности, что – положительное бесконечно малое. Вынесем из нашего многочлена в наибольшей возмож­ной степени, т. е. представим его в виде ^k(a_k+a_k+1+…), где a_k уже отлично от 0. Знак всего вы­ражения определяется знаком выражения в скобках (при умножении на положительное число знак не меняется), а знак выражения в скобках (как мы уже видели) опре­деляется знаком числа a_k._.

По существу, мы уже построили искомое неархимедо­во расширение. Нужно лишь посмотреть на наши рас­суждения с другой позиции. До сих пор выражения P()/Q() рассматривались нами как имена «настоящих» гипердействительных чисел (взятых неизвестно откуда). А теперь они станут самими гипердействительными чис­лами. Рассмотрим формальные выражения вида P()/Q(), где – некоторый символ, P, Q – многочлены с действительными коэффициентами, причем Q<>0. Про­возглашая, что объектами, а в данном случае гипердейст­вительными числами, мы объявим имена, а в данном слу­чае выражения, или записи вида P()/Q(), мы были не совсем точны. Дело в том, что, очевидно, две различ­ные записи могут выражать одно и то же число (иными словами, быть двумя различными именами одного и того же числа): так, например, естественно считать, что за­пись (²-1)/(-1) выражает то же самое число, что и (+1)/1.

Будем называть два выражения P()/Q() и R()/S() эквивалентными, если P()*S()=R()*Q() (равенство понимается как равенство многочле­нов, т. е. как равенство коэффициентов при одинаковых степенях). Легко проверить, что это определение дейст­вительно задает отношение эквивалентности, разбиваю­щее все выражения вида P()/Q() на классы. Эти классы мы и будем называть гипердействительными числа­ми. Сложение, вычитание, умножение и деление гипер­действительных чисел определяются по обычным прави­лам. Так, например, если – класс, содержащий P/Q, а – класс, содержащий R/S, то их суммой называется класс, содержащий (PS+RQ)/SQ, а произведением — класс, содержащий PR/QS. Легко проверить, что это оп­ределение корректно, т. е. не зависит от выбора элемен­тов P/Q в классе и R/S в классе (в результате получаются разные представители одного и того же класса). Аналогичным образом можно определить взятие обратно­го и противоположного, нуль и единицу. Нетрудно про­верить, что все аксиомы поля при этом будут выполне­ны. Изложенная конструкция хорошо известна в алгеб­ре: построенное поле называется полем рациональных функций с коэффициентами в R и обозначается R().

Осталось определить только порядок, указав, как выбрать из двух различных гипердействительных чисел (т. е. из двух различных классов эквивалентных дро­бей) большее. Для этого нужно вычесть одно число из другого и определить, будет ли разность (отличная от нуля, поскольку числа различны) положительной или от­рицательной. Чтобы определить, будет ли отличное от нуля число положительным или отрицательным, возь­мем его представитель P/Q. Здесь P, Q отличны от 0 (Q отлично от нуля по определению, Р – потому что, по нашему предположению, разность не равна 0). Вынесем в числителе и в знаменателе в наибольшей возможной степени:

P=^k(a_k+a_k+1+…), Q=^l(b_l+b_l+1+…), a_k, b_l отличны от 0.

Число будет положительным, если a_k, b_l имеют одинаковые знаки, и отрицательным, если они имеют раз­ные знаки.

Построенное упорядоченное поле R() можно рассматривать как расширение поля R: достаточно отождествить действительное число х с классом эквивалентных дробей, содержащим дробь x/1. Осталось лишь показать, что аксиома Архимеда не вы­полняется, предъявив бесконечно малый элемент. Этим элементом будет, конечно, (точнее, класс, содержащий /1). В самом деле, ++ ... + <1, так как разность 1-n положительна (знак определяется свободным чле­нном, а 1 > 0).

Искомое расширение построено.

6. НОВЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ ЧИСЛАМ И ОСНОВНАЯ ГИПОТЕЗА

Мы построили неархимедово расширение R() поля действительных чисел. Новым требованием к гипердействительным числам яляется следующее. Нужно уметь вычислять «значения» стандартных функций (заданных первоначально как функции с дей­ствительными аргументами и значениями) на гипердействительных аргументах. Другими словами, для каждой функции f: RR необходимо иметь ее «гипердействптельный аналог» *f: RR. При этом, значения *f на стандартных числах должны совпадать с соответствующими значениями функции f. Другими сло­вами, *f должно быть продолжением f. Такие аналоги были у нас для операций сложения, вычитания, умно­жения и деления. Но этого мало: нужны такие ана­логи и для других функций.

Итак, для каждой стандартной функции f (функции с действительными аргументами и значениями) нам нуж­но иметь ее гипердействительное продолжение *f. Если от *f ничего не требовать, то это тривиально: можно счи­тать, что во всех действительных точках *f принимает те же значения, что и f, а в нестандартных точках *f имеет какие угодно значения (например, нули). Ясно, однако, что от такого продолжения никакого толку нет:

Нужно выделить некоторый класс свойств — класс тех свойств, которые мы хотим сохранить. Правильный выбор этого класса имеет решающее значение для успеха нашего построения системы гипердействительных чисел. Если этот класс будет слишком узок, то от наличия продолжений *f не будет пользы. Если же, напротив, он будет слишком широк, то сама возможность построения системы гипердействительпых чисел и определения продолжений окажется под угрозой.

Наша главная задача – описать, какие свойст­ва стандартных функций мы хотим сохранить при пере­ходе от действительных чисел к гипердействительным. Есть две возможности это сделать. Первая возможность состоит в применении методов математической логики. Можно сказать, что при переходе от действительных чи­сел к гипердействительным сохраняются все свойства, которые можно выразить на «языке первого порядка». Вторая возможность позволя­ет обойтись более «кустарными» средствами и не при­бегать к сведениям из логики. Конечно, при этом мы будем испытывать некоторые неудобства, использовать обходные маневры и т. п., но зато не потребуется зна­комство с математической логикой.

Мы предполагаем, что помимо поля R действительных чи­сел имеется более широкое упорядоченное поле *R гипердействительных чисел, включающее R как подмно­жество (еще раз подчеркнем, что существование *R с нужными свойствами является пока только гипотезой, а не доказанным фактом). Пусть для каждой функции f с действительными аргументами имеется ее естественное распространение, ее «гипердействительный аналог» — функция с гипердействительными аргументами и значе­ниями. При этом функция f может быть функцией не только одного действительного аргумента, но и двух, трех и т. д.; функция *f, разумеется, должна иметь то же самое число аргументов. Для простоты мы пока не будем рассматривать частичных функций и будем счи­тать, что f (соответственно *f) определена при всех действительных (соответственно гипердействительных) аргументах. Сформулируем теперь наше требование («ана­логи обладают теми же свойствами, что и исходные функ­ции») более точно.

Будем рассматривать системы уравнений вида t=s и неравенств вида ts, левые и правые части которых содержат какие-то действительные функции действитель­ных аргументов, действительные константы и перемен­ные — что-нибудь вроде

sin(cos(x))=y+exp(z), zy-2x, [z]=y

Эта система содержит переменные x, y, z, одноместные функции sin,cos,exp [ ] (целая часть), двуместные функции (сложение, вычитание, умножение) и констан­ту 2 (константы для единообразия мы будем считать функциями нуля аргументов). Все входящие в систему функции имеют по нашему предположению гипердействительные аналоги. Обозначим их *sin, *cos, *exp, *[ ], *+, *–, и напишем систему

*sin(*cos(x))=y*+*exp(z), zy*–2*x, *[z]=y

которую естественно назвать «гипердействительным аналогом исходной».

В качестве возможных значении переменных этой системы могут фигурировать любые гипердействительные числа. Тем самым приобретает смысл вопрос о наличии или отсутствии гипердействительных решений этой системы. Поскольку мы предполагаем, что входящие в нее функции являются продолжениями соответствующих функций действительного аргумента, то всякое (действительное) решение исходной системы будет одновременно решением новой системы. Таким образом, если исход­ная система имеет решения, то и ее гипердействительный аналог имеет решения. Мы потребуем и обратного:

всякая система уравнений и неравенств, гипердействительный аналог которой имеет (гипердействительные) решения, должна иметь действительные решения.

Введем понятие терма. Выберем счетный набор символов, элементы которого будем называть переменными. Будем назы­вать термом любую переменную, любое действительное число, а также любое выражение вида f(t₁, ..., t_n), где f – функция п действительных аргументов, а t₁, ..., t_n – построенные ранее термы.

Системой (точнее, системой уравнений и нера­венств) назовем конечный набор записей вида t=s или ts, где t, s – термы. Определим теперь понятие решения системы. Еслп в терм подставить действительные числа вместо переменных, то он приобретет некоторое действительное значение. Решение системы – это такой набор значений переменных, при ко­тором левая и правая части любою равенства I t=s, вхо­дящего в систему, приобретают одно и то же значение, а левая и правая части любого неравенства ts, входяще­го в систему,— разные.

По нашему предположению всякая функция с дейст­вительными аргументами н значениями имеет гппердействительный аналог («естественное продолжение»). По­нятие гипердействительного аналога легко распространя­ется на термы — чтобы получить аналог терма t, надо просто заменить все входящие в него функции на их гипердействительпые аналоги. Проделав эту операцию со всеми термами, входящими в какую-то систему S, мы по­лучим систему *S, которую естественно также назвать гипердействительным аналогом системы S. Поскольку в нее входят функции с гипердействительными аргумента­ми и значениями, вместо переменных можно подставлять произвольные гипердействительные числа. Гппердейст-вительным решением системы *S назовем такой набор гипердействительпых значений переменных, при которых выполнены все входящие в нее уравнения и неравенства. Теперь можно сформулировать наше требование к систе­ме гипердействительных чисел и к гипердействительным аналогам следующим образом.

Пусть S — произвольная система уравнений и неравенств, *S – ее гипердействительный аналог. Если *S имеет (гипердействительные} решения, то S долж­на иметь действительные решения.

Возможность построения неархимедо­ва упорядоченного расширения *R поля R и таких гипердействительных аналогов *f для всех действительных функций f, которые бы удовлетворяли сформулированному требованию, остается пока всего, лишь гипотезой. (Мы будем называть эту гипотезу Основной гипотезой.)

7. СЛЕДСТВИЯ ОСНОВНОЙ ГИПОТЕЗЫ

Приведем несколько примеров, показывающих, какие следствия можно вывести из сфор­мулированной Основной гипо­тезы. Оказывается, что несмотря на то, что сформулиро­ванное нами требование одновременной разрешимости систем уравнений и неравенств кажется весьма частным, оно имеет самые разнообразные следствия и достаточно для обоснований значительной части рассуждений с ги-пердействительными числами.

Пример 1. Пусть f – функция одного действитель­ного аргумента, принимающая только значения 0 и 1. Докажем, что функция *f принимает только значения 0 и 1. Для этого рассмотрим систему

f(x)0, f(x)1,

которая по предположению не имеет действительных решений. Следовательно, не имеет (гипердействительных) решений и ее аналог — система

*f(x)0, *f(x)1,

Характеристики

Список файлов курсовой работы