86339 (612726), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Предположим, что X - это тензор типа (r,s). Давайте выберем его α-тый нижний индекс: Символы, используемые для других индексов, несущественны. Поэтому, мы обозначили их точками. Затем рассмотрим тензорное произведение

(6.1)

Здесь g - дуальный метрический тензор с элементами . На следующем шаге свернем (6.1) по паре индексов k и q. Для этой цели мы заменяем их на s и проводим суммирование:

(6.2)

В целом вся операция (6.2) называется поднятием индекса. Эта операция обратима. Обратная операция называется опусканием индексов:

(6.3)

Подобно (6.2), операция опускания индекса (6.3) включает в себя две операции над тензорами: тензорное произведение и свертку.

§7.Тензоры в криволинейных координатах

Мы будем рассматривать область аффинного пространства, отнесенную к криволинейным координатам . Радиус-вектор х произвольной точки М области , отсчитываемый от фиксированной точки О, будет выражаться функцией

(7.1)

достаточное число раз непрерывно дифференцируемой. В дальнейшем мы предполагаем, что все рассматриваемые точки принадлежат области .

Для ориентации в строении данной координатной системы весьма полезны координатные линии. Так мы будем называть кривые, вдоль которых меняется лишь одна из координат а остальные остаются постоянными. Рассмотрим, например, координатную линию . Это значит, что закреплены на постоянных значениях, так что радиус-вектор х (7.1) остается функцией одного лишь ; мы получаем кривую, отнесенную к параметру .

Через каждую точку М пройдет одна и только одна координатная линия , именно, если закрепить на значениях, которые они имеют в точке М. Частная производная дает касательный вектор к координатной линии . Все сказанное справедливо и для любых координатных линий, так что через каждую точку М проходят п координатных линий с касательными векторами . Эти векторы мы будем обозначать кратко

(7.2)

Они, как мы знаем, всегда линейно независимы, и потому в каждой точке М могут быть приняты за векторы аффинного репера Таким образом, задание криволинейных координат в области влечет появление в каждой ее точке М вполне определенного аффинного репера Этот аффинный репер мы будем называть локальным репером в точке М.

Когда в качестве частного случая криволинейных координат мы берем аффинные координаты, функция (7.1) принимает вид:

(7.3)

и локальный репер в каждой точке М имеет те же векторы, что и основной репер, на котором построена данная аффинная координатная система.

Для рассмотрения локальных реперов имеются глубокие основания. Именно вспомним те простые свойства, которыми обладали аффинные координаты точек: приращения этих координат при переходе из точки в точку выражали координаты вектора смещения :

поскольку

(говоря о координатах вектора, мы всегда будем иметь в виду его аффинные координаты; криволинейные координаты для векторов не имеют смысла). В этом, можно сказать, и состояла сущность аффинных координат точек.

Для криволинейных координат эти простые свойства теряются. Однако мы находим их снова, если рассматривать криволинейные координаты в бесконечно малой окрестности данной точки М.

Смещаясь из точки в бесконечно близкую точку ,мы находим вектор смещения , как приращение радиуса вектора х точки М:

Пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, заменяем приращение полным дифференциалом и получаем:

(7.4)

Это значит, что вектор смещения в локальном репере имеет координа-ты, равные приблизительно приращениям .

Итак, для бесконечно малых смещений из точки М приращения криволинейных координат снова выражают координаты вектора смещения , если эти последние вычислять в локальном репере в точке М, пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка.

Таким образом, при помощи локального репера криволинейным координатам возвращаются свойства аффинных координат, правда, теперь уже лишь в бесконечно малой окрестности данной точки.

Можно сказать также, что приращения криволинейных координат в бесконечно малой окрестности точки М совпадают с точностью 1-го порядка с аффинными координатами относительно локального репера, построенного в точке М.

Естественно, что, занимаясь геометрией аффинного пространства в криволинейных координатах, мы постоянно будем сталкиваться с локальными реперами.

Выясним теперь, что происходит с локальными реперами, когда криволинейные координаты подвергаются преобразованию

(7.5)

которое предполагается однозначно обратимым и непрерывно дифференцируемым в обе стороны. Выражая, обратно,

(7.6)

мы можем считать в уравнении (7.1) радиус-вектор х сложной функцией от . Частная производная по выразится тогда по известной формуле:

В правой части по i, конечно, происходит суммирование. Заметим, что мы будем без стеснения прилагать обычные формулы дифференцирования к выражениям, содержащим векторы, так как справедливость этих формул устанавливается тривиальным образом: достаточно свести дифференцирование векторов к дифференцированию их координат. Окончательно получаем:

(7.7)

Итак, преобразование криволинейных координат влечет за собой преобразование локального репера в каждой точке М, причем векторы нового локального репера разлагаются по векторам старого с коэффициентами .Сравнивая с нашей прежней записью преобразования аффинного репера

мы видим, что (7.7) представляет собой ее частный случай, когда

(7.8)

а роль векторов играют .

Рассмотрим теперь произвольное тензорное поле, например, . Точка М может при этом пробегать всю область или только некоторую поверхность в ней, или даже линию в зависимости от того, где тензорное поле задано.

Координаты тензора можно вычислять относительно любого аффинного репера. Однако в дальнейшем мы всегда будем считать, что аффинное пространство (по крайней мере в пределах области ) отнесено к каким-либо криволинейным координатам . Тогда в каждой точке М возникает локальный репер, и координаты тензора мы будем брать относительно именно этого репера. Эти координаты мы будем кратко называть координатами тензора в данной системе криволинейных координат .

Когда в дальнейшем мы будем говорить о тензорном поле

(76.9)

то всегда будем подразумевать сказанное выше.

Если тензорное поле задано не во всей области , а лишь на некоторой поверхности (линии), то в уравнениях (7.9) нужно задавать, конечно, как функции параметров этой поверхности (линии). Тензорное поле может выродиться и в задание тензора в одной только точке М.

Вслед за преобразованием криволинейных координат происходит преобразование локального репера в каждой точке М, а значит, и преобразование координат тензора по обычному тензорному закону:

(7.10)

При этом, как мы видели, матрица совпадает с матрицей , а следовательно, обратная матрица - с матрицей :

= . (7.11)

Следовательно, закон преобразования (7.10) принимает вид

(7.12)

Таким образом, переход от одних криволинейных координат к другим, влечет за собой преобразование координат тензорного поля по закону (7.12). При этом частные производные по и обратно берутся в той же точке М, как и координаты тензора, что и отмечено в записи.

§8. Примеры вычислений

Пример 1 (Динамика частицы)

В качестве простого приложения тензорного исчисления чуть переформулируем уравнения классической динамики материальной точки.

Второй закон Ньютона в компонентах записывается как

(8.1)

Откуда сразу видна его ковариантность по отношению к преобразованиям из группы О (3). Если силовое поле потенциально, то

(8.2)

Умножая обе части (8.1) на и свертывая по индексам, получим

т.е.

(8.3)

Вводя кинетическую энергию частицу и элементарную работу силы , придем к теореме живых сил.

(8.4)

Инвариантной относительно ортогональных преобразований. Для потенциального стационарного поля сил из (8.4) и (8.2) имеем

Откуда следует закон сохранения энергии:

(8.5)

умножая уравнение (8.1) с индексом k на координату , умножая затем то же уравнение с индексом j на и производя вычитание, получим

Или, после вынесения производной по времени,

(8.6)

Чтобы выяснить смысл этого результата, свернем обе части (8.6) с символом :

Вспоминая определение векторного произведения, придем к теореме об изменении момента импульса частицы:

(8.7)

Пример 2 (Момент инерции)

Момент количества движения L твердого тела, вращающегося относительно фиксированной оси, пропорционален угловой скорости ω, и коэффициент пропорциональности I мы назвали моментом инерции:

Момент инерции тела произвольной формы зависит от его ориентации относительно оси вращения. Моменты инерции прямоугольного бруска, например, относительно каждой из трех ортогональных осей будут разными. Но угловая скорость ω и момент количества движения L — оба векторы. Для вращения относительно одной из осей симметрии они параллельны. Но если моменты инерции относительно каждой из трех главных осей различны, то направления ω и L, вообще говоря, не совпадают.

(8.8)

Девять коэффициентов называют тензором инерции. Кинетическая энергия T для любого момента количества движения должна быть некоторой квадратичной формой компонент , и :

(8.9)

Мы можем воспользоваться этим выражением для определения эллипсоида инерции. Кроме того, снова можно воспользоваться энергетическими соображениями и показать, что этот тензор симметричен, т. е. = .

Тензор инерции твердого тела можно написать, если известна форма тела. Нам нужно только выписать полную кинетическую энергию всех частиц тела. Частица с массой m и скоростью v обладает кинетической энергией , а полная кинетическая энергия равна просто сумме

Характеристики

Список файлов курсовой работы