86339 (612726), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Оно базируется на следующих общих формулах преобразования:

(3.1)

(3.2)

Определение 1. Геометрический объект X, который в каждом базисе представляется (r + s)-мерным массивом вещественных чисел, удовлетворяющих правилам преобразования (3.1) и (3.2) при смене базиса, называется тензором типа (r,s), или валентности (r,s).

Индексы и - свободные индексы. В правой стороне равенства (3.1) они распределены в S-ках и T-шках, каждый имеет только одно вхождение и сохраняет свою позицию при переходе из левой в правую часть равенства, т.е. верхние индексы остаются верхними, а нижние индексы остаются нижними в правой части равенства (3.1).

Остальные индексы и - это индексы суммирования, они входят в правую часть (3.1) парами: один раз в качестве верхнего индекса и один раз в качестве нижнего индекса, один раз в S-матрице либо в T-матрице и второй раз среди индексов в компонентах массива .

При выражении через каждый верхний индекс обслуживается ровно один раз матрицей прямого перехода S, порождая при этом ровно одно суммирование в формуле (3.1):

(3.3)

Подобным же образом, каждый нижний индекс обслуживается матрицей обратного перехода T и тоже порождает одно суммирование в формуле (1):

(3.4)

Формулы (3.3) и (3.4) совпадают с (3.1), они записаны для того, чтобы сделать более понятным то, как записывается формула (3.1). Итак, определение тензоров дано.

§ 4. Скалярное произведение и метрический тензор

Ковекторы, линейные операторы и билинейные формы, те, что мы рассматривали выше, все это были искусственно построенные тензоры. Однако, есть некоторое количество тензоров естественного происхождения. Давайте вспомним, что мы живем в метрическом мире. Мы можем измерять расстояния между точками (следовательно, мы можем измерять длины векторов) и измерять углы между двумя направлениями в пространстве. Поэтому для любых двух векторов x и y мы можем определить их скалярное произведение:

(x,y) = |x||y| cos(φ), (4.1)

где φ - угол между векторами x и y. Это естественное скалярное произведение, порожденное нашей способностью измерять длины или, вернее сказать, тем, что понятие длины дано нам в ощущениях в том мире, где мы живем.

Вспомним следующие свойства естественного скалярного произведения (4.1):

(1) (x+y, z) = (x, z)+(y, z);

(2) (αx, y) = α(x, y);

(3) (x, y+z) = (x, y)+(x, z);

(4) (x, αy) = α(x, y);

(5) (x, y) = (y, x);

(6) (x, x)≥0 и (x, x) = 0 влечет x = 0.

Обратите внимание, что первые четыре свойства скалярного произведения

(4.1) очень похожи на свойства квадратичной формы. Это не случайное совпадение.

Давайте рассмотрим два произвольных вектора x и y вместе с их разложениями в некотором базисе . Это означает, что мы имеем следующие выражения для них:

(4.2)

Подставим (4.2) в формулу (4.1) и, используя четыре свойства(1)–(4) из шести упомянутых в упражнении, выведем следующую формулу для скалярного произведения векторов x и y:

(4.3)

Обозначим и запишите (4.3) в виде

(4.4)

Рассмотрим другой базис , обозначим и посредством формул преобразования

и

докажем, что матрицы и являются компонентами геометрического объекта, подчиняющимися преобразованиям

и

при замене базиса. Таким образом мы докажем, что эта матрица Грама

(4.5)

задает тензор типа (0,2). Это очень важный тензор; его называют метрическим тензором. Оно описывает не только скалярное произведения в форме (4.4), но и всю геометрию нашего пространства. Свидетельства этого факта приводятся ниже.

Матрица (4.5) симметрична из-за свойства (5). Теперь, сравнивая формулу (4.4) с формулой

и помня о тензорной природе матрицы (4.5), мы приходим к выводу, что скалярное произведение – это симметричная билинейная форма:

(x, y) = g(x,y). (4.6)

Квадратичная форма, соответствующая (4.6), очень проста: f(x) = g(x,x) = . Обратная матрица для (4.5) обозначается тем же самым символом g, но она имеет два верхних индекса: . Это определяет тензор типа (2,0). Такой тензор называется дуальным метрическим тензором.

§5. Действия с тензорами

1) Линейные операции.

Так как - пространство тензоров ранга р - является линейным пространством, то в нем определены действия сложения и умножения на число:

(5.1)

Если тензоры представлены своими компонентами в одном и том же базисе, то линейной комбинации тензоров соответствует та же линейная комбинация их компонент.

2) Тензорное умножение.

В отличие от линейных операций, это действие совершается с произвольными тензорами, не обязательно имеющими одинаковый ранг.

Если X - тензор ранга р, а Y - тензор ранга q, то результатом будет тензор ранга p+q, обозначаемый XY:

(5.2)

Тензорное произведение произвольного числа тензоров обладает свойством ассоциативности.

Для того чтобы перейти к другим действиям с тензорами, нам понадобится следующее определение.

Определение. Тензоры, представимые в виде abc…h, называются разложимыми.

Не каждый тензор является разложимым, но любой тензор может быть представлен в виде линейной комбинации разложимых.

3) Перестановка (i,j).

Перестановкой T(i,j) называется линейная функция, действующая из в (т.е. не меняющая ранг тензора) и состоящая для разложимых тензоров во взаимной перестановке векторов, стоящих на i-м и j-м местах:

(5.3)

Например,

На произвольные тензоры операция перестановки распространяется по линейности, например:

Для тензоров второго ранга возможна только одна перестановка - Т(1,2), обозначаемая просто буквой Т:

Для произвольного тензора второго ранга X имеем:

Из полученного соотношения для видно, что матрица компонент тензора в простом базисе является транспонированной матрицей компонент тензора X в том же базисе. Именно поэтому операция перестановки тензоров второго ранга называется еще транспонированием.

4) Свертывание (i,j).

Свертыванием называется линейная функция, действующая из в (понижающая ранг тензора на 2) и состоящая для разложимых тензоров в скалярном перемножении вектора, занимающего i-е место, на вектор, занимающий j-е место:

(5.4)

Например, .

На произвольные тензоры операция свертывания переносится по линейности, например:

Для тензоров второго ранга возможно только одно свертывание - , обозначаемое просто :

Скаляр называется следом тензора второго ранга X.

Если тензор записан в смешанных компонентах, то

(п - размерность пространства Э_п). Таким образом, след тензора второго ранга совпадает со следом матрицы его смешанных компонент.

Для матриц ко- или контравариантных компонент предыдущее утверждение, вообще говоря, не верно:

5) Простое умножение.

Простым умножением тензора X ранга р на тензор Y ранга q называется операция, состоящая в свертывании (р,р + 1) тензорного произведения XY и обозначаемая :

(5.5)

Другими словами, простое умножение сводится к скалярному перемножению последних векторов в разложении тензора X на первые векторы в разложении тензора Y. Для разложимых тензоров:

Для произвольных тензоров:

В результате простого умножения тензора ранга р на тензор ранга q получается тензор ранга р+q-2. В частности, результатом простого умножения двух тензоров второго ранга будет тензор второго ранга.

6) Косое умножение.

Это действие имеет смысл только для тензоров, построенных на основе трехмерного векторного пространства . Как уже упоминалось, в определено векторное произведение векторов

Пусть Операция косого умножения, обозначаемая , приводит к тензору ранга р+q-1 и состоит в векторном перемножении последних векторов в разложении тензора X на первые векторы в разложении тензора Y:

(5.6)

Очевидно, что в случае двух векторов операция косого умножения совпадает с векторным умножением.

Для тензоров второго ранга с использованием векторного умножения строится еще одна операция - векторный инвариант. Это унарная (т.е. имеющая один аргумент) операция, применительно к тензору T обозначаемая как Т_х, определяется для разложимых тензоров следующим образом

,

и распространяется на произвольные тензоры по линейности:

7) Полное умножение.

Пусть , причем р>q.

Операцию полного умножения, обозначаемую , определим сначала для разложимых тензоров следующим образом: при полном умножении (разложимого) тензора X на тензор Y производится скалярное умножение последнего вектора в разложении тензора X на последний вектор в разложении тензора Y, затем скалярное умножение предпоследних векторов в разложениях этих тензоров и т.д., пока не будут исчерпаны все векторы в разложении тензора Y:

(5.7)

Для произвольных тензоров полное умножение производится по правилу "многочлен на многочлен". Результатом полного умножения тензора ранга р на тензор ранга q является тензор ранга р -q.

Если X и Y - тензоры одинакового ранга, то полное умножение совпадает с введенным ранее скалярным произведением в пространстве .

§6. Поднятие и опускание индексов

Характеристики

Список файлов курсовой работы