86179 (612675), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Знаючи, що і , знаходимо межі для

Отже , =9, =2.

Таким чином, дата народження 9-те число другого місяця, тобто 9 лютого.

Задача4.

Над двома цілими додатними числами були виконані наступні дії:

1. Їх додали;

2. Відняли від більшого менше;

3. Перемножили;

4. Поділили більше на менше.

Отримані результати додали і в результаті вийшло 243. Знайти ці числа.

Розв'язок.

Якщо більше число , а менше число , то

Якщо рівняння помножити на , а потім розкрити дужки і звести подібні доданки, то отримаємо:

Але Тому

Щоб було цілим числом, знаменник повинен бути одним із дільників числа 243 (тому що не може мати спільні множники із +1). Знаючи, що 243= , можна зробити висновок, що 243 ділиться тільки на наступні числа, які є точними квадратами: 1, , . І так, повинно дорівнювати 1, або , звідки знаходимо (додатне), що дорівнює 8 або 2.

Тоді дорівнює

Тому шуканими числами будуть: 24 та 8 або 54 та 2.

Задача5.

Числа 46 та 96 мають цікаву властивість: їх добуток не міняється, якщо поміняти їх цифри місцями, тобто

Потрібно встановити, чи існують ще такі пари двозначних чисел з такою ж властивістю. Як знайти ці всі числа?

Розв'язок.

Позначимо цифри шуканих чисел через і , і , отримаємо рівняння:

Розкривши дужки та звівши подібні доданки отримуємо рівняння:

де , , , – цілі числа, менші 10. Для того щоб знайти розв’язки складаємо із 9 цифр всі пари з рівними добутками:

Всіх рівностей 9. Із кожної можна скласти одну або дві пари шуканих чисел. Наприклад, із рівності саємо один розв'язок:

Із рівності знаходимо два розв’язки:

Аналогічно знаходимо наступні 14 розв’язків:

§2. Знаходження всіх цілих розв’язків діофантових рівнянь вищих порядків

Приклад 1.

Розв’язати в цілих числах рівняння

.

Розв'язок.

Розкладемо дане рівняння на множники таким чином:

оскільки розв’язками даного рівняння можуть бути лише цілі числа, то числа та також мають бути цілими. З останньої рівності бачимо, що добуток цих чисел дорівнює 3, тому можливі випадки:

Отже, для знаходження всіх цілих розв’язків даного рівняння треба розв’язати наступні системи рівнянь, тобто розглянути всі можливі випадки , коли добуток чисел рівний трьом.

Відповідь: (0, 0), (1, ), ( ), ( ).

Приклад 2.

Розв’язати в цілих числах рівняння

.

Розв'язок.

Аналогічно до прикладу 1 розкладемо наше рівняння на множники і за таким же принципом розв’яжемо його.

Знаючи, що числа , цілі і в добутку дають , очевидно, що вони можуть набувати наступних значень:

Отже маємо такі системи рівнянь:

Відповідь:

.

Приклад 3.

Розв’язати в цілих числах рівняння:

Розв'язок.

Перепишемо наше рівняння вигляді:

Тепер розв’яжемо дане рівняння, як квадратне відносно :

Оскільки , маємо нерівність

Дискримінант набуватиме від’ємних значень при , тому належить проміжку . Враховуючи те, що є числом цілим, то він може набувати таких значень:

.

3наючи , легко можемо знайти :

при =0, ,

.

при =1,

0.

=0, =2.

при =2,

=1, =2.

Відповідь: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1), (2, 2).

Приклад 4.

Знайти всі розв’язки рівняння в цілих числах:

Розв'язок.

Нехай , де , , – цілі числа. Тоді число парне. Після заміни отримаємо рівняння

Скоротимо на 2:

Очевидно, що парне число. Після заміни отримаємо рівняння:

Знову скоротимо на 2:

З останнього рівняння бачимо, що парне число. Після заміни , отримаємо рівняння:

Отримали рівняння, яке має такий же вигляд як і початкове рівняння. Тому знову за таким же алгоритмом можемо довести, що парні, і так далі. Але це можливо тільки в тому випадку, коли .

Отже, в цілих числах рівняння має єдиний розв'язок .

Приклад 5.

Знайти всі розв’язки рівняння в раціональних числах.

Розв'язок.

Очевидним є розв'язок , тому достатньо розглянути випадок, коли (випадок розглядується аналогічно).

Нехай , де – раціональне число. Тоді

тому = , а значить

Нехай – нескоротний дріб. Тоді

та .

Числа і + взаємно прості, тому число може бути раціональним тільки тому випадку, коли = і += для деяких натуральних та . Припустимо, що Тоді

Приходимо, до суперечності, так, як між числами та не може знаходитись число . Тому =1. Для будь-якого натурального числа

та раціональні і являються розв’язками рівняння . Ці числа будуть цілими лише при . В цьому випадку

Приклад 6.

Розв’язати в цілих числах рівняння

.

Розв'язок.

Перепишемо дане рівняння у вигляді :

Або

,

Звідки

Таким чином дане рівняння розпадається на два :

Або

(1)

(2)

Так як , то в (1) невідомий корінь може набувати цілі значення 0, 1, 4, 9, 16, а в (2) – лише цілі значення 0, 1, 4, 9. Відповідні їм значення такі: 64, 36, 16, 4, 0; 36, 16, 4, 0. Отже дане рівняння має 9 розв’язків в цілих числах.

Відповідь:

Приклад 7.

Розв’язати в цілих числах рівняння

Розв'язок.

Очевидно, що та не можуть бути від’ємними числами, так як при

а тому має вигляд що можливо лише при парних значеннях . Але з умови випливає, що не може бути парним числом, якщо .

Якщо , то рівняння має вигляд

звідки

Нехай Маємо

Із цього рівняння випливає, що

або , де – натуральне число.

Оскільки і оскільки – непарне число, то – парне число або .

Нехай Тоді , або , звідки

, . Тому або тобто , звідки і тому

Якщо ж , то довільне, . І так, при ми маємо, крім тривіального розв'язку , де – будь яке натуральне число або нуль, лише ще один розв'язок:

При . Очевидно, що непарних значеннях z дане рівняння не має розв’язків , при парних значеннях z рівняння зводиться до вигляду:

Отже, рівняння має тривіальний розв'язок де – будь-яке натуральне число, і, крім того, ще має тільки три розв’язки:

Приклад 8.

Розв’язати в натуральних числах рівняння

Розв'язок.

Перепишемо дане рівняння у вигляді:

або

Оскільки дільниками числа 7 є лише числа то шукані числа та треба шукати серед розв’язків наступних чотирьох систем:

Перша система має єдиний розв'язок в натуральних числах третя система має також єдиний розв'язок в натуральних числах Друга та четверта системи не мають розв’язків в натуральних числах.Отже, дане рівняння має рівно два розв’язки в натуральних числах: .

Приклад 9.

Розв’язати в цілих числах рівняння:

Розв'язок.

Ні одне із невідомих не може бути цілим від’ємним числом, так як рівності

неможливі при натуральних , , , .

Легко перевірити, що . Отже, , – натуральні. Із умови випливає:

або

або

Число – парне, якщо

Якщо , то , а тому із умови маємо

тобто,

Таким чином, - розв'язок даного рівняння.

Якщо ж повинно містити парну кількість доданків, а тому – парне число; нехай . Тоді

або ,

або .

Якщо – непарне число, то - непарне число, що можливо лише при тобто .

Тоді з умови маємо

тому - другий розв'язок даного рівняння.

Якщо ж – парне число, тобто , то , а тому дане рівняння перепишемо у вигляді:

або ;

тому

останнє рівняння не має розв’язків, так як ділиться на 5, а не ділиться на 5.

Відповідь: (1, 1), (2, 3).

Приклад 10.

Розв’язати в натуральних числах рівняння:

Розв'язок.

Перепишемо рівняння у такому вигляді:

(1)

Якщо то , а тому , тобто ; відповідно, при має місце нерівність

(2)

Якщо , то , а тому ; значить, при має місце нерівність

(3)

Об’єднуючи нерівності (2) і(3), отримуємо, що при ліва частина рівняння (1) додатна і тому відмінна від нуля.

Отже, при існуванні цілих додатних чисел даного рівняння має дорівнювати 1 або 2, а = 1. Підстановкою впевнюємось, що лише = 2, = 1 є розв’язком даного рівняння в натуральних числах.

Відповідь: (2, 1).

Приклад 11.

Розв’язати в цілих додатних числах систему рівнянь:

Розв'язок.

Додавши два рівняння системи, отримаємо

Звідки

(1)

Віднімаючи друге рівняння системи від першого, отримаємо

звідки

(2)

Помноживши дві частини рівняння (2) на 2 і віднімаючи потім нове рівняння від (1), отримаємо

(3)

Таким чином, із (2) та (3) випливає:

.

Оскільки , можливі лише два випадки:

а)

Відповідь: (4, 3, 1), (8, 1, 2).

Приклад 12.

Показати, що система рівнянь

має єдиний розв'язок

Розв'язок.

Так, як , то перше рівняння системи можна переписати у вигляді .

Оскільки (в означенням) , поділивши дві частини рівняння на добуток , отримаємо рівносильне йому рівняння

Оскільки

Характеристики

Список файлов курсовой работы