86179 (612675), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

У даному прикладі = 6 – парне число, тому , - шукані значення та . Обчислюючи , знаходимо , .

2) знайти найменші цілі, додатні значення , , які задовольняють рівняння

Розкладаючи в ланцюговий дріб отримуємо:

У цьому прикладі =5, найменше парне дорівнює 10, тому шукані значення , . Обраховуючи, отримуємо , .

Аналогічно до рівняння (6) можна розв’язати рівняння

. (10)

Теореми доведені для рівняння (6) справедливі і для рівняння (10), але замість умови парності , треба поставити умову не ділиться на 2. Таким чином, при парних значеннях діофантове рівняння (10) не має розв’язків.

2.3 Невизначене рівняння третього степеня

Сума кубів трьох цілих чисел може бути кубом четвертого числа. Наприклад,

Це означає, що куб ребро якого дорівнює 6 см, рівновеликий сумі трьох кубів, ребра яких дорівнюють 3см, 4см, 5см.

Спробуємо знайти таке ж відношення, тобто поставимо задачу: знайти розв’язки рівняння . Зручніше позначити невідоме через . Тоді рівняння буде мати більш простий вигляд

.

Розглянемо прийом, що дозволяє знайти безліч розв’язків цього рівняння в цілих (додатних та від’ємних)числах. Нехай , , , та , , , – дві четвірки чисел, що задовольняють рівняння. Додамо до чисел першої четвірки числа другої четвірки, помноженої на деяке число , і спробуємо підібрати число так, щоб отримані числа

також задовольняють наше рівняння. Інакше кажучи, підберемо таким чином, щоб виконувалась рівність

.

Розкривши дужки і знаючи, що , , , та , , , задовольняють рівняння, тобто мають місце рівності

, ,

ми отримаємо:

Або

Добуто може бути нулем тоді і тільки тоді, коли є нулем принаймні один із множників. Прирівнявши кожен із множників до нуля, отримуємо два значення для . Перше значення, =0, нас не цікавить, бо в цьому разі отримуємо числа , , , , які задовольняють наше рівняння. Тому візьмемо інше значення для :

Отже, знаючи дві четвірки чисел, які задовольняють початкове рівняння, можна знайти нову четвірку: для цього треба до чисел першої четвірки додати числа другої четвірки, помножені на , де має вище вказане значення.

Для того щоб застосувати цей прийом, треба знати дві четвірки, що задовольняють початкове рівняння. Одну таку четвірку ми вже знаємо – (3, 4, 5, ). За другу четвірку можна взяти числа , які очевидно, що задовольняють початкове рівняння. Інакше кажучи, покладемо:

Тоді для ми отримаємо наступне значення:

а числа

будуть відповідно дорівнювати

Очевидно, що останні чотири вирази задовольняють початкове рівняння

.

Оскільки всі ці вирази мають однаковий знаменник, то його можна відкинути. Отже при наше рівняння задовольняють (при будь яких та ) наступні числа:

В цьому можна впевнитись і безпосередньо, піднісши ці вирази до кубу і додавши їх. Надаючи та різні цілі значення, можемо отримати цілий ряд цілочисельних розв’язків нашого рівняння. Якщо при цьому отримані числа будуть мати спільний множник, то на нього ці числа можна поділити. Наприклад, при =1, =1 отримуємо для , , , наступні значення: 36, 6, 48, , або після скорочення на 6, значення 6, 1, 8, . Таким чином,

.

2.4 Теорема Лежандра

Розглянемо невизначене рівняння (11). Вперше знайшов розв’язки рівняння (11) Лежандр, довівши наступну теорему:

Теорема 8.

Якщо , і – попарно взаємно прості додатні цілі числа, вільні від квадратів, то невизначене рівняння

Має нетривіальні розв’язки в цілих числах , і , тоді і тільки тоді, коли мають розв’язки конгруенції

(12)

Доведення.

Необхідність умов (12) очевидна. Доведемо їх достатність.

Нехай – довільний непарний простий дільник числа . Тоді із (12) випливає, що конгруенція маж нетривіальний розв'язок, наприклад, . В такому випадку форма розкладається по модулю на лінійні множники:

.

Такий же розклад правильний для форми , тобто має місце рівність

, (13)

де - цілочисельні лінійні форми. Аналогічні рівності мають місці і для непарних простих дільників коефіцієнтів і , а також = 2, так, як

.

Знайдемо тепер такі лінійні форми , щоб виконувались рівності

Для всіх простих дільників коефіцієнтів , і . Тоді із рівності (13) отримаємо

, (14)

Будемо надавати змінним цілі значення, які задовольняють умови

(15)

Якщо виключити із розгляду тривіальний випадок (для нього твердження теореми очевидне), то із того, що числа , і є взаємно простими, випливає що не всі числа , , будуть цілими. Значить, число наборів (, , ), що задовольняють умови (15), строго більше, ніж . Розглянемо значення, які приймає лінійна форма при цих значеннях змінних. Так, як число наборів (, , ) з умовою (15) більше числа лишків по модулю , то для двох різних наборів ( , , ) і ( , , ) маємо

( , , )

Звідси, в силу лінійності форми , отримаємо, що при , , виконується конгруенція

( , , ) .

Відповідно до (14),

(16)

Оскільки для наборів ( , , ) і ( , , ) виконується (15), то

,

Значить,

Остання нерівність сумісна із конгруенцією (16) лише в тому випадку, коли

або коли

Перший випадок дає нетривіальний розв'язок, ( , , ). У другому випадку існування нетривіального цілочисельного розв’язку рівняння (11) випливає із тотожності

Вище доведене дає ефективний алгоритм для знаходження нетривіального цілочисельного розв'язку рівняння (11).

Розділ ІІ. Приклади розв’язання діофантових рівнянь

§1. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь

Задача1. Розв’язати лінійне діофантове рівняння:

3 .

Хоча одне рівняння з двома невідомими має нескінченне число розв’язків, неочевидно, що знайдеться хоча б одне з цілими додатними та .

Знаючи, що та є цілими і додатними розв’яжемо це рівняння. Виділимо невідоме, коефіцієнт, якого менший, отримаємо:

,

звідки

.

Оскільки , 6 і – цілі числа, то рівність може бути вірною лише за умови, що є цілим числом. Позначимо його буквою . Тоді

,

де

,

і значить,

Із останнього рівняння визначаємо :

.

Оскільки та – цілі числа, то і повинно бути деяким цілим числом . Тоді,

,

причому

звідки

+1.

Значення +1 підставимо в попередні рівності:

.

І так, для та ми знайшли представлення:

,

Взагалі кажучи, ми довели тільки те, що всякий цілочисельний розв'язок рівняння , має вигляд , , де - деяке ціле число. Доведення того, що при довільному цілому ми отримаємо деякий цілочисельний розв'язок даного рівняння, випливає, якщо провести аналогічні міркування в зворотному напрямку, підставивши знайдені значення та в початкове рівняння.

Оскільки , то і

,

З цих нерівностей знаходимо:

Цим самим величина обмежується; вона більша за (а значить і більша за ). Але оскільки - ціле і додатне число, то можна стверджувати, що для нього можливі лише наступні значення:

Тоді відповідні значення для та будуть такими:

,

Формули для визначають розв’язки даного рівняння у цілих невідємниних числах.

Задача2. Розв’язати систему лінійних діофантових рівнянь:

Розв'язок:

Віднявши друге рівняння від першого, отримаємо одне рівняння з двома невідомими:

Знаходимо :

Очевидно, - ціле число. Позначимо його через . Маємо:

Підставляємо вирази для та у друге із початкових рівнянь:

Отримаємо:

Так як неважко встановити межі для :

,

З цього можемо зробити висновок, що для можливі тільки два цілих значення: =0, =1.

Відповідні значення , і будуть такими:

=0	0	1
=0	20	28
=0	20	0
=0	0	3

Перевірка

Задача3.

Вміння розв’язувати діофантові рівняння дає можливість виконати наступний математичний фокус.

Якщо помножити дату свого дня народження на 12, а номер місяця на 31 і знайти суму, то за такою сумою можна визначити дату народження.

Якщо, наприклад, задумана дата – 9 лютого, то наступні дії будуть такими:

За останнім числом 170 потрібно визначити задуману дату.

Задача зводиться до розв'язку рівняння з двома невідомими

у цілих, додатних числах, причому число місяця не більше 31, а номер місяця не більше 12.

Характеристики

Список файлов курсовой работы