86179 (612675), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

отримаємо .

і – взаємно прості. Дійсно, якщо і мали спільний множник , то містився б в , а це неможливо, бо та є взаємно простими.

Тому та повинні бути порізну точними квадратами. Доведемо це. Для цього скористаємось теоремою про розклад чисел на прості множники. Маємо

Таким чином, в силу наслідків із теореми про розклад отримуємо

Але так як та взаємно прості, то для кожного одне із чисел дорівнює нулю і тому інше дорівнюватиме . Отже, всі показники в розкладах чисел та парні, звідки випливає, що кожне із цих чисел є точним квадратом:

Звідси

(5)

Таким чином кожен розв'язок рівняння у взаємно простих цілих числах повинен представлятись у вигляді (5), де - взаємно прості цілі числа, із яких одне парне, а інше не парне (інакше і були б парними одночасно). І навпаки, якими не були б взаємно прості цілі числа

різної парності, числа , , – складені з них по формулам (5) і дають розв’язки рівняння у взаємно простих числах. Дійсно, перш за все

Крім того , якщо б та ділились на просте число , то також
ділись би на , і так, як не може дорівнювати 2 (бо в силу різної парності чисел , і непарні), внаслідок того, що добуток двох чисел ділиться на просте число, то одне із чисел обов’язково ділиться на цей простий дільник, випливає ,що повинні ділитися на , а це суперечить тому, що числа є взаємно простими. Отже, та , а також і вся трійка , , – взаємно прості.

Таким чином формули (5) при взаємно простих різної парності, дають всі розв’язки рівняння у взаємно простих цілих числах.

Доведення теореми Ферма для четвертих степенів.

Доведемо наступну теорему:

Теорема 5.

Рівняння не має розв’язків у цілих числах, відмінних від нуля, і більше того: рівняння не має відмінних від нуля цілих розв’язків.

Доведення.

Припустимо, що існує система відмінних від нуля розв’язків останнього рівняння. Тоді серед цих систем розв’язків повинна існувати така, для якої приймає найменше можливе значення. Покажемо, що та при цьому взаємно прості. Дійсно, якби і мали спільний дільник , то ділилось би на і цілі числа давали б систему розв’язків з меншим .

Як і в попередньому дослідженні рівняння , впевнюємось в тому, що із пари чисел , одне повинне бути парним, а друге непарним.

Нехай – парне. На основі виведених вище формул (5) маємо

Причому і – взаємно прості числа, одне із яких парне, а інше непарне. Якщо було парним, – непарним, то мало б вигляд , що неможливо, бо квадрат непарного числа завжди має вигляд 4+1. Тому , і так як і та взаємно прості, то аналогічно впевнюємось в тому, що

де і взаємно прості, причому непарне.

Рівність , перепишемо тепер у вигляді

,

де та взаємно прості. Перша із цих рівностей, як і вище показує, що

а це в поєднанні з іншою рівністю дає .

Але очевидно, , таким чином ми прийшли до рівняння того ж вигляду , але з меншим , що суперечить припущенню про мінімальність .

Піфагорові трійки.

Кожний трикутник , сторонни сторони якого відносяться, як 3 : 4 : 5, згідно із загальновідомою теоремою Піфагора – прямокутний, оскільки .

Крім чисел 3, 4, 5, існує як відомо, безліч цілих додатних чисел , , , які задовольняють відношення:

.

Числа , , називаються піфагоровими числами. Згідно з теоремою Піфагора такі числа можуть служити довжинами сторін деякого прямокутного трикутника, тому і називають катетерами, – гіпотенузою.

Зрозуміло, що якщо , , є трійкою піфагорових чисел, то і , , , де – цілий множник, - піфагорові числа. І навпаки, якщо піфагорові числа мають спільний множник, то на цей множник можна скоротити, і знову отримаємо трійку піфагорових чисел.

Тому спочатку будемо досліджувати лише трійки взаємно простих піфагорових чисел (решта отримається із їх множення на цілий множник ).

Покажемо, що в кожній із таких трійок , , один із катетів повинен бути парним, а другий непарним.

Міркування проводитимемо від супротивного. Якщо два катета та парні, то парним буде і число , а значить і гіпотенуза . Це, суперечить тому, що числа , , не мають спільних множників, так, як три парні числа мають спільний множник 2. Таким чином принаймні один із катетів повинен бути непарним. Дійсно, якщо катети мають вигляд 2+1 та 2+1, то сума їх квадратів рівна

тобто представляє собою число, яке при діленні на 4 дає в остачі 2. Між іншим квадрат всякого парного числа повинен ділитися на 4 без остачі. Значить, сума квадратів двох непарних чисел не може бути квадратом парного числа, інакше кажучи, наші три числа не піфагорові.

Отже із катетів , один парний, а інший непарний. Тому число непарне, а значить непарна і гіпотенуза .

Припустимо, для визначеності, що непарним є катет , а парним . Із рівності

.

ми легко отримаємо:

.

Множники , правої частини рівності, взаємно прості. Дійсно, якщо б ці числа мали спільний множник, відмінний від одиниці, то на цей множник ділилась би і сума

І різниця

І добуток

Тобто числа 2, 2, і мали б спільний множник. Так як непарне, то цей множник відмінний від двійки, і тому цей же множник мають числа , , , чого бути не може.

Отримана суперечність показує, що числа взаємно прості.

Але якщо добуток взаємно простих чисел є точним квадратом, то кожне із них є квадратом, тобто

Розв’язавши цю систему, знайдемо:

Отже розглядувані піфагорові числа мають вигляд

Де та – деякі взаємно прості непарні числа. Легко впевнитись в тому, що при будь яких таких , ми отримаємо трійки піфагорових чисел. Розглянемо деякі піфагорові трійки, отримані при певних значеннях та :

Всі інші трійки піфагорових чисел або мають спільні множники, або містять числа більше ста.

2.2 Невизначене рівняння Ферма

Розглянемо тепер рівняння вигляду (6).

Рівняння (6) називають невизначеним рівнянням Ферма, яке має велике значення у всій теорії діофантових рівнянь. Ми доведемо, що при кожному натуральному значенні , відмінному від повного квадрата, це рівняння має нескінченно багато розв’язків в цілих числах, і знайдемо загальний метод знаходження всіх його розв’язків.

Теорема 6.

Нехай – ціле додатне, вільне від квадратів число і ( ) – розв'язок діофантового рівняння (6), тоді є чисельником і знаменником відповідно одного із підхідних дробів до .

Доведення. Із випливає, що і

,

Тобто – однин із підхідних дробів до . Оскільки , що задовольняють рівняння (6) є взаємно простими числами, то із рівності

випливає: = .

Розклад в ланцюговий дріб в загальному виглядає так:

(7)

Виявляється, що розв’язками рівняння (6) можуть бути чисельники і знаменники тільки тих підхідних дробів до у яких індекс має вид .

Теорема 7.

Якщо ( ) – розв'язок діофантового рівняння (6), то , де - підхідний дріб до .

Доведення. В попередній теоремі було доведено, що якщо пара цілих додатних чисел є розв’язком рівняння (6), то = , де - підхідний дріб до . Число є коренем квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами

. (8)

Повний частковий розклад в ланцюговий дріб є коренем деякого квадратного рівняння

з тим же дискримінантом, як у рівнянні (8) (при ) маємо:

;

- парне число, яке позначимо - 2 . Розв’язуючи квадратне рівняння для ,отримаємо , тобто розклад в ланцюговий дріб повинен мати той же період, як і в розкладі (7) числа і відрізняється від нього тільки на перший член розладу. Це може бути тільки при , , . Тепер залишається тільки вияснити, які саме з чисел є розв’язками рівняння (6).

Теорема.

Нехай – ціле додатне, вільне від квадратів число, – довжина періоду розкладу в ланцюговий дріб. Ми отримаємо всі розв’язки рівняння (6) в цілих додатних числах та , якщо візьмемо:

де – довільне натуральне число, таке, що парне.

Доведення.

В попередній теоремі було встановлено, що всі цілі додатні розв’язки рівняння (6) знаходяться серед пар вигляду . Залишається тільки вияснити, при яких числа задовольняють рівняння (6).

врозкладі в ланцюговий дріб має вигляд:

,

тобто (8).

Так, що підставляючи значення із формули (8), отримаємо:

(9)

Оскільки - ірраціональне, із рівності (9) випливає:

Помноживши першу з цих рівностей на , а другу на і віднявши їх, отримаємо:

Пара , буде розв’язком рівняння (6) тоді і тільки тоді, коли , тобто при парних значеннях . Найменшими додатними значеннями , які задовольняють рівняння Ферма (6) є:

, якщо парне.

, якщо непарне.

Приклад. 1) знайти найменші цілі додатні значення , , які задовольняють рівняння

Розкладаючи в ланцюговий дріб, отримуємо:

Характеристики

Список файлов курсовой работы