86163 (612668)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Курсова робота

"Беселеві функції"

1. Беселеві функції з будь-яким індексом

Рівняння Лапласа в циліндричних координатах

Щоб пояснити походження Беселевих функцій, розглянемо рівняння Лапласа в просторі:

. (1)

Якщо перейти до циліндричних координат по формулах:

,

,

,

те рівняння (1) прикмет наступний вид:

. (2)

:

,

Нехай є рішення згаданого виду. Підставляючи його в (2), одержимо:

,

звідки (після ділення на )

.

Записавши це у вигляді:

,

знайдемо, що ліва частина не залежить від , права не залежить від

,

; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна

. Звідси:

;

;

;

;

.

В останній рівності ліва частина не залежить від , права не залежить від

; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна

. Звідси:

,

;

,

.

Таким чином, ,

,

повинні задовольняти лінійним диференціальним рівнянням другого порядку:

,

(3)

,

,

з яких друге й третє є найпростіші лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами, а перше є лінійним рівнянням зі змінними коефіцієнтами нового виду.

Обернено, якщо ,

,

задовольняють рівнянням (3), тобто

рішення рівняння (2). Справді, підставляючи

в ліву частину (2) і ділячи потім на

, одержимо:

.

Таким чином, загальний вид всіх трьох рішень рівняння (2), які є добутком трьох функцій, кожна з яких залежить від одного аргументу, є , де

,

,

– будь-які рішення рівнянь (3) при будь-якому виборі чисел

,

.

Перше з рівнянь (3) у випадку ,

називається рівнянням Беселя. Думаючи в цьому випадку

, позначаючи незалежну змінну буквою

(замість

), а невідому функцію – буквою

(замість

), знайдемо, що рівняння Беселя має вигляд:

. (4)

Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами відіграє більшу роль у додатках математики. Функції, йому задовольняючі, називаються Беселевими, або циліндричними, функціями.

Беселеві функції першого роду

Будемо шукати рішення рівняння Беселя (4) у вигляді ряду:

.

Тоді

,

,

,

.

Отже, приходимо до вимоги

або до нескінченної системи рівнянь

,

яка розпадається на дві системи:

Перша з них задовольниться, якщо взяти … У другій системі

можна взяти довільно; тоді

… однозначно визначаються (якщо

не є цілим негативним числом). Взявши

,

знайдемо послідовно:

,

,

,

і як рішення рівняння (4) одержимо ряд:

Цей ряд, що формально задовольняє рівнянню (4), сходиться для всіх позитивних значень і, отже, є рішенням рівняння (4) в області

(у випадку цілого

в області

).

Функція

(5)

називається бесселевой функцією першого роду з індексом . Вона є одним з рішень рівняння Беселя (4). У випадку цілого ненегативного індексу

одержимо:

, (5`)

і, зокрема,

. (5``)

Загальне рішення рівняння Беселя

У випадку нецілого індексу функції

і

є рішеннями рівняння (4). Ці рішення лінійно незалежні, тому що початкові члени рядів, що зображують ці функції, мають коефіцієнти, відмінні від нуля, і містять різні ступені

. Таким чином, у випадку нецілого індексу загальне рішення рівняння Беселя є:

. (6)

Якщо (ціле негативне число), то функція, обумовлена формулою (5) (з огляду на, що

дорівнює нулю для

…), приймає вид:

(5```)

або, після заміни індексу підсумовування на

,

, (7)

звідки видно, що задовольняє разом з

рівнянню Беселя

.

Але формула (6) у випадку цілого вже не дає загального рішення рівняння (4).

Думаючи

(

– не ціле) (8)

і доповнюючи це визначення для (ціле число) формулою:

, (8`)

одержимо функцію , що задовольняє рівнянню Беселя (4) і у всіх випадках лінійно незалежну від

(у випадку

, де

– ціле). Функція

називається беселевою функцією другого роду з індексом

. Загальне рішення рівняння Беселя (4) можна записати у всіх випадках у вигляді:

. (9)

2. Формули приведення для Беселевих функцій

Маємо:

;

;

,

;

.

Отже,

. (10)

Таким чином, операція (що складається в диференціюванні з наступним множенням на

), застосована до

, підвищує в цьому вираженні індекс

на одиницю й міняє знак. Застосовуючи цю операцію

раз, де

– будь-яке натуральне число, одержуємо:

. (10`)

Маємо:

;

Отже,

. (11)

Таким чином, операція , застосована до

, знижує в цьому вираженні індекс

на одиницю. Застосовуючи цю операцію

раз, одержуємо:

. (11`)

З виведених формул можна одержати деякі наслідки. Використовуючи (10), одержимо:

;

;

.

Звідси, зокрема, треба, що . Використовуючи (11), одержимо:

;

;

.

По членне додавання й вирахування отриманих рівностей дає:

, (12)

. (13)

Формула (13) дозволяє виразити всі Беселеві функції із цілими індексами через ,

. Дійсно, з (13) знаходимо (думаючи

):

, (13`)

звідки послідовно одержуємо:

,

, …………………

3. Беселеві функції з напівцілим індексом

Беселеві функції, загалом кажучи, є новими трансцендентними функціями, що не виражаються через елементарні функції. Виключення становлять Беселеві функції з індексом , де

– ціле. Ці функції можуть бути виражені через елементарні функції.

Маємо:

,

,

отже,

.

Але , значить:

. (14)

Далі

,

,

отже,

.

Але , тому

. (15)

За допомогою (10') знаходимо:

,

а з огляду на (14)

,

отже, при цілому позитивному

. (14`)

За допомогою (11') знаходимо:

,

але в силу (15)

,

і, отже, при цілому позитивному

. (15`)

4. Інтегральне подання Беселевих функцій із цілим індексом

Виробляюча функція системи функцій

Розглянемо систему функцій

(з будь-якою загальною областю визначення), пронумерованих за допомогою всіх цілих чисел:

Складемо ряд

,

де – комплексна змінна. Припустимо, що при кожному

(приналежному області визначення розглянутих функцій) цей ряд має кільце збіжності, що містить усередині себе одиничну окружність

. Зокрема, це кільце може являти собою повну площину комплексної змінної без крапок 0 і?.

Функція

(16)

(де x лежить в області визначення функцій системи ,

– усередині кільця збіжності, що відповідає розглянутому значенню

) називається виробляючою функцією системи

.

Обернено, нехай задана функція , де

пробігає деяку множину,

перебуває усередині деякого кільця, що залежить від

, із центром 0 і утримуючого усередині себе одиничну окружність. Тоді, якщо

при кожному

аналітичне відносно

усередині відповідного кільця, тобто

виробляюча функція деякої системи

функцій. Справді, розклавши при кожному

функцію

в ряд Лорана по ступенях

:

,

знайдемо, що система коефіцієнтів цього ряду буде шуканою системою

.

Формули для коефіцієнтів ряду Лорана дозволяють виразити функції розглянутої системи через виробляючу функцію. Застосовуючи ці формули й перетворюючи потім інтеграл уздовж одиничної окружності

в простий інтеграл, одержимо:

. (17)

Виробляюча функція системи Беселевих функцій із цілими індексами

Покажемо, що для системи Беселевих функцій першого роду із цілими індексами (

…) виробляюча функція є:

.

Маємо:

,

,

звідки після по членного перемножування цих рівностей знайдемо:

(тому що в передостанній внутрішній сумі й

були зв'язані залежністю

, то ми могли покласти

, одержавши підсумовування по одному індексі

). В останній внутрішній сумі підсумовування виробляється по всіх цілих

, для яких

, отже, при

це буде

; при

це буде

. Таким чином, у всіх випадках внутрішня сума є

в силу формул (5`) і (5```). Отже,

, (18)

але це й доводить, що є виробляюча функція для системи

.

Виведемо деякі наслідки з формули (18). Думаючи в ній , одержимо:

,

звідки після поділу дійсної й мнимої частини (з огляду на, що )

(18`)

(18``)

Заміняючи в (18`) і (18``) на

, знайдемо:

, (18```)

. (18````)

Інтегральне подання Jn(x)

Тому що, по доведеному, при маємо

, те по формулі (17) одержуємо (використовуючи в перетвореннях формули Ейлера):

де прийнято в увагу, що є парна функція від

є непарна функція від

. Отже, доведено, що для будь-якого цілого числа

. (19)

Формула (19) дає подання Беселевих функцій із цілим індексом у вигляді певного інтеграла, що залежить від параметра . Ця формула називається інтегральним поданням Беселя для

, права частина формули називається інтегралом Беселя. Зокрема, при

знайдемо:

. (19`)

5. Ряди Фур'є-Беселя

Розглянемо на якому-небудь інтервалі (кінцевому або нескінченному) два диференціальних рівняння

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов курсовой работы