86163 (612668), страница 2
Текст из файла (страница 2)
,
, (20)
де 
й
– безперервні функції на
. Нехай
і
– ненульові рішення цих рівнянь. Множення на
й на
й наступне вирахування дають
.
Нехай 
і
належать
і
, тоді після інтегрування в межах від
до
одержимо
. (21)
Якщо й
– сусідні нулі рішення
, то між
і
зберігає постійний знак, нехай, наприклад,
на (
,
) (у противному випадку варто замінити
на
), тоді
,
(рівність нулю виключено, тому що
– ненульове рішення диференціального рівняння другого порядку). Якщо на
, то
повинна, принаймні, раз звертатися в нуль між
і
, тому що інакше
збереже постійний знак на (
,
). Нехай, наприклад,
на (
,
) (у противному випадку заміняємо
на
З теореми порівняння Штурму випливають нижченаведені наслідки. Якщо Викладене показує, що якщо Розглянемо рівняння Беселя на інтервалі Очевидно, причому Якщо на інтервалі (0, +∞). Підстановка і, отже, звідки отже, Нехай тепер тобто звідки видно, що якщо Цим доведено, що при на інтервалі Переходячи до межі при і використовуючи правило Лопиталя, одержимо при всякому отже, якщо Таким чином, при кожному поставлений у відповідність ряд Фур'є-Беселя коефіцієнти якого визначаються формулами Можна довести, що система функцій Можна показати, що якщо 6. Асимптотичне подання Беселевих функцій із цілим індексом для більших значень аргументу Нехай означає, що найдуться такі числа Подібний запис уживається й в інших аналогічних випадках. Наприклад, якщо означає, що найдуться такі числа Допоміжна лема Якщо має місце асимптотичне подання Доведемо цю лему. Заміняючи на Розглянемо інтеграл, що фігурує в правої частини формули (20). Заміняючи але, замінивши на Якщо звідки Отже, одержуємо асимптотичне подання: Розглянемо тепер інтеграл, що фігурує в другому складати^ся правої частини формули (20). Маємо: Очевидно, де перший доданок правої частини який сходиться, тому що отже, другий доданок є теж Отже, маємо: З (26), (27), (28) одержуємо шукане асимптотичне подання: Із цієї формули, переходячи до сполучених величин, знайдемо ще: Формули (29) і (29`) вірні й для функцій Висновок асимптотичної формули для Jn(x) Заміняючи (з огляду на, що де і, заміняючи в першому із цих інтегралів Тому що але Отже, маємо шукане асимптотичне подання беселевої функції першого роду із цілим індексом для більших значень аргументу: Ця формула показує, що Зокрема, Графіки цих функцій зображені ні малюнках 1 і 2. Розглянемо кілька прикладів рішення рівняння Беселя. 1. Знайти рішення рівняння Беселя при задовольняючим початковим умовам при Рішення. На підставі формули (5') знаходимо одне приватне рішення: 2. Знайти одне з рішень рівняння: Рішення. Зробимо заміну При При Рівняння на Рисунок 1 – Графік функції y=J0 (x) Рисунок 2 – Графік функції y=J1 (x) Висновок Розглянуті усі рішення рівнянь, які можуть бути представлені у вигляді добутку трьох функцій. Складені графіки функцій. Список літератури 1. Пискунов Н.С. Диференціальне й інтегральне вирахування, навчальний посібник для вузів. – К., 2003 2. Романовський П. І. «Ряди Фур'є. Теорія поля. Аналітичні й спеціальні функції. Перетворення Лапласа», навчальний посібник для вузів. – К., 2004 3. Самарський А.А., Гулін А.В. Чисельні методи. – К., 2003 4. Синіцин О.К., Навроцкий А.А. Алгоритми обчислювальної математики. – К., 2003
), і тоді з (21) одержимо протиріччя, тому що ліва частина ≤0, а права >0. У такий спосіб доведена теорема порівняння Штурму: якщо P(x)
на , то кожне ненульове рішення рівняння 
може мати на не більше одного нуля (це легко бачити, якщо покласти 
й взяти 
). Якщо 
на (де 
), то для всяких двох сусідніх нулів і (
) кожного ненульового рішення рівняння маємо 
(це легко бачити, якщо покласти 
, взяти 
й помітити, що нулями будуть тільки числа виду 
, 
ціле). Якщо 
на (де 
), то для всяких двох сусідніх нулів кожного ненульового рішення рівняння 
маємо 
(це легко бачити, якщо покласти 
й взяти 
). Із сказаного випливає, що якщо 
на , те для всяких двох сусідніх нулів і ( ) кожного ненульового рішення рівняння маємо 
.
безперервно на 
й перевищує деяке позитивне число поблизу +∞, те кожне ненульове рішення рівняння має на нескінченно багато нулів. Якщо ще поблизу 
не звертається в нуль, то ці нулі утворять нескінченну зростаючу послідовність 
, що має межею +∞, а якщо, крім того, 
, де 
, те 
.
. Підстановка 
приводить до рівняння
. і мають ті самі нулі. Тому що 
, де 
– ціла функція, то 
не має нулів на 
при досить малому 
, і тому що 
при 
, те при кожному 
нулі на утворять нескінченну зростаючу послідовність
.
, то 
задовольнить рівнянню
приводить до рівняння
задовольняє цьому рівнянню. Таким чином, при будь-яких позитивних і маємо
, де 
,
, де 
,
,
, де 
. (22)
. Розкладання 
по ступенях 
починається зі члена, що містить 
, розкладання 
по ступенях починається зі члена, що містить 
, тому що коефіцієнт при 
дорівнює нулю, що легко бачити, виходячи з формули (5). Отже, з (22) при 
одержимо
,
, (23) і є різними нулями функції , те
. (23`) система функцій
є ортогональної щодо ваги 
.
в співвідношенні
, (24) є нулем функції , те
. (24`) всякій безперервній функції 
на , що задовольняє вимозі
,
, (25)
. (25`)
на , ортогональна щодо ваги , замкнута. Зокрема, якщо ряд Фур'є-Беселя (25) рівномірно сходиться до його безперервної функції, що породжує.
й безперервна на й функція, то ряд Фур'є-Беселя цієї функції сходиться до неї при 
.
– позитивна функція й – яка-небудь функція для досить більших значень . Запис
при 
й M, що при 
маємо 
.
– позитивна функція й 
– яка-небудь функція, визначені для досить малих позитивних значень 
, то запис
при 
й 
, що 
на .
двічі безупинно диференцюєма на 
, то для функції
при .
, одержимо:
.(26)
на , знайдемо:
,
, одержимо:
.
позитивно, убуває й прагнути до нуля при , то 
й 
, а отже, і 
є 
при , тому
при ,
при .
при . (27)
,
.
двічі безупинно на , але існують 
і 
, тому стає безупинно диференцуєма на . Інтегрування вроздріб дає:
,
є 
при , а інтеграл у другому мажорирується інтегралом, що складається при нижній межі
,
при ; при .
при . (28)
при . (29)
при . (29')
.
на 
, одержимо:
є парна функція від , а 
є непарна функція від ). Підстановка 
дає:
,
є, мабуть, поліном n-й ступеня (поліном Чебишева), тому що з формули Муавра видно, що 
є поліном n-й ступеня відносно 
. Але
на 
, одержимо:
й 
на мають похідні всіх порядків, то до двох останніх інтегралів застосовні формули (29) і (29`), і ми одержуємо:
;
; 
, отже,
.
при . (30)
з точністю складається до порядку, що, 
є загасаючою гармонікою із хвилею постійної довжини й амплітудою, що убуває обернено пропорційно квадратному кореню з абсциси.
при ; (30`)
при . (30'')
,
, 
і 
.
.
, 
.
.
одержимо:
.
будемо шукати рішення у вигляді узагальненого статечного ряду:
. має вигляд 
;
, 
, 
, 
, тому
,
, 
.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
