Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

где - стационарное распределение изолированного -го узла в фиктивной окружающей среде, определяемое с помощью соотношений (4.1.6).

Доказательство. Для доказательства того, что , определенные в (4.1.15), образуют стационарное распределение марковского процесса , достаточно [94,97,103] подобрать функцию

которая удовлетворяла бы соотношениям

и

Если такие удастся найти (см. [94,97,103]), то окажется, что будут являться инфинитезимальными интенсивностями перехода для обращенной во времени цепи Маркова , а - стационарными вероятностями для и . Положим

для всех остальных состояний положим . Для функции соотношение (4.1.16) действительно выполняется, что легко проверяется подстановкой в него равенств (4.1.8)-(4.1.13), (4.1.18)-(4.1.23) и использования (4.1.4),(4.1.5). Остается доказать (4.1.17). Складывая (4.1.18)-(4.1.23), получим, что

Используя (4.1.1)-(4.1.2), имеем

Применяя снова (4.1.1)-(4.1.2), а также свойства индикаторов, получим

Сравнивая полученный результат с (4.1.14), делаем вывод, что для любого состояния . Докажем, что при выполнении условий (4.1.7) марковский процесс эргодичен. Согласно эргодической теореме Фостера [82], для этого достаточно доказать, что существует нетривиальное неотрицательное решение уравнений глобального равновесия

такое, что ряд сходится. Складывая (4.1.16) по всем , убеждаемся, что является решением (4.1.24). Из (4.1.14) следует, что

Поскольку ряд

распадается в произведение рядов, каждый из которых сходится в силу условия (4.1.7) как сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим единицы, то и сам он сходится. В силу (4.1.25) будет сходиться ряд

По эргодической теореме Фостера это означает, что марковский процесс эргодичен. Таким образом, теорема доказана полностью.

Замечание 4.1. Если условия (4.1.3) и (4.1.7) выполнены во всех узлах, то получается простой алгоритм для нахождения стационарных вероятностей:

1. Проверяется выполнение условий (4.1.3).

2. Решается система нелинейных уравнений (4.1.1)-(4.1.2).

3. Проверяется выполнение (4.1.7).

4. Определяются с помощью соотношений (4.1.6).

5. Находится стационарное распределение состояний сети с помощью формулы (4.1.15).

Этот алгоритм может быть дополнен алгоритмом расчета совместного стационарного распределения чисел заявок в узлах и совместного стационарного распределения номеров режимов работы узлов, а также расчета моментов этих распределений. Если - состояние сети, где , то через обозначим вектор, характеризующий числа положитнльных заявок в узлах, а через - вектор, характеризующий режимы работы в узлах. Стационарные распределения этих двух векторов обозначим соответственно и .

Нетрудно убедиться, складывая (4.1.15) по всем возможным значениям , что совместное стационарное распределение чисел положительных заявок в узлах имеет следующую форму:

где каждый множитель имеет геометрическое распределение

Производящая функция стационарного распределения числа заявок в -м узле имеет вид

а -й факториальный момент есть

Как и следовало ожидать, в стационарном режиме среднее число положительных заявок и дисперсия числа положительных заявок в каждом узле,

стремятся к нулю, когда загрузка этого узла

Точно так же, складывая (4.1.15) по всем возможным значениям , определим совместное стационарное распределение режимов в узлах сети:

где

Средний номер режима работы -го узла в стационарной сети находится как

Анализ характера выходящих потоков из сети провести крайне трудно, так как эти потоки являются сложными благодаря воздействию отрицательных заявок и из-за нелинейности уравнений трафика.

2. ОТКРЫТЫЕ СЕТИ С МНОГОРЕЖИМНЫМИ СТРАТЕГИЯМИ ОБСЛУЖИВАНИЯ И ИНФОРМАЦИОННЫМИ СИГНАЛАМИ ДВУХ ТИПОВ

В 1 исследовалось стационарное распределение марковского процесса, описывающего открытую сеть с многорежимными стратегиями обслуживания и отрицательными заявками. Здесь мы рассмотрим открытую сеть массового обслуживания, в которую наряду с отрицательными заявками, называемыми в дальнейшем отрицательными сигналами, поступает еще один вид информационных сигналов, изменяющих режим функционирования обслуживающих устройств в узлах.

На фазовом пространстве задан многомерный марковский процесс , где , своими инфинитезимальными интенсивностями перехода: для

для всех других состояний предполагается, что . Интенсивность выхода получается сложением этих интенсивностей:

Этот процесс описывает сеть, состоящую из однолинейных узлов, в которую поступают четыре независимых стационарных пуассоновских потока: положительных заявок с параметром , отрицательных сигналов с параметром , сигналов уменьшения режима с параметром , сигналов увеличения режима с параметром . Поступление отрицательного сигнала в узел уменьшает число заявок в нем на единицу, если число заявок в узле больше нуля, и не производит никаких изменений, если в узле нет заявок. Сигнал уменьшения режима при поступлении в -й узел с режимом переводит его в режим работы , не изменяя числа заявок в узле, и не производит никаких изменений, если узел находится в режиме работы 0; сигнал увеличения режима при поступлении в -й узел с режимом переводит его в режим работы , не изменяя числа заявок в узле, и не производит никаких изменений, если узел находится в режиме работы . После этих операций информационные сигналы пропадают, не оказывая более влияния на сеть. Поступающие положительная заявка, отрицательный сигнал, сигнал уменьшения и сигнал увеличения режима направляются в -й узел соответственно с вероятностями . Положительная заявка, обслуженная в -м узле, мгновенно направляется в -й узел, с вероятностью оставаясь положительной, с вероятностью превращаясь в отрицательный сигнал, с вероятностью - в сигнал понижения режима, с вероятностью - в сигнал повышения режима, или с вероятностью покидает сеть . Длительность обслуживания прибором -го узла положительных заявок имеет показательное распределение с параметром . Режимы работы и интенсивности перехода с режима на режим определяются как в предыдущем разделе. Состояние сети в момент времени описывается так же, только теперь - число положительных заявок в -м узле в момент .

Предположим, что все величины положительны. Пусть - средние интенсивности поступления в -й узел положительных заявок, отрицательных сигналов, сигналов понижения и повышения режимов соответственно, удовлетворяющие системе нелинейных уравнений трафика:

Уравнения (4.2.3) имеют решение. Действительно, первые два уравнения в (4.2.3) совпадают с уравнениями трафика (4.1.1),(1.1.2), которые имеют решение . Очевидно, по найденным из третьего и четвертого уравнений (4.2.3) однозначно определятся .

Рассмотрим изолированный -й узел в фиктивной окружающей среде, считая, что в него поступают четыре независимых пуассоновских потока: положительных заявок с параметром , отрицательных сигналов с параметром , сигналов уменьшения режима с параметром и сигналов увеличения режима с параметром . Необходимым и достаточным условием обратимости, а, значит, и квазиобратимости изолированного узла является условие

что проверяется с помощью простой модификации доказательства леммы 2.2. Заметим, что это условие заведомо выполняется, когда интенсивности переходов с режима на режим не зависят от состояния узла. Уравнения обратимости для изолированного узла имеют вид:

Из уравнений (4.2.5) находим

Полагая в (4.2.6) и заменяя на , получим:

откуда

Подставляя это в (4.2.7), имеем:

Из условия нормировки находим, что

В силу теоремы Фостера [82] для эргодичности изолированного узла достаточно выполнения неравенств

Доказательство дословно повторяет то, которое использовалось при доказательстве аналогичного утверждения в 4.1.2, с заменой оценки для следующей оценкой:

Отметим то обстоятельство, что вторая часть (4.2.10) заведомо имеет место, когда интенсивности переходов с режима на режим не зависят от состояния узла. Заметим также, что второе неравенство в (4.2.10) гарантирует регулярность марковского процесса, описывающего изолированный узел в фиктивной окружающей среде. Это означает, что за конечное время процесс не может сделать бесконечное число переходов из одного состояния в другое (моменты скачков процесса не могут иметь конечной предельной точки).

Теорема 2.2. [45, C.186] Если для всех выполняются условия (4.2.4) и (4.2.10), то марковский процесс эргодичен, а его стационарное распределение имеет форму произведения (4.1.15), где определяются с помощью соотношений (4.2.8),(4.2.9).

Доказательство. Для доказательства того, что , определенные в (4.1.15),(4.2.5),(4.2.6), образуют стационарное распределение марковского процесса , достаточно [94,97,103] подобрать функцию которая удовлетворяла бы соотношениям

Если такие удастся найти (см. [94,97,103]), то окажется, что будут являться инфинитезимальными интенсивностями перехода для обращенной во времени цепи Маркова , а - стационарными вероятностями для и . Положим

Характеристики

Список файлов курсовой работы