85975 (612616), страница 4
Текст из файла (страница 4)
для всех остальных состояний 
положим 
. Для функции 
(4.2.11) действительно выполняется, что легко проверяется подстановкой в него равенств (4.2.1),(4.2.13) и использования (4.2.8),(4.2.9). Остается доказать (4.2.12). Складывая (4.2.13), получим, что
Используя (4.2.3), имеем
Применяя снова (4.2.3), свойства индикаторов и тот факт, что 
, получим
Сравнивая полученный результат с (4.2.2), делаем вывод, что 
для любого состояния 
.
Докажем, что при выполнении условий (4.2.10) марковский процесс 
эргодичен. Согласно эргодической теореме Фостера [82], для этого достаточно доказать, что существует нетривиальное неотрицательное решение уравнений глобального равновесия
такое, что ряд 
сходится. Складывая (4.2.11) по всем 
, убеждаемся, что 
является решением (4.2.14). Из (4.2.2) следует, что
Поскольку ряд
распадается в произведение 
рядов, каждый из которых сходится в силу условия (4.2.10) как сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим единицы, то и сам он сходится. В силу (4.2.15) будет сходиться ряд
По эргодической теореме Фостера это означает, что марковский процесс эргодичен. Таким образом, теорема доказана полностью.
Замечание 4.2. Если условия (4.2.4) и (4.2.10) выполнены во всех узлах, то получается следующий алгоритм для нахождения стационарных вероятностей:
1. Проверяется выполнение условий (4.2.4).
2. Решается система нелинейных уравнений (4.2.3).
3. Проверяется выполнение (4.2.10).
4. Определяются 
с помощью соотношений (4.2.8), (4.2.9).
5. Находится стационарное распределение состояний сети 
с помощью формулы (4.1.15).
Этот алгоритм также может быть дополнен алгоритмом расчета совместного стационарного распределения чисел заявок в узлах и совместного стационарного распределения номеров режимов работы узлов, а также расчета моментов этих распределений.
Если 
- состояние сети, где 
, то через 
обозначим вектор, характеризующий числа положитнльных заявок в узлах, а через 
- вектор, характеризующий режимы работы в узлах. Стационарные распределения этих двух векторов обозначим соответственно 
и 
.
Нетрудно убедиться, складывая (4.1.15) по всем возможным значениям 
, что совместное стационарное распределение чисел положительных заявок в узлах имеет следующую форму:
где каждый множитель имеет геометрическое распределение
Производящая функция стационарного распределения числа заявок в 
-м узле имеет вид
а 
-й факториальный момент есть
Как и следовало ожидать, в стационарном режиме среднее число положительных заявок и дисперсия числа положительных заявок в каждом узле,
стремятся к нулю, когда загрузка этого узла
Точно так же, складывая (4.1.15) по всем возможным значениям 
, определим совместное стационарное распределение режимов в узлах сети:
где 
Средний номер режима работы -го узла в стационарной сети находится как
Анализ выходящих из сети потоков положительных заявок не проводился, поскольку, как и в предыдущем подразделе, такие потоки носят сложный характер из-за нелинейности уравнений трафика.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе рассмотрена открытая сеть массового обслуживания с многорежимными стратегиями обслуживания, в которую наряду с обычными, положительными заявками поступают пуассоновские потоки информационных сигналов, оказывающих разовое воздействие на соответствующий узел сети. Интенсивность обслуживания прибором узла зависит от номера узла, но не зависит от его состояния. Предполагалось, что при помещении изолированного узла в фиктивную окружающую среду, характеризующуюся поступлением в него пуассоновских независимых потоков положительных заявок и информационных сигналов каждого типа, узел описывается обратимым марковским процессом с непрерывным временем и счетным пространством состояний. Положительная заявка после обслуживания в некотором узле может остаться положительной, а может превратиться в информационный сигнал любого из рассматриваемых типов. Рассмотрены два случая: а)кроме положительных заявок в сеть могут поступать отрицательные заявки; б)кроме положительных заявок в сеть могут поступать отрицательные сигналы, сигналы умньшения и сигналы увеличения номера режима на единицу.
Для обоих случаев составлены нелинейные уравнения трафика и доказано существование их решения, установлены достаточные условия эргодичности марковского процесса, характеризующего состояния рассматриваемых открытых сетей, и в аналитической форме найдено финальное стационарное распределение состояний этого процесса. Построен алгоритм для расчета стационарных вероятностей состояний сети.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Анисимов B.B., Лебедев Е.А. Стохастические сети обслуживания. Марковские модели. - Киев: Лыбидь, 1992. - 205 с.
2. Башарин Г.П., Бочаров П.П., Коган Я.А. Анализ очередей в вычислительных сетях. - М.: Наука. - 1989. - 336с.
3. Башарин Г.П., Толмачев А.Л. Некоторые результаты теории сетей массового обслуживания // Методы развития теории телетрафика. - М. - 1970. - С.52-65.
4. Башарин Г.П., Толмачев А.Л. Теория сетей массового обслуживания и ее приложения к анализу информационно-вычислительных систем // Итоги науки и техники. - М., 1983. - Т.21. - С.3-119. - (Сер. Теория вероятностей. Матем. статистика. Теор. кибернетика / ВИНИТИ).
5. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания: Учебник. - М.: РУДН, 1995. - 529с.
6. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. - М.: Наука, 1977. - 568с.
7. Горцев А.М., Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуживания. - Томск: ТГУ, 1978. - 208с.
8. Добрушин Р.Л., Кельберт М.Я., Рыбко А.Н., Сухов Ю.М. Качественные методы теории сетей с очередями // Препринт. -М., 1986. - 50с. - (ИППИ АН СССР).
9. Евдокимович В.Е., Малинковский Ю.В. Сети массового обслуживания с динамической маршрутизацией и динамическими вероятностными обходами узлов заявками // Проблемы передачи информации. - 2001. - Том 37, вып.3. - С.55-66.
10. Жожикашвили В.А., Вишневский В.М. Сети массового обслуживания. Теория и применение к сетям ЭВМ. - М.: Радио и связь. - 1988. - 192с.
11. Ивницкий В.А. Сети массового обслуживания и их применение в ЭВМ // Зарубежная радиоэлектроника. - 1977. - №7. - С.33-70.
12. Ивницкий В.А. Об условии независимости стационарных вероятностей состояний разомкнутой сети однолинейных систем с потерями от вида распределений длительностей обслуживания // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. - 1981. - №4. - С.136-140.
13. Ивницкий В.А. Об условии инвариантности стационарных вероятностей для сетей массового обслуживания // Теория вероятностей и ее применения. - 1982. - Т. 27, № 1. - С.188-192.
14. Ивницкий В.А. Об инвариантности стационарных вероятностей состояний для замкнутых сетей однолинейных СМО // ДАН УССР. А. - 1989. - №7. - С.8-11.
15. Ивницкий В.А. Об условии инвариантности стационарных вероятностей состояний для сетей однолинейных СМО // Теория вероятностей и ее применения. - 1989. - Т. 34, № 3. - С.576-580.
16. Ивницкий В.А. Об инвариантности стационарных вероятностей состояний для сетей многолинейных систем массового обслуживания с абсолютным приоритетом поступающего требования и дообслуживанием // Исследование систем и сетей массового обслуживания: Тез. докл. 12-й Бел. зимней школы-семинара по ТМО, Гродно, янв.-февр. 1996 г. / Бел. гос. унив. - Минск, 1996. - С.36-37.
17. Кельберт М.Я., Сухов Ю.М. Математические вопросы теории сетей с очередями // Итоги науки и техники. - М., 1988. - Т.26. - С.3-96. - (Сер. Теория вероятностей. Матем. статистика. Теор. кибернетика / ВИНИТИ).
18. Кениг Д., Рыков В.В., Шмидт Ф. Стационарные системы массового обслуживания с зависимостями // Итоги науки и техники. - М., 1981. - Т.18. - С.95-186. - (Сер. Теория вероятностей. Матем. статистика. Теор. кибернетика / ВИНИТИ).
19. Клейнрок Л. Коммуникационные сети. - М.: Наука, 1970. - 255с.
20. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. - М.: Мир, 1979. - 600с.
21. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. - М.: Наука, 1966. - 243с.
22. Ковалев Е.А. Сети с ненадежными каналами и резервом//Математические методы исследования сетей связи и сетей ЭВМ. Тезисы докладов VI Белорусской школы-семинара по ТМО. - Минск,1990. - С.70-71.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
