Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Поэтому в данной работе предпринята попытка построения моделей, адекватно описывающих такую ситуацию. Рассмотрены экспоненциальные сети с многорежимными стратегиями обслуживания, в которых обслуживающие устройства в узлах частично ненадежны и в различных режимах функционирования работают с разными интенсивностями. Для таких сетей находится инвариантная вероятностная мера в мультипликативной форме.

1. ОТКРЫТЫЕ СЕТИ С МНОГОРЕЖИМНЫМИ СТРАТЕГИЯМИ ОБСЛУЖИВАНИЯ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЗАЯВКАМИ

Рассматривается открытая сеть массового обслуживания с экспоненциальным обслуживанием в узлах и марковской маршрутизацией, в которую поступают два независимых между собой пуассоновских стационарных потока: обычных (положительных) заявок, требующих обслуживания в узлах, и так называемых отрицательных заявок, которые не обслуживаются и могут удалять из узлов заявки ( -сеть). Положительная заявка после обслуживания может с некоторой вероятностью трансформироваться в отрицательную. Однолинейные узлы могут работать в нескольких режимах, время переключения с одного режима на другой имеет показательное распределение с параметром, зависящим от состояния узла. Переключение происходит только на соседние режимы. Устанавливается условие эргодичности и находится стационарное распределение состояний сети в мультипликативной форме.

Постановка задачи.

В главе 2 рассматривалась открытая сеть с многорежимными стратегиями обслуживания, в которой приборы могут частично выходить из строя, работая при этом в "щадящем" режиме. В 4.1 рассматривается аналогичная сеть при упрощающем предположении, состоящем в том, что интенсивности обслуживания в узле не зависят от его состояния. Однако добавляется возможность поступления в сеть так называемых отрицательных заявок и возможность трансформирования обычных (положительных) заявок в отрицательные, что существенно усложняет задачу, превращая, в частности, линейные уравнения трафика в нелинейные.

В сеть, состоящую из однолинейных узлов, поступают два независимых стационарных пуассоновских потока: положительных заявок с параметром и отрицательных заявок с параметром . Отрицательные заявки в отличие от обычных (положительных) заявок не требуют обслуживания, а поступление отрицательной заявки в узел уменьшает число заявок в нем на единицу, если число заявок в узле больше нуля, и не производит никаких изменений, если в узле нет заявок. После указанных операций отрицательные заявки исчезают и в дальнейшем не оказывают влияния на сеть. Каждая заявка входного потока положительных заявок независимо от других заявок с вероятностью направляется в -й узел, а каждая заявка входного потока отрицательных заявок независимо от других заявок с вероятностью направляется в -й узел . Положительная заявка, обслуженная в -м узле, мгновенно направляется в -й узел, с вероятностью оставаясь положительной и с вероятностью превращаясь в отрицательную, или покидает сеть с вероятностью В -м узле находится единственный прибор, который может работать в режимах. Состояние -го узла характеризуется парой чисел , где - число положительных заявок в -м узле, - номер режима, в котором работает прибор в -м узле . Длительность обслуживания прибором -го узла положительных заявок имеет показательное распределение с параметром . Назовем 0 основным режимом работы. Время пребывания в основном режиме работы имеет показательное распределение с параметром , после чего прибор переходит в режим 1. Для состояний , у которых , время пребывания в режиме также имеет показательное распределение, при этом с интенсивностью прибор -го узла переходит в режим , а с интенсивностью - в режим . Время пребывания в последнем -м режиме имеет показательное распределение с параметром , после чего прибор переходит в -й режим. Во время переключения прибора с одного режима работы на другой число заявок в узле не меняется.

Состояние сети в момент времени будем характеризовать вектором , где - состояние -го узла в момент времени . В соответствии с вышесказанным здесь - число положительных заявок в -м узле в момент , - номер режима работы -го узла в момент . Основная цель данной работы - нахождение стационарного распределения марковского процесса .

Предположим, что все величины строго положительны. Обозначим через среднюю интенсивность поступления положительных заявок в -й узел, а через среднюю интенсивность поступления отрицательных заявок в -й узел. Эти интенсивности удовлетворяют следующей системе нелинейных уравнений трафика:

Лемма 1.1 [54, C.91]. Система уравнений (4.1.1), (4.1.2) имеет решение

.

Доказательство. Так как - непрерывная функция от и , то доказательство следует из результата [90], полученного в этой работе с помощью теоремы Брауэра о неподвижной точке.

В дальнейшем будем предполагать, что существует решение (4.1.1),(4.1.2), для которого все . Для того, чтобы это выполнялось, надо наложить некоторые условия на маршрутизацию заявок в сети. Например, такое решение будет заведомо существовать, если при каждом выполняется условие . На самом деле можно наложить гораздо менее жесткие условия. Всюду в дальнейшем под словами решение (4.1.1),(4.1.2) будет пониматься именно такое решение. Это предположение гарантирует неприводимость марковского процесса на фазовом пространстве , где .

Изолированный узел в фиктивной окружающей среде.

Рассмотрим изолированный -й узел в фиктивной окружающей среде, считая, что в него поступают два независимых пуассоновских потока: положительных заявок с параметром и отрицательных заявок с параметром , где и найдены из системы уравнений трафика (4.1.1),(4.1.2). Окружающая среда является фиктивной потому, что в самой сети потоки заявок на ее узлы не являются простейшими. Необходимым и достаточным условием обратимости, а, значит, и квазиобратимости изолированного узла является условие

Действительно, модифицируя доказательство леммы 2.2, получаем, что при его выполнении произведение интенсивностей, ведущих из любого состояния в это же самое состояние по ребрам элементарного квадрата по и против часовой стрелки совпадают для марковского процесса, описывающего такой изолированный узел. Условия (4.1.3) выполняются, в частности, если интенсивности переходов из одного режима в другой не зависят от состояния узла. Обозначая через финальные стационарные вероятности его состояний, запишем уравнения обратимости для изолированного узла:

Из этих уравнений легко определяются стационарные вероятности состояний изолированного узла в фиктивной окружающей среде:

где

и, как всегда, предполагается, что произведение, в котором нижний индекс больше верхнего, равно 1.

Согласно эргодической теореме Фостера [82] для эргодичности марковского процесса, описывающего изолированный узел в фиктивной окружающей среде, достаточно существования нетривиального неотрицательного решения системы уравнений равновесия такого, что

Если

то в силу (4.1.6) ряд сходится как сумма геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим единицы. При выполнении условия

интенсивность выхода из состояния ограничена:

Поэтому при выполнении условий

сходится ряд и по эргодической теореме Фостера марковский процесс, описывающий изолированный узел в фиктивной окружающей среде эргодичен.

Основной результат. Пусть - интенсивность перехода процесса из состояния в состояние , - интенсивность его выхода из состояния , - вектор , у которого все кроме равны 0, а , и все , - вектор , у которого все и все кроме равны 0, а . Очевидно, интенсивности перехода процесса имеют следующий вид:

для всех иных состояний выполняется .

Интенсивность выхода получается сложением этих интенсивностей:

Основной результат 4.1 состоит в следующем.

Теорема 1.1. [54, C.92], [55, C.180] Если для всех выполняются условия (4.1.3) и неравенства (4.1.7), то марковский процесс эргодичен, а его финальное стационарное распределение имеет форму произведения

Характеристики

Список файлов курсовой работы