85012 (612458), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

. Поскольку отображение

можно рассматривать как подмножество

, то получаем также расширения всех числовых отображений. Всю полученную совокупность множеств называют нестандартным универсумом. На основании нестандартного универсума можно построить теорию, аналогичную математическому анализу, или нестандартный математический анализ.

Мы перечислим без доказательства некоторые необходимые в дальнейшем утверждения нестандартного анализа.

Принцип переноса

Если в стандартной теории верно некоторое утверждение, записанное логической формулой с конечным числом логических символов, то аналогичное утверждение верно и в нестандартном универсуме и наоборот.

Пусть дано бинарное отношение . Отношение называется направленным, если для любого конечного набора элементов

существует элемент

, который находится в отношении

со всеми элементами данного набора.

Принцип направленности. Пусть дано направленное отношение . Тогда во множестве *В существует элемент

, находящийся в отношении

со всеми элементами множества А:

Пример. Выведем из принципа направленности существование бесконечно большого числа в *R. Возьмем прямое произведение и на нем обычное отношение порядка: элементы x и y находятся в отношении

, если

. По принципу направленности:

, что и означает, что в расширении

существует элемент, который больше любого стандартного действительного числа, т. е. бесконечно большое число.

Теорема 10 [2]. Пусть - стандартная последовательность. Тогда

. То есть число

является пределом стандартной последовательности тогда и только тогда, когда для расширенной последовательности все члены с гипернатуральными номерами бесконечно близки к b.

(Соотношение ,

, означает, что

– бесконечно малое число).

Доказательство.

1) Пусть , тогда по определению предела стандартной последовательности выполняется условие

. Применим принцип переноса:

. Но все бесконечно большие номера будут больше n0 , поэтому при любом стандартном положительном

для любого бесконечного номера выполняется неравенство

, что и означает

.

Пусть . Возьмем стандартное ε>0 , тогда верно утверждение:

. По принципу переноса такое же утверждение верно и в стандартном универсуме, следовательно,

, что и требовалось доказать.

Множества, входящие в нестандартный универсум, называются внутренними. Это множества, которые являются элементами расширения булеана какого-то стандартного множества. Рассмотрим множества, являющиеся элементами , где

– булеан

. Для всех множеств

из

выполняется утверждение: если множество ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань (аксиома непрерывности). И определение ограниченности сверху, и определение точной нижней грани можно записать формулой с конечным числом символов, поэтому к данному утверждению применим принцип переноса. Значит, если множество

ограничено сверху некоторым гипердействительным числом, то оно имеет точную верхнюю грань в

, которую также будем обозначать

.

Теорема 11. Пусть имеется внутреннее множество А *R, причем

. Тогда

.

Доказательство. Очевидно, данное множество ограничено сверху, например, числом . Пусть М=sup А. Предположим от противного: пусть условие

не выполняется, значит, положительное число

не бесконечно малое. Значит, существует такое стандартное положительное число

, что

. Отсюда следует, что

. А так как для любого

число

бесконечно малое, то

, следовательно, М не является точной верхней гранью множества А, и предположение не верно.

2. Расширение пространств и

Рассмотрим следующие пространства:

1) l2 – пространство односторонних последовательностей комплексных чисел с натуральной нумерацией, для которых ряд - сходящийся.

2) l2(-∞;∞) – пространство двусторонних последовательностей комплексных чисел с нумерацией целыми числами, для которых соответственно ряд - сходящийся.

Соответственно, обозначим через *l2 нестандартное расширение пространства l2, которое также является линейным пространством над полем , наделенным скалярным произведением.

Определим, какие последовательности гиперкомплексных чисел будет содержать пространство *l2.

Так как по определению l2 ={{xi}/ C

R,

n

N:

≤ C}, то по принципу переноса

*l2={{xi}i *N /

С

*R,

ν

*N:

≤С} (*)

Т.е. в l2 входят гиперкомплексные последовательности с гипернатуральной нумерацией, удовлетворяющие условию (*). Аналогично, в *l2(- ,

) будут последовательности с гиперцелой нумерацией, члены которых также

*С, удовлетворяющие аналогичному (*) условию

* -

,

)={{xi }/

С

*R,

ν

:

≤С}.

Естественным образом в *l2 можно ввести норму: , но в отличие от нормы в l2, в *l2 норма может принимать также и бесконечные значения.

Докажем, что для расширений стандартных последовательностей .

Возьмем стандартную последовательность {xi}=x в пространстве l2 с нормой и любое стандартное

. Воспользуемся теоремой 1:

. Из этого утверждения следует, что верно следующее утверждение:

, т.е. для любого стандартного

число

является верхней границей для множества всех сумм вида

(1).

Обозначим М =

(2)

Из предыдущего следует, что . С другой стороны, так как М

, то

]. Но

, значит, для любого стандартного

, следовательно, М

, или

, что и требовалось доказать.

3. Операторы сдвига в нестандартном расширении пространства последовательностей

В дальнейшем Н – гильбертово пространство, – пространство всех линейных ограниченных операторов в Н.

Для линейных операторов в нестандартных пространствах можно ввести аналоги основных понятий теории операторов: ограниченности, нормы, спектра. При этом можно рассматривать различные пространства операторов: например, – множество всех расширений операторов из пространства

;

– множество всех линейных операторов

, имеющих конечную норму, т. е. удовлетворяющих условию

; *(L(H)) – расширение пространства всех линейных ограниченных операторов в Н.

Мы будем рассматривать операторы из пространства *(L(H)). Для операторов из этого пространства можно ввести норму как расширение нормы на пространстве *(L(H)). Но в отличие от стандартной нормы она может быть также и бесконечна. Назовем оператор из *(L(H)) ограниченным, если его норма конечна

Определение 13. Спектром оператора А *(L(H)) называется множество точек λ

, для которых оператор А– λI не имеет ограниченного обратного в *(L(H)).

Теорема 12. Если существует элемент с не бесконечно малой нормой, такой, что

для некоторого λ

, то число

принадлежит спектру оператора А.

Доказательство. Предположим, что обратный оператор существует. Обозначим

. Тогда

, а

. Норма элемента

равна 1, а норма элемента

бесконечно большая. Отсюда следует, что оператор

не ограничен.

Определение 14. Элемент с не бесконечно малой нормой, такой, что

для некоторого λ

, называется почти собственным вектором оператора А, а число

– точкой почти собственного спектра оператора А.

Рассмотрим оператор сдвига U в пространстве , т. е. оператор, каждую последовательность вида

переводящий в последовательность вида

Также будем рассматривать оператор двустороннего сдвига

, он каждую последовательность вида

сдвигает вправо, т.е. переводит в последовательность

.

Рассмотрим следующую задачу. В пространстве * возьмем следующую последовательность:

, где

– бесконечно большой номер. Найдем норму этого элемента:

. Если же качестве

возьмем

, то получим

. Покажем, что данный элемент является почти собственным вектором оператора сдвига с почти собственным числом

, т. е.

. Действительно,

=

, следовательно,

.

Можно доказать также более общий факт.

Теорема 13. Любая точка единичной окружности является почти собственным числом оператора двухстороннего сдвига, соответствующим некоторому почти собственному вектору.

Доказательство. В пространстве *l2(- ,

) рассмотрим следующую последовательность:

=

, где

=

и

– некоторый бесконечно большой номер. Найдем норму этого элемента:

. Возьмем

и рассмотрим разность

. Так как

Ux= ,

,

то . Найдем норму этой разности:

, т. е.

.

Заключение

В работе показано, что нестандартное расширение оператора сдвига сохраняет многие свойства стандартного сдвига, в частности, свойство ограниченности и норму. Но также имеются и отличия, например, существование у нестандартного оператора сдвига почти собственных векторов.

Список литературы

Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре.–М.: Мир, 1964.

Девис Д. Прикладной нестандартный анализ.

Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст]./ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Просвещение, 1968.

Халмош П. Гильбертово пространство в задачах [Текст]. – М.: Просвещение, 1972.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://revolution.allbest.ru/

Характеристики

Список файлов курсовой работы