85012 (612458), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

(3)

Действительно, , следовательно, выполняется (3).

Сумма и произведение трех и более операторов определяются последовательно. Обе эти операции ассоциативны.

Произведение оператора А на число к (обозначается кА) определяется как оператор, который элементу х ставит в соответствие элемент кАх.

Совокупность Z(E,E1) всех непрерывных линейных операторов, определенных на всем Е и отображающих Е в Е1 ( где Е и Е1 – фиксированные линейные нормированные пространства), образует, по отношению к введенным операциям сложения и умножения на число, линейное пространство. При этом Z(E, E1) – нормированное пространстово (с тем определением нормы оператора, которое было дано выше).

4. Обратный оператор

Пусть А – линейный оператор, действующий из Е в Е1 , и DA область определения, а RA – область значений этого оператора.

Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для любого у RA уравнение Ах=у имеет единственное решение.

Если А обратим, то любому элементу у RA можно поставить в соответствие единственный элемент х

DA , являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным к А и обозначается А-1.

Теорема 3 [1]. Оператор А-1, обратный линейному оператору А, также линеен.

Доказательство.

Достаточно проверить выполнение равенства

.

Положим Ах1=у1 и Ах2=у2, в силу линейности А имеем

(*)

По определению обратного оператора А-1у1=х1 и А-1у2=х2, умножим оба равенства соответственно на и

:

.

С другой стороны из равенства (*) следует , следовательно,

.

Теорема доказана.

Теорема 4 [3]. (Теорема Банаха об обратном операторе)

Пусть А – линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство Е на банахово пространство Е1. Тогда обратный оператор А-1 ограничен.

Теорема 5 [3]. Пусть Е – банахово пространство, I – тождественный оператор в Е, а А – такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в себя, что . Тогда оператор (I-A)-1 существует, ограничен и представляется в виде

.

Доказательство.

Так как , то ряд

сходится. А так как

для всех

, то ряд

также сходится. Пространство Е полно, значит, из сходимости ряда

вытекает, что сумма ряда

представляет собой ограниченный линейный оператор. Для любого n имеем:

, переходя к пределу и учитывая, что

, получаем

, следовательно

.

Теорема доказана.

5. Спектр оператора. Резольвента.

Всюду, где речь идет о спектре оператора, считаем, что оператор действует в комплексном пространстве.

В теории операторов и ее применениях первостепенную роль играет понятие спектра оператора. Рассмотрим это понятие сначала применительно к операторам в конечномерном пространстве.

Пусть А – линейный оператор в n-мерном пространстве Еn . Число называется собственным значением оператора А , если уравнение

имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора А, а все остальные значения

– регулярными.

Иначе говоря, есть регулярная точка, если оператор

обратим. При этом оператор

-1 , как и любой оператор в конечномерном пространстве, ограничен, поэтому в конечномерном пространстве существует две возможности:

уравнение имеет ненулевое решение, т. е.

есть собственное значение для А , оператор

-1 при этом не существует;

существует ограниченный оператор -1, т.е.

есть регулярная точка.

В бесконечномерном пространстве существует третья возможность:

оператор -1 существует, т.е. уравнение

имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.

Введем следующую терминологию. Число мы назовем регулярным для оператора А, действующего в (комплексном) линейном нормированном пространстве Е, если оператор

-1 , называемый резольвентой оператора А , определен на всем Е и непрерывен. Совокупность всех остальных значений

называется спектром оператора А . Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как если

х=0 при некотором

, то

-1 не существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра, т.е. совокупность тех

, для которых

-1 существует, но не непрерывен, называется непрерывным спектром. Итак, любое значение

является для оператора А или регулярным, или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра – существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.

Теорема 6 [3]. Если А –ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве и , то

– регулярная точка.

Доказательство.

Так как, очевидно , то

. При

этот ряд сходится (теорема 4), т.е. оператор

имеет ограниченный обратный. Иначе говоря, спектр оператора А содержится в круге радиуса

с центром в нуле.

Теорема доказана.

Пример. В пространстве функций, непрерывных на отрезке

, рассмотрим оператор А, определяемый формулой Аx(t)=M(t)x(t) , где M(t)– фиксированная непрерывная функция. Возьмем произвольное число

, тогда

, а

.

Спектр рассматриваемого оператора состоит из всех , для которых Если функция M(t)-

обращается в нуль при некотором t, заключенном между 0 и 1, то оператор

не определен на всем пространстве

, так как функция

уже не обязана быть непрерывной. Если же функция M(t)-

не обращается в нуль на отрезке

, то функция

непрерывна на этом отрезке, а, следовательно, ограничена: для некоторого

при всех

. Следовательно, оператор

ограничен, а число

– регулярное для оператора А. Таким образом, спектр оператора А есть совокупность всех значений функции M(t) на отрезке [0;1], причем собственные значения отсутствуют, т.е. оператор умножения на t представляет собой пример оператора с чисто непрерывным спектром.

Замечания

Любой ограниченный линейный оператор, определенный в комплексном банаховом пространстве, имеющем хоты бы один отличный от нуля элемент, имеет непустой спектр. Существуют операторы, у которых спектр состоит из единственной точки (оператор умножения на число).

Теорема 5 может быть уточнена следующим образом. Пусть (можно доказать, что этот предел существует для любого ограниченного оператора А), тогда спектр оператора А целиком лежит внутри круга радиуса r с центром в нуле. Величина r называется спектральным радиусом оператора А.

Резольвентные операторы и

, отвечающие точкам

и

, перестановочны между собой и удовлетворяют соотношению

, которое легко проверить, умножив обе части этого равенства на

. Отсюда вытекает, что если

– регулярная точка для А, то производная от

по

при

=

, т.е.

, существует (в смысле сходимости по операторной норме) и равна

.

§2. Унитарные операторы. Оператор сдвига

В этом разделе будем рассматривать пространство Н со скалярным произведением, которое является частным случаем нормированного пространства.

6. Оператор сдвига. Спектр оператора сдвига

Определение 7. Ограниченный линейный оператор U в пространстве Н называется изометрическим, если он не изменяет величины скалярного произведения: для любых

.

В этом случае, если х=у, то , или

. Значит, изометрический оператор сохраняет норму элемента, а норма самого такого оператора, как следует из определения нормы, равна 1 (

).

Понятие изометрического оператора можно ввести также для операторов, действующих в нормированном пространстве.

Определение 8. Ограниченный линейный оператор U в нормированном пространстве Е называется изометрическим, если он не изменяет величины нормы: для любых

.

Лемма 1. Для того, чтобы линейный оператор U в пространстве Н был изометрическим, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: для любых

.

Доказательство. Нужно доказать только достаточность. Для этого используем тождество

. Его легко проверить, если представить левую часть в виде скалярных произведений:

. Так как левая часть не изменится при замене векторов

на векторы

, то правая тоже не изменится, т. е.

.

Определение 9. Оператор U называется унитарным, если он изометрический и имеет обратный оператор, определенный на всем пространстве Н.

Теорема 7. Спектр унитарного оператора – это множество, лежащее на единичной окружности.

Доказательство. Доказательство проведем в два этапа:

Докажем, что спектр унитарного оператора U содержится в единичном круге.

Рассмотрим обратный оператор и покажем, что он тоже унитарный. Докажем, что, если принадлежит спектру оператора U, то

принадлежит спектру обратного оператора и наоборот.

Для доказательства I этапа применим теорему 4: если А – ограниченный линейный оператор в нормированном пространстве и , то

– регулярная точка. Иначе говоря, спектр оператора А содержится в круге радиуса

с центром в нуле. А норма унитарного оператора U, как было показано, равна 1 (

). Следовательно, спектр унитарного оператора содержится в единичном круге.

Перейдем ко II этапу. Докажем, что оператор, обратный к унитарному оператору, также унитарный оператор. Покажем, что он удовлетворяет условию изометрии: для всех

. Положим Ux=y, тогда

Характеристики

Список файлов курсовой работы