47658 (608331), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Будем рассматривать процесс распределения средств как n-шаговый, в котором номер шага соответствует номеру года. Управляемая система — два предприятия с вложенными в них средствами. Система характеризуется одним параметром состояния — количеством средств, которые следует перераспределить в начале k-го года. Переменных управления на каждом шаге две: и — количество средств, выделенных соответственно предприятию I и II. Так как средства ежегодно перераспределяются полностью, то . Для каждого шага задача становится одномерной. Обозначим через , тогда .

Показатель эффективности k-го шага равен . Это—доход, полученный от двух предприятий в течение k-го года.

Показатель эффективности задачи—доход, полученный от двух предприятий в течение n лет—составляет

. (2.5)

Уравнение состояния выражает остаток средств после k-го шага и имеет вид

. (2.6)

Пусть — условный оптимальный доход, полученный от распределения средств между двумя предприятиями за п—k+1 лет, начиная с k-го года до конца рассматриваемого периода. Запишем рекуррентные соотношения для этих функций:

; (2.7)

,

где - определяется из уравнения состояния (2.6).

Задача 3. Решить задачу 2 при следующих условиях: ; ; ; ; ; .

Если и - средства, выделенные соответственно предприятиям I и II в k-м году, то суммарный доход, полученный от обоих предприятий, равен

,

а уравнение состояния (2.6) принимает вид

.

Основные функциональные уравнения (2.7) запишутся следующим образом:

;

.

Проведем этап условной оптимизации.

4-й шаг. Условный оптимальный доход равен

,

так как линейная относительно функция достигает максимума в конце интервала, т.е. при .

3-й шаг:

.

Коэффициент при отрицателен, поэтому максимум в этой линейной относительно функции достигается в начале интервала, т.е.

; .

2-й шаг:

, откуда ; .

1-й шаг:

при .

Результат условной оптимизации:

; ; ; ;

; ; ;

Перейдем к безусловной оптимизации. Полагаем ; тогда , . Зная , находим ; используя , получаем и . Аналогично , . Наконец, . Следовательно, средства по годам нужно распределить так:

	Год
Предприятие		1	2	3	4
I		0	0	0	5120
II		10000	8000	6400	0

При таком распределении средств (10000 руб.) за четыре года будет получен доход, равный .

Непрерывные модели, примером которых служит задача 3, не являются типичными в практике распределения ресурсов. В дальнейшем большинство задач будет носить дискретный характер.

2.3 Дискретная динамическая модель оптимального распределения ресурсов

При дискретном вложении ресурсов может возникнуть вопрос о выборе шага в изменении переменных управления. Этот шаг может быть задан или определяется исходя из требуемой точности вычислений и точности исходных данных. В общем случае эта задача сложна, требует интерполирования по таблицам на предыдущих шагах вычисления. Иногда предварительный анализ уравнения состояния позволяет выбрать подходящий шаг , а также установить предельные значения , для которых на каждом шаге нужно выполнить табулирование.

Рассмотрим двумерную задачу, аналогичную предыдущей, в которой строится дискретная модель ДП процесса распределения ресурсов.

Задача 3. Составить оптимальный план ежегодного распределения средств между двумя предприятиями в течение трёхлетнего планового периода при следующих условиях: 1) начальная сумма составляет 400; 2) вложенные средства в размере x приносят на предприятии I доход и возвращаются в размере 60% от x, а на предприятии II—соответственно и 20%; 3) ежегодно распределяются все наличные средства, получаемые из возвращенных средств: 4) функции и заданы в табл. 1:

Таблица 1

x	50	100	150	200	250	300	350	400
	6	10	15	26	28	38	45	49
	8	12	20	28	35	40	46	48

Модель динамического программирования данной задачи аналогична модели, составленной в задаче 1.

Процесс управления является трехшаговым. Параметр — средства, подлежащие распределению в k-м году (k=1, 2, 3). Переменная управления — средства, вложенные в предприятие I в k-м году. Средства, вложенные в предприятие II в k-м году, составляют . Следовательно, процесс управления на k-м шаге зависит от одного параметра (модель одномерная). Уравнение состояния запишется в виде

, (2.8)

а функциональные уравнения – в виде

, (2.9)

. (2.10)

Попытаемся определить максимально возможные значения, для которых необходимо проводить табулирование на k-м шаге (k=1, 2, 3). При из уравнения (2.8) определяем максимально возможное значение ; имеем =0,6-400= 2400 (все средства вкладываются в предприятие I). Аналогично, для получаем предельное значение . Пусть интервал изменения совпадает с табличным, т. е. =50. Составим таблицу суммарной прибыли на данном шаге: (см. табл. 2). Это облегчит дальнейшие расчеты. Так как , то клетки, расположенные по диагонали таблицы, отвечают одному и тому же значению , указанному в 1-й строке (в 1-м столбце) табл. 2. Во 2-й строке таблицы записаны значения , а во 2-м столбце — значения , взятые из табл. 1. Значения в остальных клетках таблицы получены сложением чисел и . стоящих во 2-й строке и во 2-м столбце и соответствующих столбцу и строке, на пересечении которых находится данная клетка. Например, для =150 получаем ряд чисел: 20—для x=0, у=150; 18—для x=50, y==100; 18— для x=100, y=50; 15—для x=150, y=0.

Таблица 2

x y	0		50		100	150	200	250	300	350	400
0	0		6		10	15	26	28	38	45	49
50	8		14		18	23	34	36	46	53
100	12		18		22	27	38	40	50
150	20		26		30	35	46	48
200	28		34		38	43	54
250	35		41		45	50
300	40		46		50
350	46		52
400		48

Аналогичную таблицу полезно подготовить и для расчетов по формуле (2.8). Расчет приведен в табл.3.

Таблица 3

x y	0		50		100		150		200	250	300	350	400
0	0		30		60		90		120	150	180	210	240
50	10		40		70		100		130	160	190	220
100	20		50		80		110		140	170	200
150	30		60		90		120		150	180
200	40		70		100		130		160
250	50		80		110		140
300		60		90		120
350		70		100
400		80

Проведем условную оптимизацию по обычной схеме.

3-й шаг. Основное уравнение (2.9)

решим с помощью табл. 2. Как указывалось выше, . Просмотрим числа на диагоналях, соответствующих ; 50; 100; 150 и на каждой диагонали выберем наибольшее. Это и есть . В 1-й строке находим соответствующее условное оптимальное управление. Данные оптимизации на 3-м шаге поместим в основную таблицу (табл. 4). В ней введен столбец , который в дальнейшем используется при интерполяции.

Оптимизация 2-го шага проведена в табл. 5 согласно уравнению вида (2.10):

Характеристики

Список файлов курсовой работы