Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

.

Т.к. один из односторонних пределов бесконечен, то – точка разрыва второго рода.

Глава 2. Дифференциальное исчисление

2.1 Определение производной

Определение производной

Производная или от данной функции есть предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

или .

Механический смысл производной – скорость изменения функции. Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к графику функции:

2.2 Основные правила дифференцирования

Производные основных элементарных функций

Пример 17

а)

б)

в)

2.3 Производные высших порядков

Производная второго порядка функции

Производная второго порядка функции :

Пример 18.

а) Найти производную второго порядка функции .

Решение. Найдем сначала производную первого порядка .

От производной первого порядка возьмем еще раз производную .

Пример 19. Найти производную третьего порядка функции .

Решение.

.

2.4 Исследование функций

2.4.1 План полного исследования функции:

План полного исследования функции:

1. Элементарное исследование:

- найти область определения и область значений;

- выяснить общие свойства: четность (нечетность), периодичность;

- найти точки пересечения с осями координат;

- определить участки знакопостоянства.

2. Асимптоты:

- найти вертикальные асимптоты , если ;

- найти наклонные асимптоты: .

Если любое число, то – горизонтальные асимптоты.

3. Исследование с помощью :

- найти критические точки, те. точки в которых или не существует;

- определить интервалы возрастания, те. промежутки, на которых и убывания функции – ;

- определить экстремумы: точки, при переходе через которые меняет знак с «+» на «–», являются точками максимума, с «–» на «+» – минимума.

4. Исследование с помощью :

- найти точки, в которых или не существует;

- найти участки выпуклости, т.е. промежутки, на которых и вогнутости – ;

- найти точки перегиба, т.е. точки при переходе через которые меняет знак.

5. Построение графика функции.

Рекомендации по применению плана исследования функции:

1. Отдельные элементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения.

2. Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках.

3. Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.).

4. Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции.

2.4.2 Примеры исследования функции:

20. .

1)

2) Функция нечетная:

.

3) Асимптоты.

– вертикальные асимптоты, т.к.

Наклонная асимптота .

5)

– точка перегиба.

Схематичный график данной функции:

21.

1)

2) Функция нечетная:

3) Асимптоты: Вертикальных асимптот нет.

Наклонные:

– наклонные асимптоты

4) – функция возрастает.

5) ,

– точка перегиба.

Схематичный график данной функции:

22.

1)

2) Функция общего вида

3) Асимптоты

– наклонных асимптот нет

– горизонтальная асимптота при

4)

– точка перегиба

Схематичный график данной функции:

23.

1)

2) Асимптоты.

– вертикальная асимптота, т.к.

– наклонных асимптот нет

, – горизонтальная асимптота

Схематичный график данной функции:

24.

1)

2) Асимптоты

– вертикальная асимптота при , т.к.

– наклонных асимптот нет

, – горизонтальная асимптота

3) – функция убывает на каждом из промежутков.

Схематичный график данной функции:

2.4.3 Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке можно воспользоваться схемой:

1. Найти производную функции .

2. Найти критические точки функции, в которых или не существует.

3. Найти значение функции в критических точках, принадлежащих заданному отрезку и на его концах и выбрать из них наибольшее и наименьшее .

Пример. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на данном отрезке.

25. на промежутке

1)

2) – критические точки

3) ,

–

–

26. на промежутке .

Производная не существует при , но 1 не принадлежит данному промежутку. Функция убывает на промежутке , значит, наибольшего значения нет, а наименьшее значение .

2.5 Правило Лопиталя

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Т.е. при раскрытии неопределенностей вида или можно использовать формулу:

.

Примеры.

27.

28.

Глава 3. Интегрально исчисление

3.1 Неопределенный интеграл

3.1.1 Определения и свойства

Определение 1. Функция называется первообразной для , если .

Определение 2. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных для этой функции.

Обозначение: , где c - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла:

2. Дифференциал неопределенного интеграла:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала:

4. Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций:

;

1. Вынесение постоянного множителя за знак неопределенного интеграла:

3.1.2 Таблица интегралов

3.1.3 Основные методы интегрирования

1. Использование свойств неопределенного интеграла.

Пример 29.

1. Подведение под знак дифференциала.

Пример 30.

1. Метод замены переменной:

а) замена в интеграле

:

,

где - функция, интегрируемая легче, чем исходная; - функция, обратная функции ; - первообразная функции .

Пример 31.

б) замена в интеграле вида:

;

Пример 32.

Пример 33.

1. Метод интегрирования по частям:

Пример 34.

Пример 35.

Возьмем отдельно интеграл

Вернемся к нашему интегралу:

3.2 Определенный интеграл

3.2.1 Понятие определенного интеграла и его свойства

Определение. Пусть на некотором интервале задана непрерывная функция . Построим ее график.

Фигура, ограниченная сверху кривой , слева и справа прямыми и снизу отрезком оси абсцисс между точками a и b, называется криволинейной трапецией.

S – область – криволинейная трапеция.

Разделим интервал точками и получим:

Интегральная сумма:

Определение. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы.

Характеристики

Список файлов книги