85898 (597846), страница 2
Текст из файла (страница 2)
U∙[ K(0←x) ∙ Y(x) + Y*(0←x) ] = u,
[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙Y*(0←x) .
и
V∙Y(1) = v,
V∙[ K(1←x) ∙ Y(x) + Y*(1←x) ] = v,
[ V∙ K(1←x) ] ∙ Y(x) = v - V∙Y*(1←x) .
То есть получаем два матричных уравнения краевых условий, перенесенные в рассматриваемую точку x:
[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙Y*(0←x) ,
[ V∙ K(1←x) ] ∙ Y(x) = v - V∙Y*(1←x) .
Эти уравнения аналогично объединяются в одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для нахождения решения Y(x) в любой рассматриваемой точке x:
∙ Y(x) = 
.
В случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается следующий алгоритм.
Используем свойство перемножаемости матриц Коши:
K(x
←x) = K(x ←x
) ∙ K(x ←x
) ∙ … ∙ K(x
←x
) ∙ K(x ←x)
и запишем выражения для матриц Коши, например, в виде:
K(0←x) = K(0←x
) ∙ K(x ←x
) ∙ K(x
←x),
K(1←x) = K(1←x
) ∙ K(x ←x
) ∙ K(x ←x
) ∙ K(x ←x),
Тогда перенесенные краевые условия можно записать в виде:
[ U∙ K(0←x ) ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙Y*(0←x) ,
[ V∙ K(1←x ) ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x) ] ∙ Y(x) = v - V∙Y*(1←x)
или в виде:
[ U∙ K(0←x ) ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x) ] ∙ Y(x) = u* ,
[ V∙ K(1←x ) ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x) ] ∙ Y(x) = v* .
Тогда рассмотрим левое перенесенное краевое условие:
[ U∙ K(0←x ) ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x) ] ∙ Y(x) = u* ,
[ U∙ K(0←x ) ] ∙ { K(x ←x ) ∙ K(x ←x) ∙ Y(x) } = u* ,
[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор .
Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
[ U∙ K(0←x ) ]
∙ { K(x ←x ) ∙ K(x ←x) ∙ Y(x) } = u* .
Далее последовательно можно записать:
[[ U∙ K(0←x ) ] ∙ K(x ←x ) ] ∙ { K(x ←x) ∙ Y(x) } = u* ,
[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор .
Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
[[ U∙ K(0←x ) ] ∙ K(x ←x ) ] ∙ { K(x ←x) ∙ Y(x) } = u*
,
Далее аналогично можно записать:
[[[ U∙ K(0←x ) ] ∙ K(x ←x ) ] ∙ K(x ←x) ] ∙ { Y(x) } = u* ,
[ матрица ] ∙ { вектор} = вектор .
Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
[[[ U∙ K(0←x ) ] ∙ K(x ←x ) ] ∙ K(x ←x) ] ∙ Y(x) = u*
.
Аналогично можно проортонормировать матричное уравнение краевых условий и для правого края независимо от левого края.
Далее проортонормированные уравнения краевых условий:
[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x) = u* ,
[ V∙ K(1←x) ]
∙ Y(x) = v*
как и ранее объединяются в одну обычную систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для нахождения искомого вектора Y(x) :
∙ Y(x) = 
.
6 Метод дополнительных краевых условий
Этот метод еще не обсчитан на компьютерах.
Запишем на левом крае ещё одно уравнение краевых условий:
M ∙ Y(0) = m .
В качестве строк матрицы M можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры краевых условий левого края L или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, а в параметры краевых условий входит только половина физических параметров задачи. То есть, например, если рассматривается задача об оболочке ракеты, то на левом крае могут быть заданы 4 перемещения. Тогда для матрицы М можно взять параметры сил и моментов, которых тоже 4, так как полная размерность такой задачи – 8. Вектор m правой части неизвестен и его надо найти и тогда можно считать, что краевая задача решена, то есть сведена к задаче Коши, то есть найден вектор Y(0) из выражения:
∙ Y(0) = 
,
то есть вектор Y(0) находится из решения системы линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей коэффициентов, состоящей из блоков U и M.
Аналогично запишем на правом крае ещё одно уравнение краевых условий:
N ∙ Y(0) = n ,
где матрица N записывается из тех же соображений дополнительных линейно независимых параметров на правом крае, а вектор n неизвестен.
Для правого края тоже справедлива соответствующая система уравнений:
∙ Y(1) = 
.
Запишем Y(1) = K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) и подставим в последнюю систему линейных алгебраических уравнений:
∙ [ K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) ] = ,
∙ K(1←0) ∙Y(0) = - ∙ Y*(1←0),
∙ K(1←0) ∙Y(0) = 
,
∙ K(1←0) ∙Y(0) = 
.
Запишем вектор Y(0) через обратную матрицу:
Y(0) =
∙
и подставим в предыдущую формулу:
∙ K(1←0) ∙ ∙ = .
Таким образом, мы получили систему уравнений вида:
В ∙ = ,
где матрица В известна, векторы u и s известны, а векторы m и t неизвестны.
Разобьем матрицу В на естественные для нашего случая 4 блока и получим:
∙ = ,
откуда можем записать, что
В11 ∙ u + B12 ∙ m = s,
B21 ∙ u + B22 ∙ m = t.
Следовательно, искомый вектор m вычисляется по формуле:
m = B12
∙ (s – B11∙ u).
А искомый вектор n вычисляется через вектор t:
t = B21 ∙ u + B22 ∙ m,
n = t + N ∙ Y*(1←0).
В случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается выполнять поочередное построчное ортонормирование.
Запишем приведенную выше формулу
∙ K(1←0) ∙ ∙ =
в виде:
∙ K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ ∙ = .
Эту формулу можно записать в виде разделения левой части на произведение матрицы на вектор:
[ ∙ K(1←x2) ] ∙ { K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ ∙ } =
[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор
Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
[ ∙ K(1←x2) ] { K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ ∙ } = 
Здесь следует сказать, что подвектор t подвергать преобразованию не нужно, так как невозможно, так как его первоначальное значение не известно. Но подвектор t нам оказывается и не нужен для решения задачи.
Далее запишем:
[[ ∙ K(1←x2) ] ∙ K(x2←x1)] { K(x1←0) ∙ ∙ } =
[ матрица ] { вектор } = вектор
Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
[[ ∙ K(1←x2) ] K(x2←x1)] { K(x1←0) ∙ } = .
И так далее.
В результате поочередного ортонормирования получим:
В
∙ = ,
∙ = .
Следовательно, искомый вектор m вычисляется по формуле:
m = B12
∙ (s – B11 ∙ u).
7 Формула для начала счета методом прогонки С.К.Годунова
Эта формула обсчитана на компьютерах в кандидатской диссертации.
Рассмотрим проблему метода прогонки С.К.Годунова.
редположим, что рассматривается оболочка ракеты. Это тонкостенная труба. Тогда система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений будет 8-го порядка, матрица A(x) коэффициентов будет иметь размерность 8х8, искомая вектор-функция Y(x) будет иметь размерность 8х1, а матрицы краевых условий будут прямоугольными горизонтальными размерности 4х8.
Тогда в методе прогонки С.К.Годунова для такой задачи решение ищется в следующем виде:
Y(x) = Y (x) c + Y (x) c + Y
(x) c + Y
(x) c + Y*(x),
или можно записать в матричном виде:
Y(x) = Y
(x) ∙ c + Y*(x),
где векторы Y (x), Y (x), Y (x), Y (x) – это линейно независимые вектора-решения однородной системы дифференциальных уравнений, а вектор Y*(x) – это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.
Здесь Y (x)=|| Y (x), Y (x), Y (x), Y (x) || это матрица размерности 8х4, а c это соответствующий вектор размерности 4х1из искомых констант c ,c ,c ,c .
Но вообще то решение для такой краевой задачи с размерностью 8 (вне рамок метода прогонки С.К.Годунова) может состоять не из 4 линейно независимых векторов Y (x), а полностью из всех 8 линейно независимых векторов-решений однородной системы дифференциальных уравнений:
Y(x)=Y (x)c +Y (x)c +Y (x)c +Y (x)c +
+Y
(x)c +Y
(x)c +Y
(x)c +Y
(x)c +Y*(x),
И как раз трудность и проблема метода прогонки С.К.Годунова и состоит в том, что решение ищется только с половиной возможных векторов и констант и проблема в том, что такое решение с половиной констант должно удовлетворять условиям на левом крае (стартовом для прогонки) при всех возможных значениях констант, чтобы потом найти эти константы из условий на правом крае.
То есть в методе прогонки С.К.Годунова есть проблема нахождения таких начальных значений Y (0), Y (0), Y (0), Y (0), Y*(0) векторов Y (x), Y (x), Y (x), Y (x), Y*(x), чтобы можно было начать прогонку с левого края x=0, то есть чтобы удовлетворялись условия U∙Y(0) = u на левом крае при любых значениях констант c ,c ,c ,c .
Обычно эта трудность «преодолевается» тем, что дифференциальные уравнения записываются не через функционалы, а через физические параметры и рассматриваются самые простейшие условия на простейшие физические параметры, чтобы начальные значения Y (0), Y (0), Y (0), Y (0), Y*(0) можно было угадать. То есть задачи со сложными краевыми условиями так решать нельзя: например, задачи с упругими условиями на краях.
Ниже предлагается формула для начала вычислений методом прогонки С.К.Годунова.
Выполним построчное ортонормирование матричного уравнения краевых условий на левом крае:
U∙Y(0) = u,
где матрица U прямоугольная и горизонтальная размерности 4х8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
