85898 (597846), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

В результате получим эквивалентное уравнение краевых условий на левом крае, но уже с прямоугольной горизонтальной матрицей U размерности 4х8, у которой будут 4 ортонормированные строки:

U ∙Y(0) = u ,

где в результате ортонормирования вектор u преобразован в вектор u .

Как выполнять построчное ортонормирование систем линейных алгебраических уравнений можно посмотреть в [Березин, Жидков].

Дополним прямоугольную горизонтальную матрицу U до квадратной невырожденной матрицы W:

W = ,

где матрица М размерности 4х8 должна достраивать матрицу U до невырожденной квадратной матрицы W размерности 8х8.

В качестве строк матрицы М можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры левого края или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, то есть в данном случае их 8 штук и если 4 заданы на левом крае, то ещё 4 можно взять с правого края.

Завершим ортонормирование построенной матрицы W, то есть выполним построчное ортонормирование и получим матрицу W размерности 8х8 с ортонормированными строками:

W = .

Можем записать, что

Y (0) = (М )транспонированная = М .

Тогда, подставив в формулу метода прогонки С.К.Годунова, получим:

Y(0) = Y (0) ∙с + Y*(0)

или

Y(0) = М ∙с + Y*(0).

Подставим эту последнюю формулу в краевые условия U ∙Y(0) = u и получим:

U ∙ [ М ∙с + Y*(0) ]= u .

Отсюда получаем, что на левом крае константы c уже не на что не влияют, так как

U ∙ М = 0 и остается только найти Y*(0) из выражения:

U ∙ Y*(0) = u .

Но матрица U имеет размерность 4х8 и её надо дополнить до квадратной невырожденной, чтобы найти вектор Y*(0) из решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений:

∙ Y*(0) = ,

где 0 – любой вектор, в том числе вектор из нулей.

Отсюда получаем при помощи обратной матрицы:

Y*(0) = ∙ ,

Тогда итоговая формула для начала вычислений методом прогонки С.К.Годунова имеет вид:

Y(0) = М ∙с + ∙ .

8 Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К.Годунова

Этот алгоритм обсчитан на компьютерах в кандидатской диссертации.

Этот алгоритм требует дополнения матрицы краевых условий U до квадратной невырожденной:

Начальные значения Y (0), Y (0), Y (0), Y (0), Y*(0) находятся из решения следующих систем линейных алгебраических уравнений:

∙ Y*(0) = ,

∙ Y (0) = , где i = , , , ,

где 0 – вектор из нулей размерности 4х1.

9 Замена метода численного интегрирования Рунге-Кутта в методе прогонки С.К.Годунова

Эта замена формул Рунге-Кутта на формулу теории матриц обсчитана на компьютерах в кандидатской диссертации.

В методе С.К.Годунова как показано выше решение ищется в виде:

Y(x) = Y (x) ∙ c + Y*(x).

На каждом конкретном участке метода прогонки С.К.Годунова между точками ортогонализации можно вместо метода Рунге-Кутта пользоваться теорией матриц и выполнять расчет через матрицу Коши:

Y (x ) = K(x - x ) ∙Y (x ).

Так выполнять вычисления быстрее, особенно для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

И аналогично через теорию матриц можно вычислять и вектор Y*(x) частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений. Или для этого вектора отдельно можно использовать метод Рунге-Кутта, то есть можно комбинировать теорию матриц и метод Рунге-Кутта.

10 Метод половины констант

Этот метод пока не обсчитан на компьютерах.

Выше было показано, что решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений можно искать в виде только с половиной возможных векторов и констант. Была приведена формула для начала вычислений:

Y(0) = М ∙с + ∙ .

Из теории матриц известно, что если матрица ортонормирована, то её обратная матрица есть её транспонированная матрица. Тогда последняя формула приобретает вид:

Y(0) = М ∙с + U ∙u

или

Y(0) = U ∙u + М ∙с

или

Y(0) = ∙ ,

Таким образом записана в матричном виде формула для начала счета с левого края, когда на левом крае удовлетворены краевые условия.

Далее запишем V∙Y(1) = v и Y(1) = K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) совместно:

V∙ [ K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) ] = v

V∙ K(1←0) ∙Y(0) = v - V∙Y*(1←0)

и подставим в эту формулу выражение для Y(0):

V∙ K(1←0) ∙ ∙ = v - V∙Y*(1←0).

V∙ K(1←0) ∙ ∙ = p.

Таким образом мы получили выражение вида:

D ∙ = p,

где матрица D имеет размерность 4х8 и может быть естественно представлена в виде двух квадратных блоков размерности 4х4:

∙ = p.

Тогда можем записать:

D1∙ u + D2 ∙ c = p.

Отсюда получаем, что:

c = D2 ∙ ( p - D1∙ u )

Таким образом, искомые константы найдены.

Далее показано как применять этот метод для решения «жестких» краевых задач.

Запишем

V∙ K(1←0) ∙ ∙ = p.

совместно с K(1←0) = K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) и получим:

V∙ K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ ∙ = p.

Эту систему линейных алгебраических уравнений можно представить в виде:

[ V∙ K(1←x2) ] ∙ { K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ ∙ } = p.

[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор

Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:

[ V∙ K(1←x2) ] {K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ } =p .

И так далее.

В итоге поочередного вычленений матриц слева из вектора и ортонормирования получим систему:

D ∙ = p ,

Отсюда получаем, что:

c = D2 ∙ (p - D1 ∙ u )

Таким образом, искомые константы найдены.

11 Применяемые формулы ортонормирования

Эти формулы обсчитаны в кандидатской диссертации.

Взято из: Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, том II, Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1962 г. 635 стр.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений порядка n:

А = .

Здесь над векторами поставим черточки вместо их обозначения жирным шрифтом.

Будем рассматривать строки матрицы А системы как векторы:

=( , ,…, ).

Ортонормируем эту систему векторов.

Первое уравнение системы А = делим на .

При этом получим:

+ +…+ = , =( , ,…, ),

где = , = , =1.

Второе уравнение системы заменяется на:

+ +…+ = , =( , ,…, ),

где = , = ,

= -( , ) , = -( , ) .

Аналогично поступаем дальше. Уравнение с номером i примет вид:

+ +…+ = , =( , ,…, ),

где = , = ,

= -( , ) -( , ) -…-( , ) ,

= -( , ) -( , ) -…-( , ) .

Процесс будет осуществим, если система линейных алгебраических уравнений линейно независима.

В результате мы придем к новой системе С = , где матрица С будет с ортонормированными строками, то есть обладает свойством С*С = E, где Е – это единичная матрица.

(Таким образом, решение системы можно записать в виде = С .)

12 Вывод формул, позаимствованный из «Теории матриц» Гантмахера

Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид:

Y (x) = A Y(x) + F(x). (1)

Разложим Y(x) в ряд Маклорена по степеням x:

Y(x)=Y + Y x + Y x /2! + …, где Y =Y(0), Y = Y (0), … (2).

Из (1) почленным дифференцированием при А=const и F(x)=0 получим:

Y = AY = A Y, Y = A Y = A Y, (3)

Положив в (3) x=0 и подставив в (2) получим:

Y(x) = Y + Ax Y + A x /2! Y + … = e Y , (4)

где e = E + Ax + A x /2! + …, где Е – единичная матрица. (5)

Если принять x=x , то (4) заменится на

Y(x) = e Y(x ), (6)

Рассмотрим случай A=const и F≠0.

Введем в рассмотрение вектор-функцию Ya(x) в виде: Y(x)= e Ya(x). (7)

Продиффренцируем (7) и подставим в (1). Получим:

e Ya (x) = F(x). (8)

При получении (8) учитывалось, что:

= = A + A x + A x /2! + … = A e .

Из (8) следует, что:

Ya(x) = c + . (9)

Подставим в (7) и получаем:

Y(x) = e c + e . (10)

Положив x=x в (10) получим:

c = e Y(x ). (11)

Окончательно получаем:

Y(x) = e Y(x ) + e . (12)

Мой отец предложил использовать и другую (гораздо более эффективную по времени счета) матричную формулу вместо матричной экспоненты – что-то на основе Вольтерра. Это есть в статье в журнале «Математическое моделирование»:

Численный метод переноса краевых условий для жестких дифференциальных уравнений строительной механики Журнал "ММ", Том: 14 (2002), Номер: 9, 3 стр. 1409-003r.pdf

Я тут как-то на днях поговорил с отцом и вот что любопытное насчет метода выяснилось.

Когда я сам решал своим методом «переноса краевых условий» «жесткие» краевые задачи, то я в каждой рассматриваемой точке x=x* решал соответствующую систему линейных алгебраических уравнений для нахождения решения Y(x*) в каждой рассматриваемой точке x=x*.

А мой отец утверждает, что «жесткими» бывают только краевые задачи, а начальные задачи «жесткими» не бывают. И поэтому он находил решение Y(x*) в какой-то одной точке x=x* по моему методу, а дальше решал (влево и вправо от рассматриваемой точки x=x*) как задачу Коши (от найденных начальных условий Y(x*) в этой одной точке): Y(x)=K(х←x*)·Y(x*)+Y*(x←x*). И если это так, то так решать, естественно, гораздо быстрее, так как надо только домножать на матрицу Коши (матрициант, матричную экспоненту) вместо решения систем линейных алгебраических уравнений.

Характеристики

Список файлов книги