85898 (597846)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

54

Методы решения краевых задач, в том числе «жестких» краевых задач

Методы Алексея Юрьевича Виноградова

1 Введение

На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных).

Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:

Y (x) = A(x) ∙ Y(x) + F(x),

где Y(x) – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1, Y (x) – производная искомой вектор-функции размерности 8х1, A(x) – квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8, F(x) – вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.

Здесь и далее вектора обозначаем жирным шрифтом вместо черточек над буквами

Краевые условия имеют вид:

U∙Y(0) = u,

V∙Y(1) = v,

где

Y(0) – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1, U – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8, u – вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,

Y(1) – значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1, V – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, v – вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами A=const, решение задачи Коши имеет вид [Гантмахер]:

Y(x) = e ∙ Y(x ) + e ∙ e ∙ F(t) dt,

где

e = E + A(x-x ) + A (x-x ) /2! + A (x-x ) /3! + …,

где E это единичная матрица.

Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или матрициантом и может обозначаться в виде:

K(x←x ) = K(x - x ) = e .

Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:

Y(x) = K(x←x ) ∙ Y(x ) + Y*(x←x ) ,

где Y*(x←x ) = e ∙ e ∙ F(t) dt это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

2 Случай переменных коэффициентов

Этот вариант рассмотрения переменных коэффициентов проверялся в кандидатской диссертации.

Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):

e = e ∙ e ∙ … ∙ e ∙ e ,

K(x ←x ) = K(x ←x ) ∙ K(x ←x ) ∙ … ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x ).

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами A=A(x), решение задачи Коши предлагается искать при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:

K(x ←x ) = K(x ←x ) ∙ K(x ←x ) ∙ … ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x ),

где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:

K(x ←x ) = e , где ∆x = x - x .

3 Формула для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений

Эта очень простая формула еще не обсчитана на компьютерах. Вместо неё обсчитывалась значительно ранее выведенная и гораздо более сложная формула, приведенная в:

Численный метод переноса краевых условий для жестких дифференциальных уравнений строительной механики Журнал "ММ", Том: 14 (2002), Номер: 9, 3 стр. 1409-003r.pdf

Вместо формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений в виде [Гантмахер]:

Y*(x←x ) = e ∙ e ∙ F(t) dt

предлагается использовать следующую формулу для каждого отдельного участка интервала интегрирования и тогда вектор частного решения на всем интервале будет складываться из векторов, вычисленных по формуле:

Y*(x ←x ) = Y*(x - x ) = K(x - x ) ∙ K(x - t) ∙ F(t) dt .

Правильность приведенной формулы подтверждается следующим:

Y*(x - x ) = e ∙ e ∙ F(t) dt ,

Y*(x - x ) = e ∙e ∙ F(t) dt ,

Y*(x - x ) = e ∙ F(t) dt ,

Y*(x - x ) = e ∙ F(t) dt ,

Y*(x - x ) = e ∙ e ∙ F(t) dt ,

Y*(x←x ) = e ∙ e ∙ F(t) dt,

что и требовалось подтвердить.

Вычисление вектора частного решения системы дифференциальных уравнений производиться при помощи представления матрицы Коши под знаком интеграла в виде ряда и интегрирования этого ряда поэлементно:

Y*(x ←x ) = Y*(x - x ) = K(x - x ) ∙ K(x - t) ∙ F(t) dt =

= K(x - x ) ∙ (E + A(x - t) + A (x - t) /2! + … ) ∙ F(t) dt =

= K(x - x ) ∙ (E F(t) dt + A∙ (x - t) ∙ F(t) dt + A /2! ∙ (x - t) ∙ F(t) dt + … ) .

Эта формула справедлива для случая системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов A=const.

Для случая переменных коэффициентов A=A(x) можно использовать прием разделения участка (x - x ) интервала интегрирования на малые подучастки, где на подучастках коэффициенты можно считать постоянными A(x )=const и тогда вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений Y*(x ←x ) будет на участке складываться из соответствующих векторов подучастков, на которых матрицы Коши приближенно вычисляются при помощи формул с постоянными матрицами в экспонентах.

4 Метод «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования

Метод обсчитан на компьютерах. По нему уже сделано 3 кандидатских физ-мат диссертации.

Метод подходит для любых краевых задач. А для «жестких» краевых задач показано, что метод считает быстрее, чем метод С.К.Годунова до 2-х порядков (в 100 раз), а для некоторых «жестких» краевых задач не требует ортонормирования вовсе. Смотри:

Численный метод переноса краевых условий для жестких дифференциальных уравнений строительной механики
Журнал "ММ", Том: 14 (2002), Номер: 9, 3 стр. 1409-003r.pdf

Полное решение системы дифференциальных уравнений имеет вид

Y(x) = K(x←x ) ∙ Y(x ) + Y*(x←x ) .

Или можно записать:

Y(0) = K(0←x ) ∙ Y(x ) + Y*(0←x ) .

Подставляем это выражение для Y(0) в краевые условия левого края и получаем:

U∙Y(0) = u,

U∙[ K(0←x ) ∙ Y(x ) + Y*(0←x ) ] = u,

[ U∙ K(0←x ) ] ∙ Y(x ) = u - U∙Y*(0←x ) .

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x :

U ∙ Y(x ) = u ,

где U = [ U∙ K(0←x ) ] и u = u - U∙Y*(0←x ) .

Далее запишем аналогично

Y(x ) = K(x ←x ) ∙ Y(x ) + Y*(x ←x )

И подставим это выражение для Y(x ) в перенесенные краевые условия точки x

U ∙ Y(x ) = u ,

U ∙ [ K(x ←x ) ∙ Y(x ) + Y*(x ←x ) ] = u ,

[ U ∙ K(x ←x ) ] ∙ Y(x ) = u - U ∙ Y*(x ←x ) ,

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x :

U ∙ Y(x ) = u ,

где U = [ U ∙ K(x ←x ) ] и u = u - U ∙ Y*(x ←x ) .

И так в точку x переносим матричное краевое условие с левого края и таким же образом переносим матричное краевое условие с правого края и получаем:

U ∙ Y(x ) = u ,

V ∙ Y(x ) = v .

Из этих двух матричных уравнений с прямоугольными горизонтальными матрицами коэффициентов очевидно получаем одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов:

∙ Y(x ) = .

А в случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается применять построчное ортонормирование матричных краевых условий в процессе их переноса в рассматриваемую точку. Для этого формулы ортонормирования систем линейных алгебраических уравнений можно взять в [Березин, Жидков].

То есть, получив

U ∙ Y(x ) = u ,

применяем к этой группе линейных алгебраических уравнений построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:

U ∙ Y(x ) = u .

И теперь уже в это проортонормированное построчно уравнение подставляем

Y(x ) = K(x ←x ) ∙ Y(x ) + Y*(x ←x ) .

И получаем

U ∙ [ K(x ←x ) ∙ Y(x ) + Y*(x ←x ) ] = u ,

[ U ∙ K(x ←x ) ] ∙ Y(x ) = u - U ∙ Y*(x ←x ) ,

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x :

U ∙ Y(x ) = u ,

где U = [ U ∙ K(x ←x ) ] и u = u - U ∙ Y*(x ←x ) .

Теперь уже к этой группе линейных алгебраических уравнений применяем построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:

U ∙ Y(x ) = u .

И так далее.

И аналогично поступаем с промежуточными матричными краевыми условиями, переносимыми с правого края в рассматриваемую точку.

В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов, состоящую из двух независимо друг от друга поэтапно проортонормированных матричных краевых условий, которая решается любым известным методом для получения решения Y(x ) в рассматриваемой точке x :

∙ Y(x ) = .

5 Второй вариант метода «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования

Этот вариант метода еще не обсчитан на компьютерах.

Предложено выполнять интегрирование по формулам теории матриц [Гантмахер] сразу от некоторой внутренней точки интервала интегрирования к краям:

Y(0) = K(0←x) ∙ Y(x) + Y*(0←x) ,

Y(1) = K(1←x) ∙ Y(x) + Y*(1←x) .

Подставим эти формулы в краевые условия и получим:

U∙Y(0) = u,

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги