85765 (597825), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Практично розроблено три способи визначення оцінок: метод моментів; метод максимальної правдоподібності (ММП); метод найменших квадратів (МНК).
В методі моментів значення теоретичних моментів заміняють значеннями емпіричних моментів, які обчислюють за результатами статистичних рядів чи статистичної сукупності.
В методі максимальної правдоподібності (ММП), розробленого Р. Фішером розглядають значення випадкових величин Х1, Х2, ..., Х3, що отримані при проведенні дослідів і використовують їх для визначення невідомого параметра а. Якщо щільність розподілу 
(х, а) залежить від параметра а, то в ММП задаються правдоподібною функцією, виходячи з того, що всі Х1 незалежні. Сутність ММП полягає в тому, що за якісну оцінку параметра а беруть таке значення аргументу, яке приводить функцію L до максимуму. Рівняння розв'язують за умови
При цьому вибирають таке визначення а, яке зводить функцію Ь до максимуму. Для спрощення функцію правдоподібності заміняють логарифмом, тоді
РОЗДІЛ 5. СТАТИСТИЧНА ПЕРЕВІРКА ГІПОТЕЗ
1. Статистичні дослідження рядів вимірів
Навколишнє середовище, явища природи, закони фізики та інших наук вивчають шляхом випробувань, в результаті яких отримують випадкові величини або статистичний ряд x1, x2, …, xn. Одночасно може досліджуватися декілька явищ. При цьому отримують декілька статистичних рядів або сукупностей випадкових величин.
Залежно від процесів, що відбуваються при випробуваннях, кожен статистичний ряд підпорядковується тому чи іншому закону розподілу. Його можна визначити шляхом математичної обробки вимірів.
Для отримання надійних результатів і обгрунтованих рішень при математичній обробці результатів експериментів необхідно знати закони розподілу статистичних рядів. Знання закону розподілу необхідно і для застосування методів обробки вимірів.
Всяке передбачення про закон розподілу випадкових величин називають статистичною гіпотезою.
Статистична перевірка гіпотез полягає у визначенні закону розподілу результатів експериментів. Висунуту гіпотезу називають нульовою гіпотезою.
В результаті статистичної перевірки для нульової гіпотези визначають статистику Q. Перевірка нульової гіпотези базується на теорії надійних інтервалів та способах перевірки статистичних гіпотез.
За принципом практичної впевненості для висунутої нульової гіпотези визначають теоретичне значення статистики Qq. Його визначають за таблицями різних критеріїв перевірки по заданій імовірності p або рівнях значимості q = 1 - р. В разі, коли 
нульова гіпотеза приймається. В протилежному випадку вона не підтверджується, тобто відкидається.
Статистична перевірка може виконуватися одним і більше критеріями (методами). При цьому може виникнути дві помилки:
1. Бракування правильної гіпотези. Уникнути її можна підвищенням значення ймовірності р або зниженням рівня значності q.
2. Прийняття неправильної гіпотези. Уникнути її можна застосуванням різних критеріїв перевірки.
Ймовірність прийняття нульової гіпотези підвищується зі збільшенням кількості випробувань і практично надійна, коли 
. Надійність перевірки статистичної гіпотези висока при достатньо великій імовірності бракування неправильної гіпотези. Важливе значення має і вибір критерію перевірки.
При математичній обробці геодезичних вимірів найбільш поширені такі перевірки статистичних гіпотез:
1. Визначення систематичної (або постійної) похибки
Залежність від умов експерименту може виконуватися такими способами:
а) систематичні похибки значно спотворюють результат і можуть призвести до недоброякісних оцінок. Систематична похибка може визначатися на компараторі розміром X і в результаті експериментів буде отримано статистичний ряд x1, x2, …, xn
При обробці за формулою визначають середнє арифметичне X і обчислюють різницю
За формулою визначають середню квадратичну похибку окремого виміру m та обчислюють середню квадратичну похибку середнього арифметичного X за формулою
Обчислюють статистику
2. Визначення граничних похибок.
При математичній обробці результатів вимірів слід виключати із обробки грубі помилки. Методика вимірювань дозволяє своєчасно виключити "промахи" при яких окремі результати значно відрізняються від інших. Разом з тим в статистичному ряду вимірів можуть бути результати вимірів, які досить близькі між собою, але за вимогами точності або технології виконання робіт будуть грубими. Тому поняття "груба помилка" досить умовне і залежить від прийнятої надійної ймовірності.
При визначенні цільності нормованого нормального закону розподілу користувалися нормованими похибками
де 
- похибка виміру; m - середня квадратична похибка.
При визначених умовах вимірів завжди існує деяка гранична похибка 
, яку не можуть перевищити випадкові похибки. Тоді за функцією Лапласа нормованого нормального закону розподілу можна визначити інтервал zg, залежність від рівня значності q.
2. Перевірка закону розподілу статистичних рядів
Важливе значення при математичній обробці геодезичних вимірів має знання закону розподілу результатів або похибок вимірів. Найкращі оцінки отримують, коли ряд вимірів підпорядковується нормальному закону розподілу. Однак, практично комплекс умов постійно дещо змінюється. В наслідок цього виникає відхилення закону розподілу результатів вимірів від теоретичного значення функцій розподілу.
Практично на основі тих чи інших відомостей висувають припущення або ("нульову") гіпотезу про вид закону розподілу статистичного ряду, створеного за результатами вимірів. Шляхом застосування різних критеріїв перевірки визначають, чи є допустимим розходження між дослідним і теоретичним (передбачуваним) законом розподілу.
Враховуючи, що результати геодезичних вимірів, як правило, підпорядковуються нормальному закону розподілу при дотриманні "комплексу умов" або вимог нормативно-технічної документації, розглянемо ряд критеріїв повірки відповідності нормальному закону розподілу результатів вимірів:
1. Перевірка по асиметрії і ексцесу
Гіпотезу про нормальний закон розподілу статистичного ряду називають нульовою або основною. Маємо статистичний ряд x1, x2, …, xn і висунута гіпотеза, що він підпорядковується нормальному закону розподілу (НЗР). За формулами можна визначити числові характеристики НЗР: математичне сподівання або середнє арифметичне, дисперсію, середню квадратичну похибку, асиметрію Sk та ексцес Еk.
Скористаємося тим, що асиметрія Sk та ексцес Еk є числовими характеристиками, що характеризують ступінь відхилення досліджуваного розподілу від теоретичного НЗР. Вони, як і інші параметри НЗР є випадковими величинами, а тому можуть відхилятися від нуля.
Мірою точності асиметрії та ексцесу є дисперсії
При великій кількості вимірів відповідно маємо
При великій кількості вимірів маємо:
2. Критерій Колмогорова
Це найбільш простий критерій перевірки гіпотези про нормальний закон розподілу. Використовується різниця D між статистичною інтегральною функцією розподілу 
(z) і відповідною теоретичною функцією розподілу F(z).
При невеликій кількості вимірів 
для статистичного розрахунку обчислюють: середнє арифметичне 
, відхилення 
, за формулою Бесселя середню квадратичну похибку m. Далі обчислюють нормовані похибки 
і складають зростаючий ряд Zmin, Z1, Z2, … Zmax.
3. Критерій x2 (Пірсона)
В математичній статистиці його вважають найбільш строгим і надійним критерієм погодження нульових гіпотез. Він забезпечує мінімальну ймовірність виникнення похибок 2-го роду.
Розрахунки в критерії Пірсона аналогічні критерію Колмогорова і пов'язані з групуванням нормованих похибок. Слід пам'ятати, що при групуванні похибок в кожному інтервалі їх повинно бути не менше п'яти. Тому крайні інтервали можна штучно об'єднувати (збільшувати). Число інтервалів повинно бути не менше чотирьох.
Критерієм перевірки нульової гіпотези є статистика
,
де N= [vi] - число всіх вимірів, pi - теоретичне значення ймовірності вибраних інтервалів вибирається із таблиць.
В критерії Пірсона доведено, що при нормальному розподілі похибок вимірів статистика X2 має X2 - розподіл з числом ступенів вільності k = n – 1.
Критична область для нульової гіпотези буде
де %д - вибирається із таблиць дод. 9 за заданими д\ і г = & — З, &- кількість інтервалів.
2. Розподіл імовірностей випадкових похибок
Результати вимірів е випадковими оскільки передбачити їх величину неможливо. Тоді і їх похибки будуть випадковими і для них можна вказати лише межу, в яких вони змінюються згідно з першою властивістю.
Неперервні випадкові похибки можна характеризувати законом розподілу, як об'єктивно існуючим зв'язком між випадковими величинами і їх імовірностями.
При багаторазових випробуваннях закон розподілу ряду істинних випадкових похибок можна характеризувати функціями:
1. Інтегральною функцією розподілу
(
)
2. Функцією щільності
де 
- приріст випадкової похибки 
.
Звернемося до постулату Гаусса, згідно з яким найбільш імовірним значенням шуканої величини є середнє арифметичне Із результатів повторних вимірювань. Скористаємося теоремою:
Якщо випадкові похибки відповідають постулату Гаусса, то законом розподілу випадкових похибок буде нормальний закон. В методі максимальної правдоподібності Фішера також доведено, що для нормального закону розподілу випадкових величин оцінкою параметра 
є середнє арифметичне.
Функція щільності нормального розподілу випадкових похибок визначиться за формулою
Для нормованих похибок 
отримаємо
3. Числові характеристики рівноточних вимірів
Рівноточними, називають виміри, дисперсії яких рівні між собою, тобто 
. Тому рівноточні виміри можна виразити статистичним рядом
( )
Якщо невідоме істинне значення вимірюваної величини Х, то необхідно знайти значення близьке до істинного. Його називають дійсним, або ймовірним значенням виміряної величини. Воно може бути прийнятим, коли точність вимірів задовольняє поставленим вимогам, або - відхилене. Тому постає задача обчислення за результатами вимірів показників як розміру шуканої величини, так і її точності, їх називають числовими характеристиками. В теорії похибок вимірів до числових характеристик відносять:
1. Середнє арифметичне
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
