85765 (597825), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

1. Щільність розподілу невід'ємна, тобто

2. Функція розподілу випадкової величини дорівнює інтегралу від функції щільності в інтервалі від - до х

3. Ймовірність попадання неперервної випадкової величини X на відрізку ( ) дорівнює інтегралу від функції щільності розподілу, взятому за кінцевими значеннями цього відрізка

Геометричний зміст цього результату полягає в тому, що ймовірність появи випадкової величини в інтервалі від до дорівнює площі криволінійної трапеції.

4. Інтеграл в нескінченних межах від - до + дорівнює одиниці

Ймовірність попадання випадкової величини X на елементарний інтервал dx з точністю до нескінченно малих вищого порядку чим х дорівнює (х) dх, (так як ). Геометричний зміст цього виявляється в тому, що це є площа елементарного прямокутника з висотою (х) і основою dх. Величина називається елементом імовірності.

3. Числові характеристики випадкових величин

Закон розподілу повністю характеризує випадкову величину з точки зору ймовірності її появи в будь-якому інтервалі числової осі 0х. Разом з тим при вирішенні великої кількості практичних задач достатньо знати тільки деякі характерні риси закону розподілу. В теорії ймовірностей їх називають числовими характеристиками випадкової величини X. Вони в досить стислому вигляді характеризують той чи інший закон розподілу.

Властивості випадкової величини X характеризують параметри: математичне сподівання, мода, медіана, дисперсія, середнє квадратичне відхилення та стандарт. Більш узагальненими основними характеристиками випадкових величин є моменти випадкової величини.

1. Математичне сподівання

Якщо дискретна випадкова величина X володіє можливими значеннями х₁, Х₂,..., х_n з імовірностями p₁,p₂, p_n то математичне сподівання випадкової величини X визначається за формулою

де , так як поява однієї із можливих подій є достовірна подія.

Якщо випадкова величина X має нескінченне число можливих значень, то

Математичним сподіванням випадкової величини X називається сума добутку всіх можливих значень випадкової величини на ймовірності цих значень.

Математичним сподіванням неперервної випадкової величини X, можливі значення якої належать відрізку [а, в], називають визначений інтеграл

а де (х) - щільність імовірності розподілу випадкової величини.

Математичне сподівання має ту ж розмірність, що і випадкова величина, та має властивості:

1. Математичне сподівання постійної величини дорівнює величині постійної, тобто М(С) = С.

2. Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання М(СХ) = СМ_Х.

3. Математичне сподівання суми декількох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань M (x+y+…+k) = M_x + M_y + … + M_k

4. Математичне сподівання добутку декількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань

Математичне сподівання може бути як додатнім, так і від'ємним.

Відомо, що для повної групи подій .

Таким чином, виявляється механічна інтерпретація математичного сподівання. Воно буде абсцисою центру тяжіння системи матеріальних точок.

Якщо ймовірності появи випадкових величин x_і тобто

де X - середнє арифметичне значення випадкової величини.

Це означає, що математичне сподівання приблизно дорівнює середньому арифметичному значенню випадкової величини. Воно буде тим точніше, чим більше буде проведено дослідів.

2) Мода і медіана випадкової величини

Модою Мо дискретної випадкової величини називають таке її значення, що має найбільшу ймовірність.

Практично, якщо маємо дискретний ряд розподілу, то знаходимо таке k-е значення випадкової величини х, що має найбільшу величину ймовірності P_n(k).

Для неперервної випадкової величини модою буде таке її значення, що має максимум щільності розподілу, тобто (Мо) = mах.

Якщо многокутник розподілу або крива розподілу має два або більше максимумів, то такий розподіл називають двохмодальним чи багатомодальним.

Медіаною Ме випадкової величини X називають таке її значення, відносно якого ймовірність появи як більшого, так і меншого значення випадкової величини X має приблизно однакову ймовірність, тобто

Геометрична медіана - це абсциса точки, де площа кривої розподілу розділяється наполовину. Тоді функція розподілу в точці Ме дорівнює математичне сподівання, мода і медіана збігаються, тобто

3) Дисперсія і середнє квадратичне відхилення

Очевидно, що величину розсіювання для кожної випадкової величини від математичного сподівання можна обчислити, тобто

Величину називають центрованою випадковою величиною. Так як імовірність появи центрованих випадкових величин X справа і зліва від Мх однакова, то її математичне сподівання дорівнює нулю і не може характеризувати розсіювання її значень. Тому якістю міри розсіювання X беруть математичне сподівання від квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання і називають його дисперсією.

Дисперсією випадкової величини є математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання, тобто

Для дискретної випадкової величини дисперсія матиме вигляд суми

для неперервної це буде інтеграл

Дисперсія має розмірність квадрата розмірності випадкової величини, що не зовсім зручно. Тому для характеристики міри розсіювання випадкової величини приймають додатковий квадратичний корінь із дисперсії. Цю характеристику називають середнім квадратичним відхиленням або стандартам і позначають символом

Стандарт має таку саму розмірність, як і випадкова величина X. Дисперсія має такі властивості:

1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю D (C) = 0.

2. Дисперсія добутку постійної величини на випадкову величину дорівнює добутку квадрата постійної величини на дисперсію випадкової величини D(CX) = C²D_x

Якщо маємо декілька таких добутків, то

3. Дисперсія випадкової величини дорівнює математичному сподіванню її квадрата мінус квадрат її математичного сподівання

4). Моменти випадкової величини

Узагальненням основних числових характеристик випадкових величин є моменти випадкової величини. Визначають початкові та центральні моменти.

Початковим моментом k-го порядку випадкової величини X^k називають математичне сподівання від величини X , тобто

Для дискретної випадкової величини початковий момент буде

для неперервної

При порівняні формул видно, що початковий момент першого порядку є математичне сподівання випадкової величини, тобто = М_х.

Центральним моментом k-го порядку випадкової величини X називають математичне сподівання від величини (X-M_x)^k

Очевидно, що центральний момент першого порядку завжди буде дорівнювати нулю.

5) Асиметрія та ексцес.

Третій центральний момент служить характеристикою асиметрії (скошеність) розподілу. Якщо = 0, то ми маємо симетричний розподіл випадкової величини відносно математичного сподівання.

Асиметрія — це відношення третього центрального моменту до середнього квадратичного відхилення в третьому степені

Математичне сподівання, мода, медіана, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, моменти, асиметрія і ексцес використовують для характеристики випадкових величин при вирішенні великої кількості практичних задач, коли закон розподілу або не потрібний, або його не можна визначити. Треба пам'ятати, що кожна із числових характеристик відображає ту чи іншу властивість закону розподілу.

Центральні моменти можна виразити через початкові моменти

4. Нормальний закон розподілу випадкових величин

Нормальний закон розподілу випадкових величин має важливе значення в теорії ймовірностей і найчастіше зустрічається на практиці. Головна його властивість полягає в тому, що серед інших законів він є граничним законом, до якого наближуються інші закони розподілу в досить частих подібних типових умовах. Доведено, що більшість випадкових величин, якому б закону розподілу не підкорялися, в сумі великого числа додатних нівелюються, а сума їх підкоряється закону досить близькому до нормального закону. Це твердження відноситься і до результатів геодезичних вимірів.

Неперервна випадкова величина має нормальний розподіл, якщо щільність імовірності має рівняння

де е = 2,718..., = 3,141..., М_х - математичне сподівання, — середнє квадратичне відхилення (стандарт). М_х та називають параметрами нормального закону розподілу. Якщо відомі значення М_х і , то щільність імовірності повністю визначена.

Відмітимо деякі властивості кривої нормального розподілу:

1. Крива розподілу симетрична відносно ординати, яка проходить через точку М_х.

2. Крива має один максимум при х = М_х і дорівнює

3. При гілки кривої асимптотично наближаються до осі О_х

4. Якщо , то зміна значення математичного сподівання М_х призводить до зміщення кривої розподілу вздовж осі Ох.

5. При і зміні величини середнього квадратичного відхилення крива розподілу стає більш гостроверхою або плосковерхою.

При вирішенні практичних задач, нормальний розподіл відіграє важливу роль. Якщо випадкова величина X підкоряється нормальному закону розподілу, то ймовірність її попадання на ділянку ( ) дорівнює

Згідно з четвертою та п'ятою властивостями для різних випадкових величин X буде своя крива розподілу. Щоб уникнути цього визначають нормований нормальний закон розподілу. Вводять нормовану випадкову величину t

,

для якої математичне сподівання , а квадратичне відхилення .

Інтеграл не можна виразити через елементарні функції. Тому його обчислюють через спеціальну функцію, що є визначеним інтегралом від величини (інтеграл імовірностей.

Іноді приводять таблицю функції 2 (t) для обчислення ймовірності попадання нормально розподіленої випадкової величини X в симетричні інтервали від -t до t.

Характеристики

Список файлов книги