63563 (597597), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Отсюда следует, что замкнутые линии вектора магнитной индукции возникают не только вокруг вектора плотности тока проводимости (т.е. вокруг траектории движущихся электрических зарядов), но и вокруг силовых линий

, если E меняется во времени.

Число уравнений Максвелла было сокращено Г.Герцем и О.Хевисайдом, по сравнению с тем, что было написано в трактате, они привели их к современному компактному виду. В настоящее время принята следующая запись уравнений Максвелла..

Дифференциальная формаИнтегральная форма

; ;

; ;

; ;

; .

Здесь Iпр - ток проводимости:

,

где в правой части – интеграл по замкнутой поверхности S от скалярного произведения векторов и ; ρ - плотность электрического заряда q:

.

Ротор и дивергенция векторов

Ротор вектора – это вектор, который в декартовой системе координат может быть записан в виде определителя:

,

где , , - векторы величиной 1, направленные по осям x, y, z; Hx, Hy, Hz - проекции вектора на оси координат.

Дивергенция вектора – это скалярная величина, вычисляемая в декартовой системе координат по формуле

где , , – проекции вектора на соответствующие оси.

Геометрический смысл уравнений Максвелла в дифференциальной форме следующий. Ротор вектора – это ось, вокруг которой закручиваются замкнутые линии соответствующего поля. Из первого уравнения Максвелла следует, что такой осью для магнитного поля являются линии плотности тока проводимости или линии напряженности электрического поля , если E меняется со временем.

Осью возникающих замкнутых линий электрического поля являются силовые линии магнитного поля , при условии, что H зависит от времени. Это следует из второго уравнения Максвелла.

Дивергенция вектора – это точка в пространстве, откуда начинаются незамкнутые силовые линии поля. Как видно из третьего уравнения Максвелла, незамкнутые силовые линии напряженности электрического поля начинаются в точках, где есть электрические заряды. Из четвертого уравнения Максвелла следует, что незамкнутых линий напряженности магнитного поля не существует.

Решая уравнения Максвелла в различных средах, можем найти 6 проекций векторов и : , , , , , .

1.3 Радиоволны в идеальном диэлектрике без зарядов

Идеальный диэлектрик – такой диэлектрик, в котором нет токов, т.е. в соответствии с (1.1), проводимость g=0. Если для упрощения решения принять, что в диэлектрике нет зарядов, т.е. q =0 (или ρ = 0), а электромагнитное поле меняется только вдоль одной координаты z, в то время, как

, ,

то решение уравнений Максвелла приводит к волновым уравнениям для 2 – х проекций векторов напряженности и , сдвинутых в пространстве на 90o; например, для проекций и - см. Приложение 3:

(1.2,а).

(1.2,б).

Решением уравнений (1.2) являются волновые функции , и , , где и - прямые волны, распространяющиеся вдоль оси z, а и - обратные волны, бегущие в противоположном направлении. В полученных решениях применено обозначение

(1.3)

Параметр v имеет размерность м/с и является скоростью распространения волны. Для вакуума , и v = c = 3*108 м/с. В любой среде, где и , скорость электромагнитной волны

(1.4)

В Приложении 3 записана связь и :

(1.5)

Величина

имеет размерность Ом и называется волновым сопротивлением среды. В вакууме

Ом.

Итак, в идеальном диэлектрике при сделанных допущениях решением уравнений Максвелла являются электромагнитные волны, движущиеся вдоль оси z в прямом и обратном направлениях со скоростью v. Прямая волна распространяется от источника электромагнитных колебаний, а обратная возникает при наличии отражений.

1.4 Энергия электромагнитного поля

Если в пространстве существует электромагнитное поле, то в произвольном объеме V имеется энергия

,

где

плотность электрической энергии Дж/м3,

плотность магнитной энергии, Дж/м3 .

Поскольку электромагнитное поле существует в виде волн, поле будет перемещаться в пространстве. В частности, энергия будет выходить или входить в объем V. Для оценки энергии электромагнитных волн введена физическая величина, называемая вектором Пойнтинга и равная векторному произведению векторов и :

,Вт/м2.

Величина вектора Пойнтинга

,

где α – угол между векторами и . В идеальном диэлектрике П = EH.

Вектор Пойнтинга перпендикулярен плоскости расположения векторов и и его направление определяется «правилом винта» при вращении к по кратчайшему расстоянию (рис.1)

Р

Рис.1.1 Взаимная ориентация векторов , и

азмерность величины вектора - Вт/м2. Поэтому П – это энергия электромагнитного поля, проходящая в единицу времени через поверхность единичной площади, т.е. плотность потока мощности.

Энергия электромагнитного поля, выходящая из объема V в единицу времени, определяется формулой

,

где под интегралом – скалярное произведение векторов и , а интеграл берется по замкнутой поверхности S, ограничивающий объем V.

В случае, если диэлектрик в объеме V - неидеальный ( ), то возникают токи проводимости плотностью и, в соответствии с законом Джоуля – Ленца, часть энергии электромагнитного поля преобразуется во внутреннюю (тепловую) энергию диэлектрика.

Закон сохранения энергии определяется теоремой Пойнтинга:

-

где в левой части – скорость убывания энергии поля в объеме V, Pпот - количество теплоты, выделяющейся в 1 с в диэлектрике за счет протекания токов, т.е. мощность потерь, причем

,

где скалярное произведение - это плотность мощности потерь, т.е. количество теплоты, выделяемой в единицу времени.

В соответствии с теоремой Пойнтинга, изменение энергии электромагнитного поля в объему V происходит по 2-м причинам. Во - первых, за счет движения энергии в пространстве, во – вторых, за счет нагревания диэлектрика при протекании токов проводимости.

1.5 Монохроматические волны в идеальном пространстве

Радиосигнал представляет собой сложную зависимость величин E и H от времени, спектр сигнал содержит множество частот. Если сигнал узкополосный, то его спектр сосредоточен вблиз и несущей частоты и можно, в первом приближении, полагать, что колебания E(t) и H(t) имеют гармоническую форму, т.е. спектр содержит только одну частоту f, Гц (или циклическую частоту , рад/с).

Электромагнитные волны, в которых спектр колебаний содержит одну частоту, называют монохроматическими. Введение понятия монохроматических волн существенно упрощает анализ.

Предположим, что колебания распространяются вдоль одной оси z, т.е. E(t,z) и H(t,z) - функции 2-х переменных: t и z. В некоторой точке пространства z = 0 имеется источник электромагнитного поля

,

где Em - амплитуда колебаний.

Аналогично изменяется во времени и H(t,0). Считаем, что источник колебаний создает поле, которое не меняется по координатам x и y. В точке напряженность электрического поля

,

где v- скорость распространения волны, или

(1.7)

Постоянная

(1.8)

называется фазовым множителем. Если учесть, что , а длина волны

,

то

(1.9)

и имеет другое название – волновой множитель, или волновое число.

Мгновенная фаза колебаний

(1.10)

- функция времени и координаты. Если объединить в пространстве все точки, в которых колебания синфазны, т.е. , то получим поверхность равных фаз. На этой поверхности в данный момент времени значения E одинаковы. Поверхность равных фаз называется волновой поверхностью. В рассматриваемом случае волновая поверхность является плоскостью, простирающейся в пространстве бесконечно вдоль координат y и x.

Вдоль координаты z плоскость движется со скоростью

,

называемой фазовой скоростью. Из (1.10) следует что

и фазовая скорость

,

т.е. совпадает со скоростью v, определяемой (1.3).

Итак, если источник поля создает гармонические колебания в плоскости z = 0, то в идеальном диэлектрике возникает плоская монохроматическая волна, у которой векторы и изменяются по закону

, (1. 11,а)

(1.11,б)

и сдвинуты в пространстве на угол 900, фазовая скорость волны равна

,

а связь амплитуд напряженностей электрического и магнитного полей подчиняются формуле (1.5). Запишем, в каком соотношении находятся энергии электрического и магнитного полей в плоской волне.

Плотность энергии электрического поля

Характеристики

Список файлов книги