86420 (589990)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Министерство образования Российской Федерации

Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Обратимые матрицы над кольцом Z_n

Выполнила:

Студентка V курса

Математического факультета

Сычева О. Г.

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., профессор

Вечтомов Е. М.

Рецензент:

к.ф.-м.н., доцент

Чермных В. В.

Допущена к защите в ГАК

З
ав.кафедрой Вечтомов Е М.

«
»

Д
екан факультета Варанкина В. И.

«
»

Киров 2003Содержание:

Введение………………………………………….…………………….2 стр.

§1 Основные понятия………………………………………………….3 стр.

§2 Обратимые матрицы над полем Z_p

п.1 формула для подсчета обратимых матриц порядка 2 ……….10 стр.

п.2 формула для подсчета обратимых матриц порядка 3 ……….11 стр.

п.3 общая формула подсчета обратимых матриц над полем Z_p ..16 стр.

§3 Обратимые матрицы над Z_n ………………………………………17 стр.

Литература …………………………………………………………….27 стр.

Введение

Теория матриц является одним из основных вопросов линейной алгебры.

Цель данной работы: подсчитать количество обратимых матриц над кольцом вычетов и по возможности получить формулу для их вычисления. Для вычисления количества обратимых матриц воспользовались теорией определителей и полным перебором всех возможных вариантов получения элементов в кольцах вычетов.

Вся работа разбита на два этапа:

В §2 показан метод построения обратимых матриц второго и третьего порядков над полем Z_p . В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц n–го порядка над полем Z_p .

В §3 приведен алгоритм построения обратимых матриц второго порядка над некоторыми кольцами вычетов (приведены конкретные примеры). В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц второго порядка над кольцом классов вычетов Z_n .

§1. Основные определения.

Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами. Чаще всего рассматриваются матрицы, заполненные элементами из некоторого поля P.

Элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, указывающими "адрес" элемента - первый индекс дает номер строки, содержащий элемент, второй - номер столбца. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размерность (или - размеров ). Мы будем обозначать матрицы заглавными латинскими буквами, а ее элементы - такими же буквами, но строчными. Таким образом, матрица (размеров ) записывается в форме:

.

Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой.
Будем обозначать ее 0.

Матрица, имеющая одно и то же число n строк и столбцов, называется квадратной. Число n называется порядком квадратной матрицы.

Элементы матрицы, у которых оба индекса равны (i=j) называются диагональными, а воображаемая прямая, соединяющая все диагональные элементы матрицы называется главной диагональю.

Квадратная матрица, у которой все элементы, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается Е.:

Две матрицы считаются равными, если они одного размера и у них совпадают соответствующие элементы.

Две матрицы A=(a_ij) и B=(b_ij) одного и того же размера можно складывать, их суммой будет матрица того же размера C=(c_{i j}), , т.е. чтобы получить сумму двух матрицы достаточно сложить соответственные элементы этих матриц.

Произведение элемента c из поля на матрицу A=(a_ij) определяется следующим образом: cA=(ca_ij).

Для любой матрицы A существует противоположная -A такая, что
A+(-A)=0.

Все перечисленные свойства непосредственно следуют из определений и свойств операций в поле.

Рассмотрим матрицу A=(a_ij) размером и матрицу B=(b_ij) размером (т.к. произведение матриц определено лишь в том случае, когда число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй). Для таких матриц введем действие умножения матрицы на матрицу, в результате чего получается матрица C=(c_ij) размером , где .

Итак, матрицы можно складывать, умножать их на скаляр, а также умножать матрицу на матрицу. Эти действия обладают свойствами:

По сложению:

1. (A+B)+C=A+(B+C) – ассоциативность;

2. A+B=B+A – коммутативность;

1. Существует нейтральный элемент – матрица 0: A + 0 = 0 + A = A;

1. Для матрицы A существует обратный элемент -A: A + (-A)=0;

По умножению матриц на скаляр:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

По умножению матриц:

1. Произведение матриц в общем случае не коммутативно, т.е. AB ВА;

2. (AB)C=A(BC) – ассоциативность;

3. (cA)B=A(cB)=cAB;

4. Дистрибутивность умножения относительно сложения (правая и левая) (A₁+A₂)B=A₁B+A₂B, A(B₁+B₂)=AB₁+AB₂;

5. Существует единственный нейтральный элемент E
   (если A – квадратная): EA = AE = A. Если же A размером , то
   E_mA = AE_n = A.

6. Произведение матрицы А на нулевую матрицу дает в результате так же нулевую матрицу (существуют случаи, когда нулевая матрица получается в результате перемножения ненулевых матриц).

Для квадратных матриц фиксированного порядка n действия сложения и умножения определены всегда, и их результатами являются квадратные матрицы того же порядка. Таким образом, квадратные матрицы фиксированного порядка образуют кольцо.

Определителем n-го порядка квадратной матрицы А, называется алгебраическая сумма n! членов, которыми являются всевозможные произведения по n элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, причем член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную перестановку, и со знаком минус – если нечетную перестановку.

,

где (₁, ₂, ..., _n) пробегает все перестановки чисел 1, 2, ..., n; множитель равен +1, если (₁, ₂, ..., _n) - четная перестановка, и равен –1, если нечетная.

Минором элемента a_ij называется определитель (n-1) – порядка, полученный из данного определителя n-го порядка, путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Минор a_ij элемента обозначается М_ij.

Алгебраическим дополнением элемента a_ij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)^i+j.

Алгебраическое дополнение элемента обозначается А_ij=(-1)^i+j М_ij.

Матрица B называется обратной для матрицы A, если AB=BA=E,
где E - единичная матрица. Равенство AB=BA показывает (нетрудно видеть, используя правило умножения матриц), что число строк и столбцов матрицы A должно быть одинаково.

Таким образом, обратная матрица имеет смысл только для квадратных матриц. Далее мы будем рассматривать только квадратные матрицы.

Если матрица А имеет обратную, то она единственна.

Покажем это. Пусть АВ=СА=Е и С В, тогда заметим: С=СЕ=С(АВ)=(СА)В=ЕВ=В. Что противоречить условию.

Определитель произведения любых двух матриц n-го порядка равен произведению их определителей.

Докажем. Рассмотрим единичные столбцы n-го порядка:

, , …,

Возьмем произведение матрицы АВ на столбец единичных столбцов (т.е. столбец из n n-мерных столбцов)

Тогда = 1= = =

= = = = .
Что требовалось доказать.

Заключение данной теоремы также выполняется и для случая, когда элементы матриц взяты из кольца вычетов Z_n.

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю и не вырожденной в противном случае.

Для всякой невырожденной матрицы существует обратная матрица.

Покажем это. Пусть A=(a_ij) –невырожденная квадратная матрица ( ). Рассмотрим матрицу А^*= , где А_ij – алгебраическое дополнение элементов определителя , причем алгебраические дополнения i-й сроки стоят в i-ом столбце.

Найдем произведение С=АА^*, где С=(с_ij)

и т.д.

Найдя все элементы матрицы С по описанному выше алгоритму,
в итоге, получим следующее: , т.е. . Значит матрица А^* - обратная к невырожденной матрице А.

Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует. Иначе если вырожденная матрица А ( ) имеет обратную А^*, тогда верными будут следующие равенства: А·А^*=Е, , , .
Что в принципе не верно.

Нужно отметить, что невырожденной матрицей над Z_n называется матрица, определитель которой является обратимым элементом в Z_n .

§2. Обратимые матрицы над полем Z_p

В данном параграфе попытаемся вывести формулу для подсчета количества обратимых матриц в поле Z_p, где p – простое.

1. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 2.

Будем рассматривать матрицы .

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ВКР