86420 (589990), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Разобьем на следующие варианты:
1. ad=3. Возможные случаи:
-
a=1 d=3,
-
a=3 d=1,
bc=2. Возможные случаи:
-
b=1 c=2,
-
b=2 c=1,
-
b=2 c=3,
-
b=3 c=2.
Получили с данным условием 8 обратимых матриц.
2. ad=2. Возможно 4 случая (см. предыдущий пункт).
bc=1. Возможные случаи:
-
b=c=1,
-
b=c=3.
Получили с данным условием 8 обратимых матриц.
3. ad=1. Возможно 2 случая (см. предыдущий пункт).
bc=0. Возможные случаи:
-
b=0 c=1,
-
b=0 c=2,
-
b=0 c=3,
-
b=1 c=0,
-
b=2 c=0,
-
b=3 c=0,
-
b=c=0,
-
b=c=2.
Получили сданным условием 16 обратимых матриц.
4. ad=0. Возможно 8 случаев (см. предыдущий пункт).
bc=3. Возможно 2 случая (см. первый пункт).
Получили с данным условием 16 обратимых матриц.
Таким образом, по данной классификации получаем 8+8+16+16+16=48 обратимых матриц, определитель которых равен 1. Аналогичную классификацию можно составить для обратимых матриц с определителем равным 3, и число таких матриц будет также равно 48.
Следовательно, из 256 квадратных матриц второго порядка над Z4 обратимыми являются 96.
Обратимые матрицы над Z6.
| * | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 0 | 2 | 4 |
| 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 4 | 0 | 4 | 2 | 0 | 4 | 2 |
| 5 | 0 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Всего различных матриц второго порядка над Z6: 64=1296.
В Z6 обратимыми элементами являются 1 и 5. Аналогично рассмотрим, сколько обратимых матриц с определителем равным 1:
|A|=ad-bc=1.
Разобьем на следующие варианты:
1. ad=5. Возможные случаи:
-
a=1 d=5,
-
a=5 d=1,
bc=4. Возможные случаи:
-
b=1 c=4,
-
b=4 c=1,
-
b=2 c=5,
-
b=5 c=2,
-
b=c=2,
-
b=c=4.
Получили с данным условием 12 обратимых матриц.
2. ad=4. Возможно 6 случаев (см. предыдущий пункт).
bc=3. Возможные случаи:
-
b=3 c=1,
-
b=1 c=3,
-
b=3 c=5,
-
b=5 c=3,
-
b=c=3.
Получили с данным условием 30 обратимых матриц.
3. ad=3. Возможно 5 случаев (см. предыдущий пункт).
bc=2. Возможные случаи:
-
b=2 c=1,
-
b=1 c=2,
-
b=2 c=4,
-
b=4 c=2,
-
b=4 c=5,
-
b=5 c=4.
Получили с данным условием 30 обратимых матриц.
4. ad=2. Возможно 6 случаев (см. предыдущий пункт).
bc=1. Возможные случаи:
-
b=c=1,
-
b=c=5.
Получили с данным условием 12 обратимых матриц.
5. ad=1. Возможно 2 случая (см. предыдущий пункт).
bc=0. Возможные случаи:
-
b=0 c=1,
-
b=0 c=2,
-
b=0 c=3,
-
b=0 c=4,
-
b=0 c=5,
-
b=1 c=0,
-
b=2 c=0,
-
b=3 c=0,
-
b=4 c=0,
-
b=5 c=0,
-
b=2 c=3,
-
b=3 c=2,
-
b=3 c=4,
-
b=4 c=3,
-
b=c=0.
Получили с данным условием 30 обратимых матриц.
6. ad=0. Возможно 15 случаев (см. предыдущий пункт).
bc=5. Возможно 2 случая (см. первый пункт).
Получили с данным условием 30 обратимых матриц.
Таким образом по данной классификации получаем 12+30+30+12+30+30=144 обратимых матриц, определитель которых
равен 1. Аналогичную классификацию можно составить для обратимых матриц с определителем равным 5, и число таких матриц будет также равно 144.
Следовательно, из 1296 квадратных матриц второго порядка над Z6 обратимыми являются 288.
Обратимые матрицы над Z8
| * | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 0 | 2 | 4 | 6 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 3 | 4 | 7 | 2 | 5 |
| 4 | 0 | 4 | 0 | 4 | 0 | 4 | 0 | 4 |
| 5 | 0 | 5 | 2 | 7 | 4 | 1 | 6 | 3 |
| 6 | 0 | 6 | 4 | 2 | 0 | 6 | 4 | 2 |
| 7 | 0 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Всего различных матриц второго порядка над Z8: 84=4096.
В Z8 обратимыми элементами являются 1, 3, 5 и 7. Аналогично рассмотрим, сколько обратимых матриц с определителем равным 1
|A|=ad-bc=1.
Аналогично предыдущим пунктам будем придерживаться той же классификации:
1. ad=7. Возможно 4 случая.
bc=6. Возможно 8 случаев.
Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.
2. ad=6. Возможно 8 случаев.
bc=5. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.
3. ad=5. Возможно 4 случая.
bc=4. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
4. ad=4. Возможно 12 случаев.
bc=3. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
5. ad=3. Возможно 4 случая.
bc=2. Возможно 8 случаев.
Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.
6. ad=2. Возможно 8 случаев.
bc=1. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.
7. ad=1. Возможны 4 случая .
bc=0. Возможно 20 случаев.
Получили с данным условием 80 обратимых матриц.
8. ad=0. Возможно 20 случаев.
bc=7. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 80 обратимых матриц.
Таким образом, обратимых матриц, определитель которых
равен 1 —384.
Следовательно, из 4096 квадратных матриц второго порядка над Z8 обратимыми являются 1536.
Обратимые матрицы над Z9
| * | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 1 | 3 | 5 | 7 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 0 | 3 | 6 | 0 | 3 | 6 |
| 4 | 0 | 4 | 8 | 3 | 7 | 2 | 6 | 1 | 5 |
| 5 | 0 | 5 | 1 | 6 | 2 | 7 | 3 | 8 | 4 |
| 6 | 0 | 6 | 3 | 0 | 6 | 3 | 0 | 6 | 3 |
| 7 | 0 | 7 | 5 | 3 | 1 | 8 | 6 | 4 | 2 |
| 8 | 0 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Всего различных матриц второго порядка над Z9: 94=6561.
В Z9 обратимыми элементами являются 1, 2, 4, 5, 7 и 8.
1. ad=8. Возможно 6 случаев.
bc=7. Возможно 6 случаев.
Получили с данным условием 36 обратимых матриц.
2. ad=7. Возможно 6 случаев.
bc=6. Возможно 12 случаев.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
