86417 (589988), страница 3
Текст из файла (страница 3)
.
Пусть 
, здесь так же .
Таким образом мы рассмотрели все основные группы вариантов расположения элементов a, b, c и во всех этих случаях ассоциативность сложения выполняется.
3. Рассмотрим в решётке элемент 
, к нему существует относительное дополнение 
до элемента 
, т.е. 
и 
. Учитывая, что в решётке 
и 
, имеем следующее: 
и 
. Отсюда 
.
4. Рассмотрим относительное дополнение элемента 
до 
, это элемент 
. Таким образом: 
и 
. Учитывая, что в решётке выполняются тождества 
и 
имеем следующее: 
и 
. Отсюда 
.
5. Так как в решётке выполняется ассоциативность 
, а так же имея 
, то 
.
6. Докажем дистрибутивность 
или что то же самое
(*).
Докажем, что дополнения левой и правой частей выражения (*) до верхней грани 
совпадают.
Нетрудно заметить, что дополнением правой части выражения (*) до элемента будет являться элемент 
.
Покажем это:
, по определению относительного дополнения элемента 
(
), где за 
приняли элемент 
, а элемент 
за 
.
, по определению относительного дополнения элемента (
) , где за приняли элемент , а элемент за .
Покажем, что и для левой части (*) элемент будет являться относительным дополнением до верхней грани :
, т.к. 
.
Мы показали, что дополнения элементов 
и 
до верхней грани совпадают, следовательно, в силу единственности дополнения . А значит и , т.е. дистрибутивность доказана.
Таким образом, для 
все аксиомы кольца выполняются.
Заметим, что 
выполняется в силу того, что 
, а в решётке .
Также выполняется 
, потому что 
.
Таким образом, - булево кольцо.
Доказательство (2). Частичную упорядоченность 
имеем исходя из того, что исходное булево кольцо 
- частично упорядоченное множество. Кроме того - решётка, т.к. 
существуют sup(x,y) и inf(x,y), заданные соответствующими правилами: 
и 
.
Покажем, что решётка дистрибутивна, т.е. что выполняется тождество 
(*)
Рассмотрим левую часть выражения (*):
.
Рассмотрим правую часть выражения (*):
,
т.о. тождество верно, т.е. решётка является дистрибутивной.
Покажем, что у каждого элемента 
в дистрибутивной решётке есть относительное дополнение. Для этого рассмотрим произвольные элементы 
, но они так же должны являться элементами решётки , следовательно, в ней должны лежать и 
, которым в кольце соответствуют 
.
Рассмотрим элемент булева кольца 
(в решётке лежит соответствующий ему элемент), заметим, что
и 
.
Поэтому элемент будет являться в дистрибутивной решётке относительным дополнением 
до верхней грани 
.
Таким образом, будет являться дистрибутивной решёткой с относительными дополнениями (обобщённой булевой).
Библиографический список
-
Гретцер, Г. Общая теория решёток [Текст] / Г. Гретцер. – М.: Мир, 1982.
-
Биркгоф, Г. Теория решёток [Текст] / Г. Биркгоф. – М.: Наука, 1984.
-
Скорняков, Л.А. Элементы алгебры [Текст] / Л.А. Скорняков. – М.: Наука, 1989.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
