86417 (589988), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Для обозначим через смежный класс, содержащий элемент , т.е. |

Пусть L – произвольная решётка и . Наименьшую конгруэнцию, такую, что для всех , обозначим через и назовём конгруэнцией, порождённой множеством .

ЛЕММА 2.1. Конгруэнция существует для любого .

Доказательство. Действительно, пусть Ф = | для всех . Так как пересечение в решётке совпадает с теоретико-множественным пересечением, то для всех . Следовательно, Ф= .

В двух случаях мы будем использовать специальные обозначения: если или и - идеал, то вместо мы пишем или соответственно. Конгруэнция вида называется главной; её значение объясняется следующей леммой:

ЛЕММА 2.2. = | .

Доказательство. Пусть , тогда , отсюда . С другой стороны рассмотрим , но тогда . Поэтому и .

Заметим, что - наименьшая конгруэнция, относительно которой , тогда как - наименьшая конгруэнция, такая, что содержится в одном смежном классе. Для произвольных решёток о конгруэнции почти ничего не известно. Для дистрибутивных решёток важным является следующее описание конгруэнции :

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть - дистрибутивная решётка, и . Тогда и .

Доказательство. Обозначим через Ф бинарное отношение, определённое следующим образом: и .

Покажем, что Ф – отношение эквивалентности:

1) Ф – отношение рефлексивности: x·a = x·a ; x+b = x+b;

2) Ф – отношение симметричности:

x·a = y·a и x+b = y+b y·a = x·a и y+b = x+b ;

3) Ф – отношение транзитивности.

Пусть x·a = y·a и x+b = y+b и пусть y·с = z·с и y+d = z+d. Умножим обе части x·a = y·a на элемент с, получим x·a·c = y·a·c. А обе части y·с = z·с умножим на элемент a, получим y·c·a = z·c·a. В силу симметричности x·a·c = y·a·c = z·a·c. Аналогично получаем x+b+d = y+b+d = z+b+d. Таким образом .

Из всего выше обозначенного следует, что Ф – отношение эквивалентности.

Покажем, что Ф сохраняет операции. Если и z L, то (x+z) ·a = (x·a) + (z·a) = (y·a) + (z·a) = (y+z) ·a и (x+z)+b = z+(x+b) = z+(y+b); следовательно, . Аналогично доказывается, что и, таким образом, Ф – конгруэнция.

Наконец, пусть - произвольная конгруэнция, такая, что , и пусть . Тогда x·a = y·a, x+b = y+b , и . Поэтому вычисляя по модулю , получим

, т.е. , и таким образом, .

СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ 2.1. Пусть I – произвольный идеал дистрибутивной решётки L. Тогда в том и только том случае, когда для некоторого . В частности, идеал I является смежным классом по модулю .

Доказательство. Если , то и элементы x·y·i, i принадлежат идеалу I.

Действительно .

Покажем, что .

Воспользуемся тем, что (*), заметим, что и , поэтому мы можем прибавить к тождеству (*) или , и тождество при этом будет выполняться.

Прибавим : , получим .

Прибавим : , получим .

Отсюда . Таким образом, .

Обратно согласно лемме 2, |

Однако и поэтому |

Если , то откуда

.

Действительно, (**).

Рассмотрим правую часть этого тождества:

Объединим первое и второе слагаемые –

.

Объединим первое и третье слагаемые –

,

таким образом (***)

Заметим, что , поэтому прибавим к обеим частям выражения (***) y:

Но , отсюда .

Следовательно, условие следствия из теоремы 2.1. выполнено для элемента . Наконец, если и , то , откуда и , т.е. является смежным классом.

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть L – булева решётка. Тогда отображение является взаимно однозначным соответствием между конгруэнциями и идеалами решётки L. (Под понимаем класс нуля по конгруэнции , под понимаем решётку конгруэнций.)

Д оказательство. В силу следствия из теоремы 2.1. это отображение на множество идеалов; таким образом мы должны только доказать, что оно взаимно однозначно, т.е. что смежный класс

определяет конгруэнцию . Это утверждение, однако, очевидно. Действительно тогда и только тогда, когда (*), последнее сравнение в свою очередь равносильно сравнению , где с – относительное дополнение элемента в интервале .

Действительно, помножим выражение (*) на с:

, но , а , отсюда .

Таким образом, в том и только том случае, когда .

Примечание. Приведённое доказательство не полностью использует условие, что L – дистрибутивная решётка с дополнениями. Фактически, мы пользовались только тем, что L имеет нуль и является решёткой с относительными дополнениями. Такая решётка называется обобщённой булевой решёткой.

ТЕОРЕМА 2.3 (Хасимото [1952]). Пусть L – произвольная решётка. Для того, чтобы существовало взаимно однозначное соответствие между идеалами и конгруэнциями решётки L, при котором идеал, соответствующий конгруэнции , являлся бы смежным классом по , необходимо и достаточно, чтобы решётка L была обобщённой булевой.

Д оказательство. Достаточность следует из доказательства теоремы 2.2. Перейдём к доказательству необходимости.

Идеалом, соответствующим конгруэнции , должен быть (0]; следовательно, L имеет нуль 0.

Если L содержит диамант

, то идеал (a] не может быть смежным классом, потому что из следует и . Но , значит, любой смежный класс, содержащий , содержит и , и .

Аналогично, если L содержит пентагон и смежный класс содержит идеал , то и , откуда . Следовательно, этот смежный класс должен содержать и .

Итак, решётка L не содержит подрешёток, изоморфных ни диаманту, ни пентагону. Поэтому, по теореме 1.2., она дистрибутивна.

Пусть и . Согласно следствию из теоремы 2.1., для конгруэнции идеал так же является смежным классом, следовательно, , откуда . Опять применяя следствие из теоремы 2.1. получим, для некоторого . Так как , то и . Следовательно, о полу орого ледствие 4 получим, цииодержать , соответствующим конгруэнции образом мы должны только доказать, и , т.е. элемент является относительным дополнением элемента в интервале .

2.2. Основная теорема

1. П усть

2. - обобщённая булева решётка. Определим бинарные операции на B, полагая и обозначая через относительное дополнение элемента в интервале . Тогда - булево кольцо, т.е. (ассоциативное) кольцо, удовлетворяющее тождеству (а следовательно и тождествам , ).

3. Пусть - булево кольцо. Определим бинарные операции и на , полагая, что и . Тогда - обобщённая булева решётка.

Доказательство.

1. Покажем, что - кольцо.

Напомним определение. Кольцо - это непустое множество с заданными на нём двумя бинарными операциями , которые удовлетворяют следующим аксиомам:

1. Коммутативность сложения: выполняется ;

2. Ассоциативность сложения: выполняется ;

3. Существование нуля, т.е. , ;

4. Существование противоположного элемента, т.е. , , ;

5. Ассоциативность умножения: , ;

6. Закон дистрибутивности.

Проверим, выполняются ли аксиомы кольца:

1. Относительным дополнением до элемента будет элемент , а относительным дополнением элемент . В силу того, что , а так же единственности дополнения имеем .

2. Покажем, что .

Р ассмотрим все возможные группы вариантов:

1) Пусть , тогда (Далее везде под элементом x будем понимать сумму ).

Аналогично получаем в случаях , , , и . Заметим, что когда один из элементов равен нулю (например, c), то получаем тривиальные варианты (a+b=a+b).

2) Пусть , а элемент c не сравним с ними. Возможны следующие варианты:

Нетрудно заметить, что во всех этих случаях , кроме того:

если c=a+b, то (a+b)+c=0=a+(b+c);

если c=0, то получаем тривиальный вариант.

Вариант, когда c равен наибольшему элементу решётки d, мы уже рассматривали.

Если c=b, то (a+b)+c=(a+b)+b=a и a+(b+c)=a+(b+b)=a.

Если c=a, то (a+b)+c=(a+b)+a=b и a+(b+c)=a+(b+a)=b.

А налогично для случаев

, , , и .

3) Под элементами нижнего уровня будем понимать элементы , , , , , , , , т.е. те элементы 4-х мерного куба, которые образуют нижний трёхмерный куб.

Под элементами верхнего уровня будем понимать элементы , , , , , , , , т.е. те элементы 4-х мерного куба, которые образуют верхний трёхмерный куб.

Под фразой «элемент верхнего уровня, полученный из элемента нижнего уровня сдвигом по соответствующему ребру» будем понимать элемент верхнего уровня.

Пусть a, b, c несравнимы. Рассмотрим следующие варианты: и .

П усть

. Заметим, что это возможно только в случаях, когда принадлежат нижнему уровню, причём лежат на позициях элементов (рис. 1). Либо a, b остаются на своих позициях, элемент c сдвигается на верхний уровень по соответствующему ребру (рис. 2). Либо элемент a остаётся на своей позиции, элементы b, c сдвигаются на верхний уровень по соответствующему ребру (рис 3).

Н етрудно заметить, что во всех этих случаях

Характеристики

Список файлов ВКР