86412 (589982)
Текст из файла
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
О КАТЕГОРИИ МНОЖЕСТВ
Выполнила студентка V курса
математического факультета
Одегова В.Н.
/ подпись/
Научный руководитель:
Доктор ф.-м.н., профессор
Вечтомов Е.М.
/подпись/
Рецензент: кандитат ф.-м.н., доцент Чермных В.В.
/ подпись/
Допущен к защите в ГАК
З ав. кафедрой Вечтомов Е.М.
(подпись)
2
003г.
Д екан факультета Варанкина В.И.
(подпись)
2
003г.
Киров, 2003г.
введение 3
1 Основные понятия теории категорий 4
1.1. Мономорфные стрелки 6
1.2. Эпиморфные стрелки 7
1.3. Изострелки 8
1.5. Начальные объекты 10
1.6. Конечные объекты 10
1.7. Двойственность 11
1.8. Произведения 12
1.9. Произведение отображений 15
1.10. Копроизведение объектов 18
2 категориЯ множеств 19
2.1. Мономорфизм в категории множеств 20
2.2. Эпиморфизм в категории множеств 21
2.3. Начальные и конечные объекты в категории множеств 23
2.4. Произведение в категории множеств 23
2.5. Копроизведения в категории множеств 24
3 Примеры категорий 24
3.1. Категория 1 24
3.2. Категория 2 25
3.3. Категория 3 25
3.4. Категории предпорядка 26
3.5. Дискретные категории 26
3.6. Категория N 27
Литература 28
введение
Сейчас многие отрасли математики используют теоретико-множественные обозначения. Несомненно, теория множеств сыграла огромную роль в развитии математики. У этой теории можно найти много преимуществ, но в этой дипломной работе речь пойдет не об этом. Развитием теории множеств можно считать теорию категорий. Что такое «теория категорий». Это очень привлекательная и естественная альтернатива теории множеств. Конечно, можно мыслить объекты математического изучения как множества, но нет уже уверенности, что и в будущем их будут рассматривать так. Без сомнения, основной язык теории множеств останется важным инструментом в тех случаях, когда надо рассматривать совокупности предметов. Но понимание самих предметов как множеств потеряло свое преимущественное значение в силу появления новой альтернативы.
В данной дипломной работе рассматривается одна из важнейших категорий в математике – категория множеств. В первом параграфе рассматриваются основные понятия теории категорий. Доказываются необходимые свойства и утверждения.
Во втором параграфе рассматривается категория множеств. Те понятия, которые используются в теории категорий, переносятся непосредственно в эту категорию. Интерпретируются теоремы из теории категорий в категорию множеств.
В третьем параграфе приведены другие примеры категорий. Тем самым показаны выразительные возможности теории категорий.
Теория категорий изложена в книгах [1]-[4].
1 Основные понятия теории категорий
Для того чтобы проиллюстрировать формализацию интуитивной математической идеи рассмотрим понятие функции.
Функция – есть связь между объектами. Точнее, это – соответствие, сопоставляющее заданному объекту точно один другой объект.
Если А – множество всех возможных входов функции f, а В – множество, включающее все f-образы элементов из А, то говорят, что f является функцией из множества А во множество В. Это выражают записью f: AB.
Множество А называется областью определения, а множество В – областью значений.
В общей теории категорий вместо слова «функция» используют более нейтральное слово «стрелка» (а также слово «морфизм»).
Выполняются следующие свойства:
-
C каждой стрелкой связано два специальных объекта – её начало и конец.
-
Имеется операция композиции, которая применяется к определенным парам ‹ g, › стрелок данной категории (когда область значения первой совпадает с областью определения второй) и дает в результате новую стрелку g˚, также принадлежащую данной категории.
-
С каждым объектом данной категории связана специальная стрелка – единичная, или тождественная, стрелка этого объекта.
Итак, дадим аксиоматическое определение категории.
Категория Ω включает в себя:
1) Совокупность предметов, называемых Ω - объектами
2) Совокупность предметов, называемых Ω-стрелками
3) Операции, ставящие в соответствие каждой Ω-стрелке f Ω-объект dom f (начало стрелки f) и Ω-объект cod f (конец стрелки f). То, что а=domf и b=cod f изображается так: f: ab
4) Операцию, ставящую в соответствие каждой паре ‹ g, › Ω-стрелок с dom g=cod f Ω-стрелку g˚, композицию f и g, с dom (g˚)=dom f и cod(g˚)=cod g, причем выполняется следующее условие:
закон ассоциативности:
пусть f: ab
g: bc
h: cd
т огда h ˚(g˚)= (h ˚g)˚.
Закон ассоциативности утверждает, что диаграмма вида -
-коммутативна.
( в теории категорий удобным средством являются коммутативные диаграммы. Диаграмма – это схема, в которой указаны объекты и стрелки между ними. При этом, любые два пути, ведущие по стрелкам из одного объекта в другой, равны. Диаграмма называется коммутативной, если есть несколько путей от одного объекта к другому, то все они приводят к одному и тому же результату. Точнее: диаграмма называется коммутативной, когда все возможные треугольники, составляющие части данной диаграммы, коммутативны. Это означает, что любые два пути стрелок данной диаграммы, начинающиеся в одном и том же объекте и заканчивающиеся в одном и том же объекте, задают в композиции одну и ту же функцию. Диаграммы в теории категорий используются для наглядности изложения.)
5) Сопоставление каждому Ω-объекту b Ω-стрелки 1b: bb, называемой единичной или тождественной стрелкой, так что выполнен Закон тождества:
д ля любых Ω-стрелок f:ab и g:bc 1b ◦f=f и g◦1b =g, т.е. коммутативна диаграмма
1.1. Мономорфные стрелки
Определение: Стрелка f:ab в категории Ω называется мономорфной или монострелкой в Ω, если для любой пары g,h: ca Ω-стрелок из равенства f g=f h следует g=h.
-
В произвольной категории композиция gf является монострелкой, если как f, так и g мономорфны.
Доказательство:
В оспользуемся определением монострелки:
С трелка gf:ac является монострелкой, если для любых стрелок l,m:ba если (gf)l=(gf)m, то l=m. Изобразим диаграмму. Очевидно, что требуемое равенство выполняется, т.е. (gf)l=(gf)m. В любой категории должен выполняться ассоциативный закон. Применяя его, получаем следующее равенство: g(fl)=g(fm).
g – монострелка f l=f m
f – монострелка l=m, что и требовалось доказать.
-
В произвольной категории, если композиция g f – мономорфна, то и f – мономорфна.
Доказательство: пусть f: ab
g: bd,
l, m: ca
f – мономорфна, если из равенства f l=f m ()следует, что l=m.
О чевидно, что это равенство выполняется.(см. диаграмму). Учитывая, что domg = cod(f l) = cod(f m), применим к равенству () стрелку g. Получаем g(f l)=g(f m). Далее, по ассоциативному закону:
( gf)l=(gf)m.
gf – монострелка l=m, что и требовалось доказать.
1.2. Эпиморфные стрелки
Определение: Стрелка f:ab называется эпиморфной или эпистрелкой в категории Ω
, если для произвольной пары стрелок g,h: bc из равенства gf=hf следует g=h, т.е. если коммутативна диаграмма, то g=h.
-
Если g°f-эпистрелка, то g- эпистрелка.
Доказательство: пусть f: ab
g: bc,
l, m: cd
g – эпистрелка, если из равенства l g=m g ()следует, что l=m.
О
b

l (gf)=m(gf).
gf – эпистрелка l=m, что и требовалось доказать.
1.3. Изострелки
Определение: произвольная стрелка f: ab называется изострелкой или обратимой в категории Ω стрелкой, если существует Ω- стрелка g:ba, такая, что gf=1a и fg=1b. На самом деле такая стрелка только одна. Действительно, если предположить, что существует ещё одна такая стрелка g’, то g’=1ag’=(gf)g’=g(fg’)=g1b=g. Стрелка g, когда она существует, называется обратной к f стрелкой и обозначается f -1:ba. Она определяется условиями: f -1f=1a, f f -1=1b .
-
Любая изострелка является эпистрелкой.
Доказательство: пусть f: ab – изострелка, и стрелки g,h: bc.
Тогда g f=h f и существует f -1 . Тогда g = g 1b = g (f f-1) =(ассоциативность)= (g f) f-1 = (hf)f-1=h (f f -1)=h 1b=h. Таким образом, f – сократима справа. Ч.т.д.
-
Любая изострелка является монострелкой. (доказательство аналогично предыдущему).
-
Любая изострелка является бистрелкой (эпи и монострелкой ).
Доказательство: следует из предыдущих двух утверждений.
-
Каждая единичная стрелка является изострелкой.
Доказательство: Пусть f: aa – единичная стрелка. Существует стрелка f –1 : aa и f –1 f=1a, f f –1=1a . f – изострелка. Ч.т.д.
-
Если f – изострелка, то f –1 – изострелка.
Доказательство: пусть f: ab – изострелка. Тогда f –1: ba. f – изострелка f f –1=1b, f –1 f=1a. f –1 – изострелка. Ч.т.д.
-
Если f, g – изострелки, то f g – изострелка, при этом (f g)- 1 = g–1f- 1
Доказательство: пусть f: bc, g: ab. f g: ac. f,g- изострелки f –1: cb и g –1: ba g –1f –1 :ca. Эта композиция является «подозрительной» на обратную к стрелке f g. Проверим это:
-
(g –1f –1)(f g)=(ассоциативность)=g –1(f –1f g)=g–1(1bg)=g–1 g=1a.
-
(f g )g –1 f –1=f (g g –1f –1)=f (1bf –1)=f f –1=1c.
fg- изострелка и (f g)-1=g –1f –1 .Ч.т.д.
1.4. Изоморфные объекты
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.