Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

, содержащую

, что

– нильпотентная группа. Тогда

. Так как

является

-проектором

, то

. Но тогда

. Противоречие. Следовательно,

. Первая часть теоремы доказана.

Пусть теперь –

-картерова подгруппа группы

. Покажем, что

есть

-проектор

. Пусть

.

Предположим, что . Тогда в

существует такая максимальная подгруппа

, что

. Так как некоторая

-холловская подгруппа

группы

содержится в

и

-нильпотентна, то

является нильпотентной группой. Поэтому максимальная подгруппа

Следовательно, . Для любого

подгруппа

является

-картеровой подгруппой группы

, а значит, и

По индукции для

теорема верна, поэтому

и

сопряжены в

. Тогда по обобщенной лемме Фраттини

, что противоречит тому, что

и

. Значит,

т.е.

есть

-проектор

. Так как любые два

-проектора сопряжены в

то этим доказательство теоремы завершено.

Следующая теорема указывает на существование и сопряженность подгрупп, являющихся обобщением подгрупп Гашюца в -разрешимой группе.

3.1.10 Т е о р е м а. Любая -разрешимая группа

обладает

-гашюцевой подгруппой и любые две из них сопряжены в

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – класс

-сверхразрешимых групп. Так как

является насыщенной формацией, то

– класс Шунка. Если

, то и

, так как

Поэтому есть

-класс Шунка. м

Пусть –

-просктор группы

. Тогда

-свсрхразрешима и по теореме 3 содержит некоторую

-холловскую подгруппу группы

. Предположим, что

и

– простое число. Возьмем в

минимальную нормальную подгруппу

Тогда

и – самоцентрализуемая подгруппа в

. Поэтому

изоморфна подгруппе циклической группы . Таким обрaзом,

сверхразрешима, т.е. принадлежит

. Так как

–

-проектор

, то получаем

. Противоречие. Следовательно, если

, то

есть составное число. Первая часть теоремы доказана.

Пусть –

-гашюцева подгруппа группы

. Пусть

и

. Предположим, что

. Тогда

содержится в некоторой максимальной подгруппе

группы

. Так как

является максимальной подгруппой

-сверхразрешимой группы

и

содержит

-холловскую подгруппу группы

, то

для некоторого

, что дает противоречие

. Значит

т.е.

есть

-проектор группы

. Так как любые два

-проектора сопряжены в

, то этим доказательство теоремы завершено.

Проекторы произведений ди- -разложимых групп

3.2.1 Т е о р е м а. Пусть –

-класс Шунка,

– произведение

-разложимых подгрупп

и

группы

причем

Тогда в

имеется факторизуемый относительно

-проектор.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что теорема не верна. Пусть – ди-

-разложимая группа такая, что любой

-проектор группы

не факторизуется относительно

Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы

. Тогда для фактор-группы

утверждение теоремы выполняется. Следовательно, существует

–

-проектор группы

который факторизуется относительно

то есть

и

Отсюда следует, что и

Тогда

Откуда

т.е.

факторизуется относительно

Пусть – некоторый

-проектор группы

. Тогда

является

-проектором группы

и

Рассмотрим два случая.

1) Тогда

– ди-

-разложимая группа и для

все условия теоремы выполняются. Поэтому найдется такой

, что

– факторизуемый

-проектор группы

, т.е.

и

Следовательно,

– факторизуемый

-проектор относительно

2) Пусть для любой минимальной нормальной подгруппы

и любого

-проектора

группы

. Так как

, то

.

Если – не примитивная группа, то ее любая примитивная факторгруппа принадлежит

. Так как

– класс Шунка, то

и

является своим

-проектором. Получили противоречие с выбором

.

Пусть – примитивная группа. Тогда по теореме Бэра

имеет единственную минимальную нормальную подгруппу

такую, что

–

-группа,

– некоторое простое число.

и

, где

– некоторая максимальная подгруппа группы

. Ясно, что

и

является

-проектором группы

.

Пусть . Тогда из того, что

–

-класс Шунка, следует

. Противоречие с выбором

.

Остается принять, что Следовательно,

является силовской

-подгруппой, а

–

-холловской подгруппой.

Следовательно, поэтому найдется

такой что

факторизуется относительно

Теорема доказана.

Так как всякая насыщенная формация является классом Шунка, то справедливо следующее:

3.2.2 С л е д с т в и е. Пусть – насыщенная формация, причем

Если

– ди-

-разложимая группа, причем

то в

имеется хотя бы один факторизуемый относительно

-проектор.

3.2.3 О п р е д е л е н и е. Подгруппу группы

назовем

-картеровой подгруппой, если

-нильпотентна,

и

содержит некоторую

-холловскую подгруппу группы

.

3.2.4 С л е д с т в и е. Пусть – ди-

-разложимая группа. Тогда в

имеется хотя бы одна факторизуемая относительно

-картерова подгруппа.

3.2.5 О п р е д е л е н и е. Подгруппу группы

назовем

-гашюцевой подгруппой, если

-сверхразрешима, содержит некоторую

-холловскую подгруппу группы

и для

есть составное число.

3.2.6 С л е д с т в и е. Пусть – ди-

-разложимая группа. Тогда в

имеется хотя бы одна факторизуемая относительно

-гашюцева подгруппа.

Заключение

Трудно представить себе в настоящее время теорию групп без вопросов, относящихся к группам, разложимым в произведение своих подгрупп.

Вот уже на протяжении свыше 70-ти лет исследования в абстрактной теории бесконечных групп продолжают интенсивно развиваться, причем темп и глубина исследований возрастают по мере удаления от момента получения основопологающих результатов. Самое удивительное в развитии этой теории то, что ни одно из основных ее направлений, возникших в 30–40-х годах XX в., не утратило значения до настоящего времени. Более того, на их основе возникают новые перспективные ответвления в теории групп, со временем превращающиеся в самостоятельные направления.

Получено немало важных результатов. Они отражены в ряде обзоров (см., например, Чунихин [6, 7], Азлецкий [8, 9], Кострикин [10], Чунихин, Шеметков [11], Мазуров [12], Казарин [13]).

В настоящей работе были исследованы свойства конечных разрешимых групп, представимых в произведение своих двух -разложимых подгрупп.

В классе всех конечных разрешимых групп, когда где

– класс Шунка, и если

– ди-

-разложимая группа, причем

, то был получен следующий результат: в

имеется хотя бы один факторизуемый относительно

-проектор.

Результаты настоящего диплома являются новыми и могут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов на математических специальностях в высших учебных заведениях.

Литература

11[] Frobenius G., Stickelberger L. Uber Gruppen von vertauschbaren Elementen // J. Reine Angew. Math. – 1879. – 86, N4, S.217–262.

22[] Huppert B. Uber das Produkt von paarweise vertauschbaren zyklischen Gruppen. // Math. Z. – 1953. – 58, N3. – S. 243–264.

33[] Amberg B., Hofling B. // Arch. Math. – 1994. – V.63. – P. 1–8.

44[] Wielandt H. Uber Produkte von nilpotenten Gruppen. // III.J. Math. – 1958. – 2, N4B. – S.611–618.

55[] Васильев А.Ф. Новые свойсва конечных динильпотентных групп // Вести НАН Беларуси. – 2004. – N 2. – C.29–33.

66[] Чунихин С.А. О некоторых направлениях в развитии теории конечных групп за последние годы. // Успехи мат. наук. – 1961. – 16, N4. – С. 31–50.

77[] Чунихин С.А. Подгруппы конечных групп. – Мн: Наука и техника, 1964. – 158с.

88[] Азлецкий С.П. О факторизации конечных групп. // Мат.зап. Урал.ун-та. – 1962. – 3, N3. – С. 3–17.

99[] Азлецкий С.П. О факторизации конечных групп. // Мат.зап. Урал.ун-та. – 1966. – 5, N3. – С. 3–14.

1010[] Кострикрн А.И. Конечные группы. В кн.: Алгебра – 1964 (Итоги науки). – М: ВИНИТИ АН СССР. – 1966. – С.7–46.

1111[] Чунихин С.А., Шеметков Л.А. Конечные группы. В кн.: Алгебра, Топология. Геометрия 1969 (Итоги науки). – М: ВИНИТИ АН СССР. – 1964. – 154, N3. – С.7–70.

1212[] Мазуров В.Д. Конечные группы. В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия 1976 (Итоги науки и техники). – М: ВИНИТИ АН СССР. – 1977. – С.5–56.

1313[] Казарин Л.С. Группы с факторизацией. – Ярославль, 1981.–79с.–Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 3900–81 Деп.

1414[] Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов. – Гомель, 2003.

1515[] Шеметков Л.А. Формации конечных групп. – М: Наука, 1978. – С.165–204.

1616[] Ballester-Bolinches A., Perez-Ramos M.D. // J. Algebra. – 1996. – V. 179. – P. 905–917.

1717[] Черников С.Н. О дополняемости силовских П-подгрупп в некоторых классах конечных групп // Мат.сб. – 1955. – 37, N3. – С.557–566.

1818[] Сесесекин Н.Ф. О произведении финитно связанных абелевых групп // Сиб.мат. журн. – 1968. – 9, N6. – С.1427–1430.

1919[] Kegel O.H. On the solvability of some factorized linear groups // III.J. Math. – 1965. – 9, N3. – P. 535–547.

2020[] Amberg B. Artinian and Noetherian factorized groups // Rend. Semin Math. Univ. Padova/ – 1976 – 55/ – P. 105–122.

2121[] Amberg B. Soluble products of two locally finite groups with min- for every prime

// Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. – 1983. – 69. – P.7–17.

2222[] Чунихин С.А. О существовании подгрупп у конечной группы. В кн.: Труды семинара по теории групп. – М.; Л.:ГОНТИ. – 1938. – С. 106–125.

2323[] Wielandt H. Uber das Produkt von paarweise vertauschbaren nilpotenten Gruppen // Math.Z. – 1951. – 55, N1. – S.1–7.

2424[] Huppert B. Endliche Gruppen.I. – Berlin etc.: Springer, 1967. – 795s.

Характеристики

Список файлов ВКР