Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

элементами, таких, что

установил Кегель [19] (см. в [19] лемму 1.3 и ее доказательство.)

1.2.13 Л е м м а (Амберг [20]). Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами

и

и

– некоторые подгруппы конечных индексов соответственно групп

и

– подгруппа, порожденная

и

Тогда индекс подгруппы

в

конечен.

1.2.14 Л е м м а (Амберг [21]). Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами

и

с конечными фактор-группами

и

Тогда фактор-группа

конечна и

1.2.15 С л е д с т в и е. Пусть – группа, факторизуемая

попарно перестановочными подгруппами

,

с конечными фактор-группами

Тогда фактор-группа

конечна и

.

1.2.16 Л е м м а. Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами

и

и

– некоторые непустые инвариантные множества элементов соответственно групп

и

Тогда для любых элементов

и

группы

найдется такой ее элемент

что

и

1.2.17 Л е м м а (Виландт [16]). Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами

и

Тогда для любых элементов

и

группы

во-первых, найдется такой ее элемент

что

и

и, во-вторых, выполняется соотношение

1.2.18 Л е м м а (Виландт [16]). Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами

и

– некоторая подгруппа группы

Следующие условия равносильны:

1) подгруппа факторизуема относительно разложения

и содержит пересечение

2) каковы бы ни были элементы и

произведение

содержится в

в том и только том случае, когда элементы

и

содержатся в

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполняется условие 1). Покажем, что выполняется условие 2).

Пусть и

– элементы, для которых

Так как подгруппа

факторизуема относительно разложения

то

для некоторых элементов

и

Отсюда получаем

и

Итак, при условии 1) выполняется условие 2). Обратное очевидно. Лемма доказана.

1.2.19 С л е д с т в и е. Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами

и

– подгруппа группы

содержащая пересечение

и факторизуемая относительно разложения

и

– некоторые подгруппы соответственно групп

и

содержащие пересечение

При этих условиях подгруппа

факторизуема подгруппами

и

тогда и только тогда, когда

и

1.2.20 Л е м м а (Амберг [20]). Пусть – группа, факторизуема двумя подгруппами

и

. Тогда пересечение произвольной совокупности подгрупп группы

, факторизуемых относительно разложения

и содержащих пересечение

, является подгруппой, факторизуемой относительно этого разложения.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – факторизуемые относительно разложения

подгруппы группы

, каждая из которых содержит пересечение

Если для некоторых элементов

и

произведение

содержится в

то оно содержится и в каждой подгруппе

Поэтому ввиду леммы 1.2.11 элементы

и

содержатся в каждой подгруппе

и, значит, в

Следовательно, снова ввиду леммы 1.2.11 подгруппа

факторизуема относительно разложения

Лемма доказана.

1.2.21 Л е м м а (Амберг [20]). Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами

и

– ее подгруппа, факторизуемая относительно разложения

и содержащая пересечение

Тогда

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – произвольный элемент множества

Тогда

для некоторых элементов

и

Отсюда

Так как произведение

принадлежит

и

содержит пересечение

то ввиду леммы 1.2.11

Поэтому элемент

принадлежит

Таким образом,

следовательно, соотношение (4) выполняется. Лемма доказана.

1.2.22 Л е м м а (Амберг [20]). Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами

и

– некоторая подгруппа группы

перестановочная с подгруппами

и

– пересечение всех подгрупп группы

факторизуемых относительно разложения

и содержащих подгруппы

и

и

Тогда выполняются соотношения

1.2.23 Л е м м а. Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами

и

– некоторая подгруппа группы

– пересечение всех подгрупп группы

факторизуемых относительно разложения

и содержащих подгруппы

и

Пусть для некоторой подгруппы

факторизуемой относительно разложения

и содержащей подгруппы

и

подгруппа

перестановочна с подгруппами

и

Тогда выполняются соотношения

1.2.24 Л е м м а (Чунихин [22]). Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами

и

;

– инвариантная подгруппа группы

, содержащаяся в пересечении

Тогда нормальное замыкание подгруппы

в

совпадает с ее нормальным замыканием в

1.2.25 Л е м м а (Виландт [23], Хупперт [24], гл. IV, предложение 4.6). Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами

и

;

– непустое множество простых чисел. Тогда если в группах

и

силовские

-подгруппы сопряжены (в часности, если

состоит из одного простого числа), то найдутся силовские и одновременно холловы

-подгруппы

и

соответственно групп

и

такие, что

1.2.26 Л е м м а (Н.С. Черников [25], Зайцев [26]). Пусть – конечная группа, факторизуемая двумя подгруппами

и

;

и

– некоторые подгруппы соответственно групп

и

– подгруппа, порожденная подгруппами

и

Тогда выполняется следующее неравенство для индексов:

1.2.27 Л е м м а (Виландт [23]). Пусть – конечная группа, факторизуемая

попарно перестановочными нильпотентными подгруппами

Если произведение каждых двух подгрупп

является разрешимой группой, то группа

разрешима.

1.2.28 Л е м м а. Пусть группа факторизуема двумя подгруппами – инвариантной подгруппой

и некоторой подгруппой

– непустое множество элементов подгруппы

такое, что

Тогда выполняются соотношения

1.2.30 Л е м м а (Н.С. Черников [27]). Пусть – конечная группа, разложимая в произведения

некоторых подгрупп

и

и нильпотентной подгруппы

– подгрупа группы

содержащая

такая, что пересечения

и

нильпотентны. Тогда если подгруппы

и

инваривнтны соответственно в

и

то их нормальные замыкания в

нильпотентны.

1.2.31 Л е м м а. Произвольная группа, которая может быть получена каким-нибудь конечным множеством своих субнормальных нильпотентных подгрупп конечного индекса, нильпотентна.

1.2.32 Т е о р е м а (Ф. Холл [28]). Для произвольной конечной разрешимой группы справедливо утверждение: при любом непустом множестве

простых чисел силовские

-подгруппы группы

сопряжены в ней и являются ее холловыми

-подгруппами.

1.2.33 Т е о р е м а (Ф. Холл [28,30], Чунихин [29]).

1) Конечная группа обладающая для любого

холловой

-подгруппой, разрешима.

2) Конечная группа представимая в виде произведения некоторых своих попарно перестановочных

-подгрупп по разным простым

(или, что равносильно, обладающая полной силовской базой, представимая в виде произведения некоторых своих попарно перестановочных примарных подгрупп), разрешима.

1.2.34 Т е о р е м а (Ф. Холл [28,30]). Конечная группа разрешима тогда и только тогда, когда она разложима в произведение попарно перестановочных -подгрупп по разным простым

1.2.35 Т е о р е м а (Кегель [31] – Виландт [4]). Конечная группа, представимая в виде произведения некоторых своих попарно перестановочных нильпотентных подгрупп, разрешима.

1.2.36 Т е о р е м а. Пусть – некоторое множество простых чисел;

– группа, факторизуемая подгруппами

и

где

–

-группа, а

такова, что

Тогда

является силовской

-подгруппой группы

1.2.37 Л е м м а. Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами

и

где

–

-, а

–

-подгруппа группа

Если в

все силовские

-подгруппы или все силовские

-подгруппы сопряжены, то

1.2.38 Л е м м а (Гардинер, Хартли, Томкинсон [33]). Пусть – группа,

– ее инвариантная подгруппа,

–

-подгруппа группы

для некоторого непустого множества

простых чисел. Если

является силовской

-подгруппой группы

и

– силовской

-подгруппой группы

то

является силовской

-подгруппой группы

1.2.39 Т е о р е м а (С.Н. Черников [34, 35]). Группа, факторизуемая двумя нильпотентными подгруппами, конечными над своими центрами, разрешима.

Строение групп, представимых в произведение ди- -разложимых групп

Строение примитивных ди- -разложимых групп

2.1.1 Л е м м а. Пусть группа есть произведение своих подгрупп

и

,

– некоторое множество простых чисел. Тогда справедливы следующие утверждения.

1) пусть является

Характеристики

Список файлов ВКР