Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

и

получаем, что

,

. Значит,

– наследственная формация. Поэтому

,

. Заметим, что

. Аналогично,

. Но тогда

. Из

и

следует, что

. Получили противоречие с выбором

.

Итак, – примарная группа, а значит,

бипримарна. По 3) теоремы 2.2.4

дисперсивна. Следовательно,

– максимальная подгруппа группы

. Так как

, то

. Это означает, что

–

-абнормальная максимальная подгруппа группы

. Ясно, что подгруппа

ненормальна в

. Получили противоречие с

. Итак, наше допущение неверно. Теорема доказана.

Пусть – формация всех сверхразрешимых групп. Подгруппа

разрешимой группы

является

-субнормальной в

тогда и только тогда, когда либо

, либо существует максимальная цепь подгрупп

такая, что

– простое число для любого

.

2.2.5 Т е о р е м а (Васильев А.Ф. [5]). Группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда её можно представить в виде произведения двух своих нильпотентных -субнормальных подгрупп.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сверхразрешима. Тогда коммутант

нильпотентен. Возьмем добавление

к

в

. Следовательно,

Отсюда и из

получаем, что . Итак,

, где

и

– нильпотентные

-субнормальные подгруппы группы

.

Обратное утверждение следует из теоремы 2.2.4 ввиду того, что любая минимальная несверхразрешимая бипримарная подгруппа является дисперсивной.

2.2.6 Т е о р е м а. Пусть – наслественная насыщенная формация, причем

и

– ди-

-разожимая группа. Тога справиливы следующие утверждения:

1) если

и

то

2) если

и

то

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Докажем утверждение 1). Пусть группа – наименьший по порядку контрпример к утверждению 1) теоремы. Тогда

– ди-

-нильпотентная группа, где

и

нормальна в

,

–

-достижимая подгруппа в

, но сама группа

не принадлежит формации

. Если

нильпотентна, то из насыщенности

и

следует, что

. Противоречие с выбором группы

.

Пусть ненильпотентна и

– минимальная нормальная подгруппа группы

. Тогда ввиду 1) леммы 2.2.3 все условия утверждения 1) теоремы 2.2.4 сохраняются для факторгруппы

. Поэтому в силу выбора

получаем, что

. Тогда

, где

–

-группа (

– некоторое простое число) и

для некоторой максимальной подгруппы

группы

.

Если то из

и

следует, что

Противоречие с выбором

Будем считать, что

По 3) теоремы 2.1.2 можно считать, что

– силовская

-подгруппа, а

– холлова

-подгруппа группы

либо

– холлова

-подгруппа, а

– силовская

-погруппа.

Рассмотрим вначале первый случай. Тогда и

Так как все дополнения к

в

сопряжены, то можно считать, что

Тогда из

и

следует, что

. Из

и

следует, что

. Следовательно,

. Так как

, то

–

-абнормальная подгруппа в

Ясно, что

ненормальна в

Получили противоречие с

-достижимостью подгруппы

Рассмотрим второй случай. Пусть – силовская

-группа, а

– холлова

-группа. В этом случае

и

причем

Получили противоречие. Следовательно,

и

– нильпотентная

-группа. Снова получили противоречие. Так как любая

-субнормальная подгруппа является

-достижимой, то утверждение 2) следует из утверждения 1). Теорема доказана.

Факторизуемые подгруппы ди- -разложимых групп

-классы Шунка и их проекторы

Для доказательства основных результатов нам потребуются некоторые факты, получены в работе Васильевой Т.И. [34].

В каждой разрешимой группе -полупроекторы сопряжены и совпадают с

-проекторами. Однако, в

-разрешимых группах указанное утверждение не всегда имеет место. Введение

-класса Шунка

(т.е. класса Шунка, для которого из условия

, всегда следует

) дало возможность доказать сопряженность

-полупроекторов в

-разрешимых группах.

3.1.1 Л е м м а. Пусть –

-класс Шунка;

– нормальная

-подгруппа группы

;

–

-полупроектор

Тогда

является

-полупроектором группы

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду того, что и

имеем

Тогда по определению

-класса Шунка

Предположим, что и

, где

– произвольная нормальная в

подгруппа. Тогда

Из определения -полупроектора получаем

Лемма доказана.

3.1.2 Л е м м а. Пусть –

-класс Шунка;

– нильпотентная нормальная подгруппа

-разрешимой группы

и

Тогда:

1) существует такая максимальная -подгруппа

группы

что

2) любые две такие максимальные -подгруппы

и

группы

что

сопряжены с помощью элемента из

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду насыщенности можно считать, что

не содержится в

. Поэтому,

где

есть добавление к

в

. Следовательно, имеем

. Тогда

так как , поэтому

. Выбрав в

максимальную

-подгруппу

, содержащую

, получаем 1).

Докажем 2) индукцией по . Предположим, что

– группа наименьшего порядка, в в которой существуют такие максимальные

-подгруппы

и

, что

, но

и

не сопряжены с помощью элемента из

. Тогда

не принадлежит

и найдется примитивная фактор-группа

, не принадлежащая

, при этом

не содержится в

и

.

Из примитивности следует существование максимальной подгруппы

с ядром 1. Поскольку

максимальна в

и

, имеем

. Поэтому

и

Отсюда и из максимальности в

получаем, что

– минимальная нормальная подгруппа группы

.

Если –

-группа, то лемма 3.1.1 дает противоречие

. Значит,

– абелева

-группа,

. Тогда и

и

– максимальные подгруппы в

с единичными ядрами,

. Тогда имеем

где . Так как

, то найдутся такие

, что

.

Тогда Откуда

.

Рассмотрим . Подгруппа

нильпотентна и нормальна в

и

– максимальные

-подгруппы в

и

. По индукции найдется такой элемент

, что

. Лемма доказана.

3.1.3 Л е м м а. Пусть –

-класс Шунка;

–

-разрешимая группа;

– нильпотентная нормальная подгруппа в

;

–

-полупроектор

и

–такая максимальная

-подгруппа группы

, что

. Тогда

–

-полупроектор группы

.

3.1.4 Л е м м а. Пусть –

-класс Шунка;

–

-разрешимая группа;

– такой нормальный ряд группы

, что

–

– группа или нильпотентная группа,

. Подгруппа

группы

является

-полупроектором тогда и только тогда, когда

– максимальная

-подгруппа группы

.

3.1.5 Т е о р е м а. Пусть –

-класс Шунка;

–

-полупроектор

-разрешимой группы

. Тогда

будет

-полупроектором и в любой содержащей его подгруппе

.

3.1.6 С л е д с т в и е. Для -класса Шунка

в любой

-разрешимой группе понятия

-полупроектора и

-проектора совпадают.

Следующие две теоремы несут информацию о сопряженности и строении -проекторов.

3.1.7 Т е о р е м а. Пусть –

-класс Шунка;

–

-разрешимая группа;

и

–

-проекторы группы

;

–

-группа или нильпотентная группа. Тогда

и

сопряжены с помощью элемента из

3.1.8 Т е о р е м а. Для -класса Шунка

в каждой

-разрешимой группе любой

-проектор содержит некоторую

-холловскую подгруппу группы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть –

-разрешимая группа наименьшего порядка, для которой теорема неверна. Тогда в ней существует

-проектор

, который не содержит ни одной

-холловской подгруппы группы

. Выберем в

минимальную нормальную подгруппу

. По индукции

-проектор

содержит некоторую

-холловскую подгруппу

группы

. Тогда

-холловская подгруппа

группы

содержится в

. Если

–

-группа, то

и, используя лемму 1, получаем

. Противоречие. Поэтому

– абелева

-группа для некоторого

. Тогда

для

, что противоречит выбору

Теорема доказана.

Следующая теорема указывает на существование и сопряженность подгрупп, являющихся обобщением подгрупп Картера в -разрешимой группе.

3.1.9 Т е о р е м а. Любая -разрешимая группа

обладает по крайней мере одной

-картеровой подгруппой и любые две из них сопряжены в

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – класс

-нильпотентных групп. Так как

является насыщенной формацией и из условия

всегда следует, что

, то

есть

-класс Шунка.

Пусть –

-проектор группы

. Тогда

-нильпотентна и по теореме 3 содержит некоторую

-холловскую подгруппу группы

. Для

можно выбрать такую подгруппу

Характеристики

Список файлов ВКР