86358 (589968), страница 4
Текст из файла (страница 4)
-группой, а
и
–
-группами. Тогда найдутся холловы
-подгруппы
и
подгрупп
и
соответственно такие, что
есть холлова
-подгруппа
;
2) если подгруппы и
-замкнуты, то
.
2.1.2 Т е о р е м а (Васильев А.Ф. [5]). Пусть 
– ненильпотентная разрешимая группа, где
и
–
-разложимые подгруппы группы
. Если
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
, где
и
, то справедливы следующие утверждения:
1) 
;
2) 
;
3) если 
, то
является
-группой, а
–
-группой.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим справедливость утверждения 1). Так как ненильпотентна,
и
– минимальная нормальная подгруппа в
, то в
найдется максимальная подгруппа
такая, что
. Из единственности
и
следует, что
, т.е.
. Кроме того,
.
Ввиду 1) леммы 2.1.1 в и
существуют холловы
-подгруппы
и
соответственно и силовские
-подгруппы
и
соответственно такие, что
есть холлова
-подгруппа, а
есть силовская
-подгруппа группы
.
По условию 
и
. Поэтому
Откуда 
, так как
. Но
. Значит,
.
Рассмотрим пересечение 
. Так как
,
–
-группа и все дополнения к
в
сопряжены, то можно считать, что
. Возьмем подгруппу Фиттинга
подгруппы
. Поэтому,
. Следовательно,
–
-группа. Так как
, то
. Поэтому
. Отсюда и из
следует, что
. Заметим, что
является силовской
-подгруппой в
. Поэтому
. Ввиду минимальности
либо
, либо
. Случай
невозможен, так как
. Поэтому
, т.е.
. Теперь из
,
и
получаем, что
–
-группа. Из
-разложимости
и
следует, что
. Но тогда
. Это означает, что
.
Теперь из и
, ввиду
и
получаем, что
. Утверждение 1) доказано.
Докажем 2). Исследуем пересечения 
и
. Заметим, что
и
где 
и
. Покажем, что
. Допустим противное. Если
делит
, то в
найдется
-подгруппа
. Так как
, то
есть -разложимая группа. Аналогично,
–
-разложимая группа. Отсюда и из того, что
и
есть холловы
-подгруппы в
и
получаем, что
. По доказанному выше подгруппа Фиттинга
из
и
являются
-группами. Следовательно,
. Противоречие. Тогда
есть
-группа. Это невозможно, так как
. Итак,
.
Покажем, что 
. Так как
, то
. С другой стороны
Значит, 
, т.е.
.
Итак, 
. Обозначим
и
. Так как
, то
. Из
-разложимости
и
следует, что
и
. Тогда
. Ввиду того, что
, имеем
Значит, 
и
.
Покажем, что 
и
являются нормальными подгруппами группы
. Так как
и
–
-разложимы и
, то по 2) леммы 2.1.1 получаем
. Так как
–
-группа и
, то
. Значит,
, т.е.
. А значит,
. Из
следует, что
. Отсюда и из
получам, что
. Аналогично
. Отсюда подгруппа
нормализует
, а
нормализует
. Следовательно, холлова
-подгруппа
группы
нормализует подгруппы
и
. Так как
, то
нормализует
. Далее, если
, то
. Таким образом, и
нормализует
. Следовательно, силовская
-подгруппа
группы
нормализует
. Тогда
нормальна в
. Аналогично доказывается, что
.
Из минимальности следует, что либо
, либо
. Рассматривая отдельно случаи
,
и
,
, нетрудно видеть, что
. Утверждение 2) доказано.
Установим справедливость 3). Пусть . Из
-разложимости
и
следует, что
. Тогда
является холловой
-подгруппой группы
. Из
и
-разложимости
следует, что
. По доказанному выше (см. доказательство утверждения 1))
–
-группа. Следовательно,
. Итак,
является силовской
-подгруппой, а
– холловой
-подгруппой группы
. Лемма доказана.
Некоторые признаки приналежности насыщенной формации ди-![]()
-разложимых групп
-разложимых групп 2.2.1 О п р е д е л е н и е. Пусть – непустая формация. Подгруппа
группы
называется:
1) -субнормальной в
, если либо
, либо существует максимальная цепь подгрупп
такая, что
для всех
(обозначается
);
2) -достижимой в
, если существует цепь подгрупп
такая, что либо подгруппа
субнормальна в
, либо
для любого
(oбозначается
).
Нам потребуются известные свойства -достижимых и
-субнормальных подгрупп, которые собраны в следующих леммах.
2.2.2 Л е м м а. Пусть – непустая наследственная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если – подгруппа группы
и
, то
;
2) если
,
– подгруппа из
, то
(сответственно
3) если 
и
-субнормальны (
-достижимы) в
, то
-субнормальна (соответственно
-достижима) в
;
4) если все композиционные факторы группы принадлежат формации
, то каждая субнормальная подгруппа группы
является
-субнормальной;
5) если
, то
(соответственно
) для любого
.
2.2.3 Л е м м а. Пусть – непустая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если 
и
, то
(соответственно
2) если
и
, то
(соответственно
3) если 
и
, то
(соответственно
).
2.2.4 Т е о р е м а (Васильев А.Ф. [5]). Пусть – насыщенная наследственная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны.
1) если , где
и
–
-достижимые нильпотентные подгруппы группы
и
, то группа
;
2) если , где
и
–
-субнормальные нильпотентные подгруппы группы
и
, то группа
;
3) любая бипримарная минимальная не -группа является дисперсивной.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Нетрудно видеть, что всякая -субнормальная подгруппа в
является
-достижимой. Поэтому из 1) следует 2).
Докажем, что из 2) следует 3). Пусть – бипримарная минимальная не
-группа. Предлоложим, что
недисперсивна. Так как
разрешима и ненильпотентна, то
. Так как
– собственная подгруппа из
, то найдется
и силовская
-подгруппа
из
такая, что
. Но тогда
, где
и
– некоторая максимальная подгруппа из
. Из
следует, что
, а значит,
. Следовательно,
. Отсюда и из 1) леммы 2.2.2 следует, что любая силовская
-подгруппа из
является
-субнормальной в
. Если
– какая-либо силовская
-подгруппа группы
,
, то из недисперсивности
следует, что
. Из
и наследственности формации
вытекает, что
. Ввиду 2) леммы 2.2.3 получаем, что
. Так как
и
, то
. Отсюда и из наследственности формации
следует, что
. Из 3) леммы 2.2.3 вытекает, что
. Таким образом,
факторизуется своими
-субнормальными силовскими подгруппами. Очевидно,
. Поэтому по 2) теоремы 2.2.4
. Противоречие с
. Следовательно,
дисперсивна.
Докажем, что из 3) следует 1). Пусть группа – наименьший по порядку контрпример к утверждению 1) теоремы. Тогда
, где
и
,
–
-достижимые
-подгруппы в
, но сама группа
не принадлежит формации
. По теореме Виландта-Кегеля
разрешима. Если
нильпотентна, то из насыщенности
и
следует, что
. Противоречие с выбором группы
. Следовательно,
ненильпотентна. Пусть
– минимальная нормальная подгруппа группы
. Тогда ввиду 1) леммы 2.2.3 все условия утверждения 1) теоремы 2.2.4 сохраняются для факторгруппы
. Поэтому в силу выбора
получаем, что
. Так как
– формация, то
– единственная минимальная нормальная подгруппа группы
. Из насыщенности
следует, что
. Тогда
, где
–
-группа (
– некоторое простое число) и
для некоторой максимальной подгруппы
группы
.
По 3) теореме 2.1.2, не теряя общности рассуждений, можно считать, что – силовская
-подгруппа, а
– холлова
-подгруппа группы
. Ясно, что
. Пусть
– произвольная собственная подгруппа группы
. По теореме Холла
, где
– силовская
-подгруппа, а
– холлова
-подгруппа группы
. Заметим, что
, а
для некоторых элементов
. Следовательно,
динильпотентна с нильпотентными факторами
и
. Далее из
и
следует по 3) леммы 2.2.3, что
и
. Из
и насыщенности
вытекает, что
и
. Тогда по 2) леммы 2.2.2
и
. Следовательно, ввиду выбора
получаем, что
. Итак,
– минимальная не
-группа. Покажем, что
бипримарна. Так как все дополнения к
в
сопряжены, то можно считать, что
. Тогда из
и
следует, что
. Значит,
. Следовательно,
является
-группой. Покажем, что
–
-группа, где
– некоторое простое число, отличное от
. Предположим, что
и
. Тогда найдутся подгруппы
и
в
такие, что
и
, где
– силовская
-подгруппа, а
– холлова
-подгруппа из
. Рассмотрим подгруппы
,
. Так как
, то
,
. Так как по условию формация
насыщена, то она является локальной. Пусть
– максимальный внутренний локальный экран формации
, который существует и единственен. Ввиду
и
получаем
. Следовательно,
–
-группа,
. Из
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
