86276 (589956), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Отже, якщо , те ізоморфна , де й - прості числа.

Нехай тепер . Припустимо, що не є мінімальною нормальною в підгрупою, і нехай - мінімальна нормальна в підгрупа, що втримується в. По індукції, , де - нильпотентна, а ізоморфна або . Тому що , те - власна в підгрупа, і для її прообразу в групі по індукції одержуємо, що , де або . Підгрупа характеристична в , а нормальна в , тому нормально в. Тому що

те

Оскільки для несверхразрешимої підгрупи з існує нильпотентна підгрупа така, що , те

буде нильпотентною підгрупою.

Тепер розглянемо випадок, коли - мінімальна нормальна в підгрупа. Припустимо, що комутант - власна в підгрупа. Тому що

те

З мінімальності одержуємо, що

Тому що

де й - прості числа, то в цьому випадку теорема доведена.

Отже, нехай . Якщо - власна підгрупа у своєму централізаторі, то із простоти треба, що втримується в центрі . Тепер група ізоморфна або по теоремі VI.25.7 [14].

Нехай само централізована. Оскільки розв'язно, те - -група для деякого простого . Допусти, що існує простої , що ділить порядок , і нехай - силовська -підгрупа з . Якщо підгрупа сверхразрешима, то нильпотентна й не само централізована. Якщо не сверхразрешима, то за умовою теореми існує нильпотентна підгрупа така, що . Але тепер

буде розв'язної як добуток двох нильпотентних підгруп, протиріччя. Отже, - найбільше просте число, що ділить порядок .

Допустимо, що не втримується в. Тоді - власна в підгрупа й . Тому що , і - -група, те - група непарного порядку. Підгрупа має порядок і - просте число. Тому й тепер , а фактор-група

буде розв'язної як добуток двох нильпотентних підгруп. Протиріччя.

Отже, утримується в і із й нильпотентності одержуємо, що - -група для найбільшого простого , що ділить порядок . З теореми 2.1 [15] одержуємо, що , а . Але тепер - підгрупа непримарного індексу. Тому вона сверхразрешима, а тому що її порядок дорівнює , те нильпотентна, і знову не само централізована. Протиріччя.

Теорема доведена повністю.

Розглянемо доказ наслідку.

Proof. Нехай - кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу сверхразрешимі. Якщо - несверхразрешима в підгрупа, те , де - просте число. Тепер для силовської -підгрупи з , тобто група задовольняє умові теореми. Тому

або

де - нильпотентна група. Якщо

те в є несверхразрешима підгрупа індексу . Тому що цей індекс повинен бути примарним, те або , тому або , а - або -група, або -група. Якщо

те в є несверхразрешимая підгрупа Шмидта порядку , а її індекс дорівнює й повинен бути примарним, тобто повинна бути -групою. Наслідок доведений.

4. Використовувані результати

Лема 4.1. Нехай . Тоді:

(1) якщо , , те ;

(2) якщо , , те .

Наслідок 4.2. Якщо нильпотентна, те нильпотентна.

Теорема 4.3. Нехай , і . Якщо нильпотентна, то нильпотентна.

Теорема 4.4. (1) Центр неодиничної нильпотентною групи відмінний від одиниці й .

(2) У нильпотентною групі кожна власна підгрупа відмінна від свого нормализатора.

(3) У нильпотентною групі перетинання неодиничної нормальної підгрупи із центром групи відмінно від одиниці й .

Лема 4.5. Нехай - нормальна підгрупа групи . Тоді:

(1) якщо , те й ;

(2) якщо , те й ;

(3) ;

(4) .

Теорема 4.6. Група нильпотентна тоді й тільки тоді, коли її комутант утримується в підгрупі Фратіні.

Теорема 4.7. Нехай . Тоді:

(1) ;

(2) ;

(3) якщо , те ;

(4) якщо й , те .

Лема 4.8. Тоді й тільки тоді підгрупа є додаванням до нормальної підгрупи в групі , коли й .

Наслідок 4.9. (1) Якщо - головний фактор кінцевої групи , те й

(2) Якщо - головний фактор порядку кінцевої групи , те - циклічна група порядку, що ділить .

Теорема 4.10. (1) Якщо існує натуральне число таке, що , то група нильпотентна.

(2) Щабель нильпотентності нильпотентною групи є найменше натуральне число , для якого

Лема 4.11. Нехай . Тоді:

(1) якщо , те або , або й ;

(2) якщо абелева й для деякої власної підгрупи групи , те ;

(3) якщо й , те .

Висновок

У даній дипломній роботі викладені основи теорії нильпотентної довжини кінцевої розв'язної групи, проведене дослідження величини нильпотентної довжини кінцевих розв'язних груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп. У роботі розглянуті наступні питання: підгрупа Фиттинга кінцевої розв'язної групи і її властивості; нильпотентна довжина й інші інваріанти кінцевої розв'язної групи; ознаки можливості розв'язання кінцевої групи з відомими додаваннями до максимальних підгруп; знаходження величини нильпотентної довжини розв'язної групи з відомими додаваннями до максимальних підгруп.

У першому розділі "Підгрупа Фиттинга і її властивості" вивчені властивості підгрупи Фиттинга. Доведено теореми К. Дерка й Монахова В.С.

У другому розділі " - довжина -розв'язної групи" дані необхідні визначення й доведене теорема.

У главі "Група з нильпотентними додаваннями до підгруп" доведена важлива теорема:

Теорема. Кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимих підгруп ізоморфна або , де - нильпотентна група, а й - прості числа.

Також доведений наслідок із цієї теореми.

Наслідок. Кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу понад розв'язні, ізоморфна або , де - - група, або , де - -група.

Список використаних джерел

[1] В.А. Белоногов. Задачник по теорії груп. - К., 2000.

[2] С.С.Левищенко. //Деякі питання теорії груп. – К., 1975. С. 173-196.

[3] В.С. Монахов. Введення в теорію кінцевих груп і їхніх класів. – К., 2000

[4] В.С. Монахов. Нерозв'язні кінцеві групи з нильпотентними додаваннями. – К., 2004

[5] М.В.Селькин. Максимальні підгрупи в теорії класів кінцевих груп. - К., 1997.

[6] М.Хол. Теорія груп. – К., 2005

[7] Л.А.Шеметков. Формації кінцевих груп. – К., 2006

[8] Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Формації алгебр із що доповнюються підформаціями // Укр. мат. журн. - 1991. - Т. 43, № 7, 8. - С. 1008-1012.

[9] Скиба А.Н. Алгебра формацій. – К., 2004

[10] Черніков С.М. Групи із заданими властивостями системи підгруп. – К., 2000

[11] Guo Wenbin. Local formations in which every subformation of type has a complement // Chinese science Bulletin. - 1997. - Vol. 42, № 5. - P. 364-368.

[12] Hall P. A characteristic property of soluble groups // J.London Math. Soc. - 1937. - 12. - P. 198-200.

[13] Huppert B. Endliche Gruppen. I. Berlin-Heidelberg-New York, 1976.

[14] Монахов В. С. Кінцеві групи. – К., 2004

Характеристики

Список файлов ВКР