86276 (589956), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Доводиться

Теорема D. Якщо - -розв'язна група, де - непарне просте число, то

(i)

(ii) якщо не є простим числом Ферма, і , якщо - просте число Ферма. Крім того, ці оцінки не можна поліпшити.

У главі "Група з нильпотентними додаваннями до підгруп" доведена важлива теорема.

Визначення. Група називається - сверхразрешимою, якщо її головні фактори або -групи, або мають прості порядки. -Сверхразрешимой називають групу, у якої фактори головного ряду або мають порядок , або є -групами. Група, у якої всі фактори головного ряду мають прості порядки, називається сверхразрешимой.

Теорема E. Кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимим підгруп ізоморфна або , де - нильпотентна група, а й - прості числа.

Також доведений наслідок із цієї теореми.

Наслідок. Кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу сверхразрешимі, ізоморфна або , де - - група, або , де - -група.

1. Підгрупа Фиттинга і її властивості

Добуток всіх нормальних нильпотентних підгруп групи називають підгрупою Фиттинга групи й позначають через . Множина простих дільників порядку групи позначається через а найбільшу нормальну -підгрупу групи - через .

Лема 1.1. (1) - найбільша нормальна нильпотентна підгрупа групи ;

(2) ;

(3) .

Proof. (1) Нехай і - нильпотентние нормальні підгрупи групи й нехай і - силовські -підгрупи з і . Тому що , а , те по лемі 4.1, с. 35. Аналогічно, , тому . Ясно, - -група. Покажемо, що вона силовська в. Для цього обчислимо її індекс:

Тому що чисельник не ділиться на , те - силовська -підгрупа групи . Отже, добуток двох нормальних нильпотентних підгруп є нормальна нильпотентна підгрупа. Тому - найбільша нормальна нильпотентна підгрупа групи .

(2) Ясно, що для всіх , тому

Обернено, якщо - силовська -підгрупа групи , те й нормальна в , тому й

(3) Якщо , те й нильпотентна, тому по (1) і .

Лема 1.2. (1) ; якщо розв'язно й , те ;

(2) (3) якщо , те ; якщо, крім того, абелева, те

Proof. (1) Оскільки підгрупа Фратіні - нильпотентна нормальна підгрупа групи , те . Нехай - розв'язна неодинична група. Тоді розв'язна й неодинична. Нехай

Тому що - -група для деякого простого , то по наслідку 4.2, с. 35, підгрупа нильпотентна й . Отже, .

(2) Якщо , те - нильпотентна нормальна в підгрупа по теоремі 4.3, с. 35, тому й

Зворотне включення треба з визначення підгрупи Фиттинга.

(3) Для мінімальної нормальної підгрупи або , або . Якщо , то

Якщо , то - елементарна абелева -група для деякого простого . Тому що , те . З іншого боку, по теоремі 4.4, с. 35, тому .

Теорема 1.3. для кожного . Зокрема, якщо розв'язно, те

Proof. Нехай , . Тому що по лемі 4.5, с. 35, те . Припустимо, що для деякого й нехай

Ясно, що й Нехай - силовська -підгрупа групи . Тому що

-група, те , а оскільки , те й . Тепер, - нильпотентна нормальна підгрупа групи й . Таким чином, і перше твердження доведене. Якщо розв'язно, то розв'язно, тому й .

Говорять, що підгрупа групи доповнюємо в , якщо існує така підгрупа , що й . У цьому випадку підгрупу називають доповненням до підгрупи в групі

Теорема 1.4. Якщо - нильпотентна нормальна підгрупа групи й , те дополняема в.

Proof. За умовою а по теоремі 4.6, с. 35, комутант . По теоремі 4.7, с. 35, підгрупа Фратіні а за умовою Тому й абелева. Нехай - додавання до в. По лемі 4.8, с. 35, Оскільки й те й по теоремі 4.7, с. 35,

Отже, і - доповнення до в.

Теорема 1.5. Факторгрупа є прямий добуток абелевих мінімальних нормальних підгруп групи .

Proof. Припустимо спочатку, що й позначимо через підгрупу Фиттинга По теоремі 4.6 комутант Але значить по теоремі 4.7, с. 35. Тому й абелева. Нехай - прямий добуток абелевих мінімальних нормальних підгруп групи найбільшого порядку. Тоді й по теоремі 1.4 існує підгрупа така, що По тотожності Дедекинда Але абелева, тому а тому що , те На вибір перетинання й

Нехай тепер і По лемі 1.2(2) Тому що те для твердження вже доведене.

Наслідок 1.6. У розв'язній групі з одиничною підгрупою Фратіні підгрупа Фиттинга є прямий добуток мінімальних нормальних підгруп.

Теорема 1.7. Підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням централізаторов головних факторів групи.

Proof. Нехай

По наслідку 4.9, с. 35, підгрупа нормальна в. Якщо

головний ряд групи , те

нормальний ряд групи . Тому що підгрупа втримується в кожній підгрупі , те

для . По теоремі 4.10, с. 35, підгрупа нильпотентна, тому .

Перевіримо зворотне включення. Нехай - головний фактор групи . Тому що

те по лемі 4.11, с. 35, або

або

У першому випадку , тому

У другому випадку з нильпотентності підгрупи по лемі 1.2 одержуємо, що

Знову . Таким чином, і .

Лема 1.8. .

Proof. Нехай . Ясно, що й . Тому що

те й ізоморфна нормальної нильпотентною підгрупі групи . Тому

Нехай - група й нехай

Ясно, що

У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фиттинга відмінна від одиничної підгрупи по лемі 1.2. Тому для розв'язної групи існує натуральне таке, що .

Нильпотентною довжиною розв'язної групи називають найменше , для якого . Нильпотентну довжину розв'язної групи позначають через . Таким чином, якщо група розв'язна й , те

Тому побудований ряд нормальний і його фактори нильпотентни.

Ясно, що тоді й тільки тоді, коли група нильпотентна.

Приклад 1.9. .

Непосредсвенно з визначення нильпотентною довжини випливає

Лема 1.10. Нехай - розв'язна група. Тоді:

(1) ;

(2) .

Лема 1.11. (1) Якщо - розв'язна група, то довжина будь-якого нормального ряду групи з нильпотентними факторами не менше, ніж .

(2) Нильпотентна довжина розв'язної групи збігається з довжиною самого короткого нормального ряду з нильпотентними факторами.

Proof. (1) Застосуємо індукцію один по одному групи . Нехай

нормальний ряд групи з нильпотентними факторами. Тому що - нормальна нильпотентна підгрупа групи , те й . Тут . Факторгрупа має порядок менше, ніж порядок групи й володіє поруч

де . Ясно, що це нормальний ряд, його довжина і його фактори

нильпотентни. По індукції й .

(2) треба з (1). Лема 1.12. Нехай - розв'язна група. Тоді:

(1) якщо , те ;

(2) якщо , те ;

(3) якщо й , те

зокрема, якщо й - розв'язні групи,те

(4) .

Proof. Нехай і . Тоді

(1) Нехай . Тоді ряд

буде нормальним рядом підгрупи з нильпотентними факторами

По лемі 1.11.

(2) Нехай і . Тоді ряд

буде нормальним рядом групи з нильпотентними факторами

По лемі 1.10.

(3) Ясно, що . Позначимо . Тоді по лемі 1.10, а по індукції

Тому . Тому що по (1), те маємо

(4) Покладемо . По лемі 1.2 для неодиничної розв'язної групи маємо й

Тому .

Наступна теорема належить К. Дерку.

Теорема 1.13. Якщо - максимальна підгрупа розв'язної групи , те , де .

Приклад. Скористаємося індукцією один по одному групи . Нехай - мінімальна нормальна підгрупа групи . Якщо , то й , де . Тому можна припустити, що всі мінімальні нормальні підгрупи групи втримуються в. Якщо група містить дві різні мінімальні нормальні підгрупи, те й по індукції

Оскільки

те теорема справедлива. Отже, можна вважати, що група містить у точності одну мінімальну нормальну підгрупу. Якщо , то по лемі 1.12 і знову

Оскільки

те знову теорема справедлива.

Отже, можна вважати, що й по наслідку 1.6. По індукції

Якщо , то твердження справедливо. Нехай , тобто . Уважаємо, що - -група. Тоді - -група. Нехай . Якщо , то й , тому

і теорема справедлива.

Залишається випадок, коли . Тому що - -підгрупа, те

причому - -група. Протиріччя.

Приклад 1.14.

Всі три значення в теоремі 1.13 мають місце. Значення виконується на будь-який нильпотентною неодиничній групі. Значення виконується на групі з максимальною підгрупою . Значення виконується на групі , у якої силовська -підгрупа максимальна.

Якщо факторгрупа нильпотентна, то групу називають метанильпотентною.

Теорема 1.15. (1) У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фратіні збігається з перетинанням максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.

(2) У розв'язної ненильпотентною групі перетинання максимальних підгруп, що містять підгрупу Фиттинга, метанильпотентно.

Proof. Позначимо через перетинання всіх максимальних підгруп групи , що не містить , а через перетинання максимальних підгруп групи , що містять . Ясно, що підгрупи й характеристичні в групі й

(1) У факторгрупи підгрупа Фиттинга

по лемі 1.2, тому

Припустимо, що й нехай - мінімальна нормальна підгрупа групи , що втримується в. Тому що підгрупа нормальна в групі й факторгрупа нильпотентна, те по теоремі 4.3, с. 35, підгрупа нильпотентна й . Але тепер

протиріччя. Тому допущення невірно й , тобто .

(2) Нехай - розв'язна ненильпотентна група. Ясно, що й

Характеристики

Список файлов ВКР