86276 (589956), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Нехай - централізатор групи . Якщо лема не вірна й , то ми можемо вибрати нормальну підгрупу групи , таку, що й мінімальну при цьому умові. Тому що група -розв'язна, факторгрупа виявляється або -групою, або -групою, а по визначенню групи вона не може бути -групою. Отже, факторгрупа є -група й порядки груп і взаємно прості. По теоремі Шура, група має доповнення в групі . Тому що , трансформування групи елементом з індуцірує її внутрішній автоморфізм, а тому що порядки й взаємно прості, цей автоморфізм може бути тільки тотожним. Тоді - прямий добуток і . Тому є характеристичною підгрупою в , а отже, нормальною підгрупою в , у протиріччі із припущенням, що . Це протиріччя доводить лему. Помітимо, що припущення насправді зайво, тому що в загальному випадку ми можемо застосувати лему до факторгрупи .

Наслідок 2.8. Нехай - деяка підгрупа , індекс якої не ділиться ні на яке просте число з , тоді центр групи втримується в центрі групи .

Дійсно, підгрупа повинна містити нормальну -підгрупу групи .

Наслідок 2.9. Нехай - деяка підгрупа групи , що містить , тоді не володіє неодиничної нормальної -підгрупою.

Дійсно, нормальна -підгрупа групи повинна втримуватися в центролизаторе групи .

Під -підгрупою кінцевої групи ми маємо на увазі таку підгрупу, порядок і індекс якої взаємно прості. Якщо група розв'язна і її порядок дорівнює , де , то група володіє -підгрупами порядку й будь-які дві з них сполучені, а тому ізоморфні.

Теорема 2.10. Якщо - розв'язна група порядку , де при , і якщо підгрупа групи порядку має клас нильпотентності те

Зокрема, для будь-якої кінцевої розв'язної групи . -підгрупа деякої факторгрупи , порядок якої ділить , має клас нильпотентності, не перевищуючий , так що ми можемо застосувати твердження леми 2.5 і одержати результат індукцією один по одному групи , допустивши що володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою. Це буде -група для деякого простого числа , і ми можемо тому предполодить, що її порядок ділить . Тоді, якщо ми візьмемо в якості множина простих долителей числа , виявиться виконаної передумова леми 2.5. Якщо - найбільша нормальна -підгрупа групи й - її центр, то по наслідку леми 2.5 містить центр -підгрупи групи , що має порядок . Порядок -підгрупи групи ділить , тому клас нильпотентності її не більше . Для -підгрупи груп і порядку ізоморфні, так що в силу припущення індукції, застосованої до , одержимо

Тому що , той доказ по індукції проведено.

Перш ніж застосовувати лему 2.5 до доказу нерівності для , зручно уточнити її для випадку, при якому складається з одного простого числа . Нехай є -розв'язна група з верхнім -поруч (2.2) . Тоді лема 2.5, застосована до групи , показує, що якщо - елемент групи , що не входить в , те трансформування елементом індуцируе у нетотожний автоморфізм. Необхідне уточнення складається в заміні групи групою , де - підгрупа Фратіні групи . Тепер - -група, і в такий спосіб - елементарна абелева -група. Ясно тому, що автоморфізм групи , індукований групи , тотожний. Таким чином, множина елементів групи , що тотожно трансформує , є нормальною підгрупою групи , такий, що . По визначенню фактор група не може бути -групою, відмінної від 1, тому якщо , те група повинна містити елемент , що не входить в і порядку, взаємно простого . Тоді індуцірує автоморфізм групи порядку, взаємно простого с. Але автоморфізм -групи, по модулю підгрупі Фратіні, має порядок, рівний ступені числа . Таким чином, індуцірує у нетотожний автоморфізм, що суперечить визначенню групи . Виходить, , що й було потрібно. У такий спосіб:

Лема 2.11. Якщо є -розв'язна група з верхнім -поруч (2.2) і якщо - підгрупа Фратіні групи , те автоморфизми групи , які індуковані трансформуваннями елементами групи , представляють точно.

Наслідок 2.12. .

По лемі група не володіє неодиничної нормальної -підгрупою, і наступні члени її верхнього -ряду являють собою фактор групи по відповідних членів верхнього -ряду групи .

Теорема 2.13. Для кожної -розв'язної групи

(I)

(II)

Ми можемо використовувати індукцію один по одному групи й припустити, що володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою . Очевидно, ми можемо також припустити, що , звідки наслідку з леми 2.11 , а, отже, , і - елементарна абелева -група. Тепер, думаючи , ми одержимо, що , так що по припущенню індукції містимо, що . Якщо - група порядку , то порядок її групи автоморфизмов дорівнює

так що . Відповідно до леми 2.11, група ізоморфна деякій підгрупі групи , так що , звідки . Таким чином,

що й було потрібно.

З іншої сторони відповідно до наслідку 1 леми 2.7, містить центр силовської -підгрупи групи , так що . Тому що , те індукція для (II) проводиться відразу.

Нерівності, отримані десь, аж ніяк не є найкращими. Для непарних їх значно можна підсилити. Однак при теорему 2.13 поліпшити не можна.

Останню теорему можна застосувати для короткого доказу тверджень і .

3. Група з нильпотентними додаваннями до підгруп

У справжньому главі описані нерозв'язні кінцеві групи з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимих підгруп. До цього класу груп ставляться, зокрема, і кінцеві групи із примарними індексами несверхразрешимих груп. Доводиться

Теорема 3.1. Кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимих підгруп ізоморфна або , де - нильпотентна група, а й - прості числа.

Наслідок 3.2. Кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу сверхразрешими, ізоморфна або , де - -група, або , де - -група.

Відзначимо, що кінцеві групи з нильпотентними підгрупами непримарного індексу вивчені С. С. Левищенко [13]. Серед них немає нерозв'язних груп.

Розглядаються тільки кінцеві групи. Всі позначення, що зустрічаються, і визначення стандартні, їх можна знайти в [2,14].

Нам знадобиться наступна

Лема 3.3. Нехай у кінцевій групі кожна несверхразрешима група володіє нильпотентним додаванням. Тоді в будь-якій підгрупі й у будь-який фактор-групі групи кожна несверхразрешима підгрупа володіє нильпотентним додаванням.

Proof. Нехай - довільна підгрупа кінцевої групи , і нехай - несверхразрешимая підгрупа з . У групі існує нильпотентное додавання до підгрупи . Тому , а . Тепер - нильпотентна, і до можна взяти нильпотентне додавання в підгрупі .

Нехай - нормальна в підгрупа, і - несверхразрешимая в підгрупа. Тоді несверхразрешима, і існує нильпотентна підгрупа така, що . Тепер нильпотентна й , тобто до підгрупи можна знайти в нильпотентное додавання.

Доведемо теорему.

Приклад. Шлях - кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до підгруп. Тому що не -нильпотентна, те в існує -замкнута підгрупа Шмидта , де - нормальна в силовська 2-підгрупа, підгрупа - циклічна [14,c. 434]. Оскільки не є сверхразрешимої, те існує нильпотентна підгрупа така, що . З урахуванням парності порядку з теореми 2.8 [15] містимо, що фактор-група ізоморфна або , де - деяке просте число, а - найбільша розв'язна нормальна в підгрупа. Крім того,

а

Тут і - 'елементарна абелева й циклічна підгрупи порядку . З теореми 2.10 [15] одержуємо, що - простої число.

У випадку, коли й - прості числа в простій групі , кожна несверхразрешима підгрупа ізоморфна групі . Остання підгрупа має в циклічне доповнення . Тому група у випадку, коли й - прості числа, задовольняє умові теореми.

Перевіримо, що група не задовольняють умові теореми. Нехай

Відомо, що - нормальна в підгрупа, а - циклічна група порядку . Для силовської -підгрупи з маємо

Тепер

Оскільки й - прості числа, то в існує підгрупа порядку . Для підгрупа -замкнута, і зовнішній автоморфізм не централізує силовскую -підгрупу, тому несверхразрешима. Тому що в немає нильпотентною підгрупи порядку , то не задовольняє умові теореми при . Якщо , то в для підгрупи Шмидта, ізоморфній знакозмінній групі ступеня , повинна найтися нильпотентна підгрупа порядку, що ділиться на . Але такий нильпотентною підгрупи в немає.

Характеристики

Список файлов ВКР